周恒江

當(dāng)前新課程改革正在不斷推進(jìn)中，高中數(shù)學(xué)也在不斷進(jìn)行教學(xué)方式的改革和創(chuàng)新。其中，探究型教學(xué)作為一種先進(jìn)的教學(xué)方法，注重學(xué)生的主動(dòng)性和探究性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力。本文以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第11章“解三角形”中的“余弦定理”為例，詳細(xì)闡述了探究型教學(xué)的實(shí)施步驟。

一、教材分析

“解三角形”是高中數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，重點(diǎn)講解如何運(yùn)用正弦定理和余弦定理解三角形問(wèn)題，以及判斷三角形的解。

二、學(xué)情分析

學(xué)習(xí)本章之前，學(xué)生已經(jīng)研究過(guò)有關(guān)三角形、三角函數(shù)和解直角三角形等相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)。在學(xué)生之前知識(shí)的儲(chǔ)備之上，“余弦定理”這一節(jié)主要是研究三角形中各個(gè)邊長(zhǎng)與各個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用這些關(guān)系解決生活中的相關(guān)問(wèn)題。

三、教學(xué)目標(biāo)

在教學(xué)目標(biāo)中，注意設(shè)置課程目標(biāo)及學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)，并詳細(xì)把握教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，便于在教學(xué)中更有針對(duì)性地安排教學(xué)內(nèi)容。

四、教學(xué)過(guò)程

（一）新課導(dǎo)入

教師可以通過(guò)情境案例導(dǎo)入，選擇學(xué)生都很感興趣的熱點(diǎn)問(wèn)題，吸引學(xué)生的注意，引發(fā)學(xué)生的思考。教師以中國(guó)海監(jiān)船驅(qū)逐國(guó)外探油船的例子作為導(dǎo)入案例，通過(guò)多媒體進(jìn)行展示。（見(jiàn)圖1）

（二）課程講解

為了使學(xué)生更好地理解和掌握余弦定理的概念，教師可以設(shè)計(jì)具有針對(duì)性的探究問(wèn)題。這些問(wèn)題的設(shè)計(jì)應(yīng)該緊密結(jié)合教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，并且引導(dǎo)學(xué)生逐步深入探究。

1.通過(guò)提問(wèn)引發(fā)學(xué)生探究

如教師可以向?qū)W生提問(wèn)：

如果△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且已知a、b和∠C，如何使用余弦定理來(lái)求c？

教師需要注意問(wèn)題的相互關(guān)聯(lián)和鋪墊，以確保學(xué)生能夠掌握所學(xué)知識(shí)。通過(guò)探究問(wèn)題的引導(dǎo)，學(xué)生可以更加積極地參與到探究活動(dòng)中，提高他們的邏輯推理能力和分析、解決問(wèn)題的能力。在學(xué)生探究的基礎(chǔ)上，引入教學(xué)的核心內(nèi)容。（見(jiàn)表2）

在講解了詳細(xì)的知識(shí)點(diǎn)之后，教師可以在課堂中繼續(xù)提問(wèn)，引發(fā)學(xué)生的探究學(xué)習(xí)。例如，教師可以向?qū)W生提問(wèn)：余弦定理可以用來(lái)解釋生活中的什么問(wèn)題？

這時(shí)，學(xué)生可以基于對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解以及在生活中的觀察，發(fā)表自己的觀點(diǎn)。

學(xué)生1：在工程測(cè)量中，可以利用余弦定理來(lái)計(jì)算兩個(gè)物體之間的距離，或者計(jì)算建筑物的高度。

學(xué)生2：飛行員可以使用余弦定理來(lái)計(jì)算飛機(jī)從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的最短路徑，通過(guò)計(jì)算兩個(gè)地點(diǎn)之間的距離和方位角確定行駛方向和距離。

學(xué)生3：在機(jī)器人定位中，人們可以利用余弦定理來(lái)計(jì)算機(jī)器人的位置和行進(jìn)方向，以實(shí)現(xiàn)自主導(dǎo)航和避障。

當(dāng)學(xué)生表達(dá)了自己對(duì)余弦定理的理解之后，教師可以給予點(diǎn)評(píng)及總結(jié)，讓學(xué)生思考哪些同學(xué)的觀點(diǎn)正確，哪些同學(xué)的觀點(diǎn)有創(chuàng)意。教師提問(wèn)和學(xué)生回答的形式，可以引導(dǎo)學(xué)生邊思考邊分析、總結(jié)，提升數(shù)學(xué)探究能力。

2.進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用，促進(jìn)鞏固提高

在完成基礎(chǔ)教學(xué)后，為了提升學(xué)生的探究能力，教師可設(shè)計(jì)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。這些問(wèn)題既與現(xiàn)實(shí)生活緊密相關(guān)，又可深度挖掘課堂知識(shí)。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生分組討論，教師提供適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)與幫助，鼓勵(lì)學(xué)生深入思考問(wèn)題本質(zhì)，并勇于提出個(gè)人見(jiàn)解。最后，組織學(xué)生進(jìn)行成果展示與交流，分享各自的探究過(guò)程與結(jié)果，并進(jìn)行評(píng)價(jià)與總結(jié)。通過(guò)這一系列活動(dòng)，學(xué)生的探究能力將得到全面提升。

在本課的教學(xué)中，教師可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況設(shè)計(jì)一些具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。例如，將導(dǎo)入部分的案例再次展示，讓全班通過(guò)探究一起找到解題的方法和答案。首先，安排一定的時(shí)間（如5分鐘）讓學(xué)生嘗試將導(dǎo)入案例的文字用數(shù)學(xué)圖形和數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表達(dá)，然后利用余弦定理的知識(shí)點(diǎn)嘗試進(jìn)行解答。接下來(lái)，教師在黑板或多媒體課件上進(jìn)行展示。（見(jiàn)圖2）

根據(jù)題意可知AB距離為s海里，BC距離為m海里，已知A到C的時(shí)速是v海里/小時(shí)，要想求得由A到C的時(shí)間，教師可以引導(dǎo)學(xué)生：怎樣求從A到C的時(shí)間，還缺什么條件？

學(xué)生在解題中進(jìn)行思考，知道速度要求時(shí)間，需要知道從A到C的距離，也就是根據(jù)題目已知條件求出AC的長(zhǎng)度。這時(shí)教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)：如何求出AC的長(zhǎng)度？

學(xué)生會(huì)自然而然地想到利用剛學(xué)到的余弦定理來(lái)計(jì)算AC的長(zhǎng)度。教師可以讓學(xué)生先自己嘗試解題，然后再進(jìn)行示范，集中進(jìn)行講解。

3.通過(guò)舉一反三教學(xué)，強(qiáng)化探究過(guò)程

在余弦定理與勾股定理關(guān)系研究環(huán)節(jié)，教師可以采用舉一反三的方法，逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，自己尋找答案。例如，思考1：

根據(jù)勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，

則c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcosC ①

試驗(yàn)證①式對(duì)等邊三角形是否成立。你有什么猜想？

教師拋出問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)過(guò)探究后嘗試解答，根據(jù)解答的結(jié)果得出結(jié)論。

當(dāng)a＝b＝c時(shí)，∠C＝60°，

a2＋b2－2abcosC＝c2＋c2－2c·ccos60°＝c2，

即①式仍成立，據(jù)此猜想，對(duì)一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcosC。

接著，教師再將余弦定理與勾股定理進(jìn)行對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生分析兩者之間的聯(lián)系和區(qū)別。教師可提出思考題2，繼續(xù)加強(qiáng)探究性教學(xué)。

勾股定理和余弦定理有何聯(lián)系與區(qū)別？

對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，想要弄清楚這個(gè)問(wèn)題，就需要將勾股定理的主要內(nèi)容和余弦定理的主要內(nèi)容放在一起進(jìn)行分析和思考，這對(duì)學(xué)生的探究能力有較高的要求。有的學(xué)生通過(guò)角的大小進(jìn)行分析，有的學(xué)生從定理公式的表達(dá)進(jìn)行分析，這都可以促進(jìn)他們更好地吸收、掌握內(nèi)容。

在學(xué)生自主思考了幾分鐘之后，教師可以在黑板或者多媒體課件上進(jìn)一步引導(dǎo)：

在△ABC中，

c2＝a2＋b2？圳∠C為? ? ；

c2>a2＋b2？圳∠C為? ? ；

c2

學(xué)生通過(guò)計(jì)算，可以分別得到直角、鈍角和銳角的答案。在此基礎(chǔ)上，教師總結(jié)：余弦定理和勾股定理都反映了三角形三邊之間的平方關(guān)系，其中，余弦定理反映了任意三角形中三邊平方間的關(guān)系，勾股定理反映了直角三角形中三邊平方間的關(guān)系，是余弦定理的特例。

通過(guò)舉一反三，讓學(xué)生通過(guò)自己的探究獲得問(wèn)題的答案，比直接告訴學(xué)生答案效果更好。

4.在作業(yè)中設(shè)置梯度，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)探究

除了教學(xué)環(huán)節(jié)可以展開(kāi)探究以外，在作業(yè)環(huán)節(jié)，教師也可以鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行探究，讓學(xué)生養(yǎng)成思考問(wèn)題、總結(jié)規(guī)律的好習(xí)慣。在學(xué)習(xí)完“余弦定理”后，教師可設(shè)計(jì)不同類型的作業(yè)，讓學(xué)生在完成作業(yè)的過(guò)程中展開(kāi)思考和探究，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律。

練習(xí)題1：

在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求∠A，∠B，∠C的度數(shù)。

練習(xí)題2：

在△ABC中，若（a－c·cosB）·b＝（b－c·cosA）·a，判斷△ABC的形狀。

針對(duì)上述不同類型的題目，學(xué)生可以通過(guò)自己的思考和探索，發(fā)現(xiàn)題目類型的不同以及解題的方法和規(guī)律，從而進(jìn)行總結(jié)。教師在學(xué)生思考和探索的基礎(chǔ)上，總結(jié)規(guī)律并進(jìn)行展示（見(jiàn)表3）。

學(xué)生將自己的總結(jié)與教師給出的規(guī)律進(jìn)行對(duì)比，有助于更好地檢測(cè)自己是否掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容，是否根據(jù)自己的探究發(fā)現(xiàn)解題的規(guī)律。

五、教學(xué)反思

在“余弦定理”教學(xué)中，情境創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題引導(dǎo)起到了關(guān)鍵作用。通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，抽象的數(shù)學(xué)概念變得生動(dòng)有趣，激發(fā)了學(xué)生的探究熱情和學(xué)習(xí)積極性。這不僅能夠幫助學(xué)生更好地理解這些概念，還促使他們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中鞏固所學(xué)知識(shí)。

本節(jié)課設(shè)計(jì)的探究問(wèn)題緊密圍繞教學(xué)目標(biāo)，具有層次性、關(guān)聯(lián)性，可引導(dǎo)學(xué)生逐步深入探究。這些問(wèn)題不僅幫助學(xué)生鞏固了所學(xué)知識(shí)，還培養(yǎng)了他們的邏輯思維和問(wèn)題解決能力。通過(guò)解決問(wèn)題，學(xué)生不再被動(dòng)地接受知識(shí)，而成為主動(dòng)的探究者。這種轉(zhuǎn)變對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問(wèn)題的能力至關(guān)重要。

通過(guò)情境創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題引導(dǎo)，學(xué)生能夠更深入地理解余弦定理的概念和其中的邏輯關(guān)系。他們不再僅停留在表面的記憶和理解，而是能夠在實(shí)際應(yīng)用中靈活運(yùn)用這些概念。這種理解力的提升將為學(xué)生未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決實(shí)際問(wèn)題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

總之，探究型教學(xué)在高中數(shù)學(xué)課堂中發(fā)揮了重要的作用。它不僅提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，還培養(yǎng)了他們的數(shù)學(xué)思維和解決問(wèn)題的能力。在未來(lái)，我們應(yīng)繼續(xù)探索和實(shí)踐探究型教學(xué)，為學(xué)生提供更豐富、更有深度的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

（作者單位：靖江市斜橋中學(xué)）

編輯：張俐麗