張麗娜
本節(jié)課選自湖南教育出版社2019年版數(shù)學(xué)必修第一冊第四章“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)”第二節(jié)“指數(shù)函數(shù)”中的第二課時“指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)”,是在學(xué)生學(xué)習(xí)了冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)概念的基礎(chǔ)上,進一步學(xué)習(xí)與研究指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。
一、教學(xué)目標(biāo)
1.學(xué)生能用描點法或借助信息技術(shù)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,也能通過代數(shù)運算畫出有關(guān)聯(lián)的指數(shù)函數(shù)圖象(利用代數(shù)運算,研究指數(shù)函數(shù)的對稱性,根據(jù)函數(shù)的對稱性畫圖)。
2.學(xué)生結(jié)合圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),能利用性質(zhì)解決簡單的問題。
3.學(xué)生通過對指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)和研究,進一步培養(yǎng)特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想,以及感受用函數(shù)解決問題的思想。
二、教學(xué)重難點
教學(xué)重點:指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其初步應(yīng)用。
教學(xué)難點:用函數(shù)圖象和指數(shù)運算的方法研究指數(shù)函數(shù)(性質(zhì))。
三、教學(xué)過程
導(dǎo)入:上節(jié)課,我們通過實際問題的解決概括出了指數(shù)函數(shù)的概念?;仡櫱懊鎯绾瘮?shù)的學(xué)習(xí)過程,我們基本上了解了基本初等函數(shù)的研究路徑,這節(jié)課我們將研究指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),并進行初步的應(yīng)用。
(設(shè)計意圖:明確本節(jié)課的主題,為學(xué)生學(xué)習(xí)新內(nèi)容做鋪墊。)
環(huán)節(jié)一:創(chuàng)設(shè)情境,提出問題
設(shè)計說明:復(fù)習(xí)所學(xué)知識,提出問題進而引入新知識。
問題1:指數(shù)函數(shù)的概念是什么?
提示:一般,函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,定義域是R。
(設(shè)計意圖:再次回顧和明確指數(shù)函數(shù)的概念,為后續(xù)研究做好鋪墊。)
問題2:回顧我們學(xué)習(xí)過的冪函數(shù),學(xué)習(xí)和研究一個函數(shù)的基本路徑是什么?我們要研究指數(shù)函數(shù)的哪些性質(zhì)?怎樣開展研究?
提示:根據(jù)前面的學(xué)習(xí),我們了解到基本初等函數(shù)的研究路徑為:實例(背景)→函數(shù)的定義(概念)→圖象(描點法+信息技術(shù))→性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等)→應(yīng)用(解決實際問題)。我們要研究指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點,函數(shù)圖象的位置、變化趨勢等。研究的方法是先畫指數(shù)函數(shù)的圖象,然后觀察圖象,歸納概括性質(zhì)。
(設(shè)計意圖:明確本節(jié)課的研究內(nèi)容和研究方法,讓學(xué)習(xí)有了方向和目標(biāo)。)
問題3:如何畫出函數(shù)圖象?
提示:描點法(列表、描點、連線)。
(設(shè)計意圖:復(fù)習(xí)函數(shù)作圖的基本方法和步驟,方便學(xué)生后續(xù)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象。本節(jié)課會再次展示用信息技術(shù)畫圖以及利用函數(shù)的對稱性畫圖。)
設(shè)計說明:以上3個問題的設(shè)置,幫學(xué)生回憶已學(xué)過的知識與技巧方法,為進一步的教學(xué)與學(xué)習(xí)做鋪墊。
環(huán)節(jié)二:畫出圖象,研究性質(zhì)
設(shè)計說明:提出新問題,合理引導(dǎo)學(xué)生基于舊知識的基礎(chǔ)來拓展新知識。
問題4:y=2x是指數(shù)函數(shù)嗎?其底數(shù)是多少?請畫出其圖象。
提示:見對應(yīng)表格和圖象。(略)
(設(shè)計意圖:通過一個簡單的指數(shù)函數(shù)的作圖,學(xué)生能夠初步了解指數(shù)函數(shù)的圖象,為后續(xù)畫圖和研究做好準(zhǔn)備。)
問題5:顯然一個函數(shù)不具代表性,我們還需要畫出更多的具體指數(shù)函數(shù)的圖象來進行觀察。請用同樣的方法,在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=()x的圖象。
提示:見對應(yīng)表格和圖象。(略)
問題6:請對指數(shù)函數(shù)y=2x和y=()x的圖象進行比較,它們有什么關(guān)系?能否利用指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象畫出函數(shù)y=()x的圖象?
提示:函數(shù)y=2x與函數(shù)y=()x的圖象關(guān)于y軸對稱,因此可以由其中一個函數(shù)的圖象畫出另外一個函數(shù)的圖象。
問題7:除了通過圖象觀察之外,你能利用解析式,從代數(shù)的角度解釋上面的對稱關(guān)系嗎?(可以考慮點坐標(biāo)之間的關(guān)系)
提示:通過以上問題4與問題5的表格,很容易得到:兩個函數(shù)上的點,當(dāng)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)時,縱坐標(biāo)相同。因此,通過代數(shù)運算,我們可以得到想要的結(jié)論。當(dāng)然,也可以通過點的對稱性加以分析,這里可以直接通過邏輯推理來實現(xiàn)。
問題8:上面的問題及其結(jié)論具有一般性嗎?
提示:很顯然,通過上面的代數(shù)運算,我們只需要把上個提示中的具體底數(shù)“2”換成一般底數(shù)“a”(a>0且a≠1),就可以得到:底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。
(設(shè)計意圖:利用兩個函數(shù)圖象的關(guān)系,讓學(xué)生從圖象和代數(shù)運算兩個方面去分析它們之間的關(guān)系,培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力,同時培養(yǎng)學(xué)生從具體到一般、具體到抽象的研究能力。)
設(shè)計說明:從一個特殊函數(shù)的圖象到另一個特殊函數(shù),并通過特殊函數(shù)之間的關(guān)系加以過渡引導(dǎo),吻合學(xué)生思維歷程與學(xué)習(xí)過程。
問題9:請在同一個坐標(biāo)系中做出y=3x,y=4x,y=()x,y=()x的圖象。你是怎樣做的?
提示:學(xué)生用描點法作出y=3x,y=4x的圖象,然后利用問題8的結(jié)論做出y=()x,y=()x的圖象。
(設(shè)計意圖:鞏固前面所得到的結(jié)論。)
問題10:我們已經(jīng)畫出了六個指數(shù)函數(shù)的圖象了,現(xiàn)在借助信息技術(shù),老師畫出更多的指數(shù)函數(shù)的圖象,請同學(xué)們觀察這些圖象來研究它們的性質(zhì),看看它們到底有哪些共性。
提示:用信息技術(shù)畫出更多的指數(shù)函數(shù)的圖象。根據(jù)圖象分析:指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的圖象按底數(shù)a的取值,可分為01兩種類型,因而,指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)也可以分為01兩種情況進行研究。
一般,指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)如表1所示。
(設(shè)計意圖:類比冪函數(shù)的性質(zhì)研究,“以形助數(shù)”再“以數(shù)助形”,引導(dǎo)學(xué)生分類討論、有序觀察、歸納概括,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng),提高學(xué)生的理性思維能力。)
設(shè)計說明:由特殊到一般,吻合辯證唯物主義思想,也是我們學(xué)習(xí)過程中的一種重要思維方式。
環(huán)節(jié)三:例題講解,練習(xí)鞏固
例1.(教材第108頁例4)比較下列各組中兩個數(shù)的大小。
(1)3.51.5,3.51.3;
(2)0.3-3.5,0.3-2.3
(3)1.20.5,0.51.2
問題11:回顧冪函數(shù)的類似問題,我們是怎樣進行比較的?
提示:求解依據(jù)是函數(shù)單調(diào)性的定義。具體方法是構(gòu)造函數(shù),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小,或者用“中間值”的方法進行比較。
設(shè)計說明:合理類比已經(jīng)學(xué)過的知識,為新知識的應(yīng)用提供更加寬廣的空間。
練習(xí)1:比較下列各組中兩個數(shù)的大小。
(1)1.72.5,1.73
(2)0.31.5,0.31.3
(3)0.70.8,0.80.7
(設(shè)計意圖:例1利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個數(shù)的大小,進而讓學(xué)生熟悉指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),幫助他們形成用函數(shù)觀點解決問題的意識。練習(xí)1的設(shè)置,讓學(xué)生進一步鞏固了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,特別是對同冪函數(shù)進行辨析理解。)
例2.(教材第109頁例5)已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax的圖象經(jīng)過點(2,7),求f(-6)和f(3)。
練習(xí)2:已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax的圖象經(jīng)過點(3,),求f(-2)和f(4)。
(設(shè)計意圖:依托指數(shù)函數(shù)的解析式來分析與求解,并基于對應(yīng)的解析式求解,進一步求解函數(shù)值。)
例3.(教材第109頁例6)一種放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì),每經(jīng)過1年剩余的量是原來的84%,畫出這種物質(zhì)的剩余量隨時間變化的圖象,并從圖象上觀察大約要經(jīng)過多少年,剩余量是原來的50%。
環(huán)節(jié)四:歸納小結(jié),鞏固提升
設(shè)計說明:合理總結(jié),系統(tǒng)小結(jié),使課堂教學(xué)重點更加突出,難點得以明確,思維得以拓展,能力得以提升。
問題12:回顧所學(xué)內(nèi)容并回答問題。
(1)通過本節(jié)課對指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究,我們必須明白學(xué)習(xí)和研究一個函數(shù)的基本途徑、研究內(nèi)容、研究方法分別是什么。
(2)本節(jié)課在畫指數(shù)函數(shù)圖象時,運用了哪些畫圖方法?
(3)本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中,我們學(xué)會了哪些數(shù)學(xué)思想和方法?
提示:(1)學(xué)習(xí)和研究一個函數(shù)的基本途徑是:實例(背景)→函數(shù)的定義(概念)→圖象(描點法+信息技術(shù))→性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等)→應(yīng)用(解決實際問題)。
研究內(nèi)容:定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點、函數(shù)圖象的位置、變化趨勢等。
研究方法:先畫指數(shù)函數(shù)的圖象,然后觀察圖象,最后歸納概括性質(zhì)。
(2)描點法作圖、利用信息技術(shù)畫圖、通過代數(shù)計算利用對稱性畫圖。
(3)本節(jié)課我們學(xué)會了由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想和方法。
(設(shè)計意圖:通過課堂小結(jié),讓學(xué)生對本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容不僅從知識層面進行了回顧鞏固,還同時從數(shù)學(xué)思想方法層面進行提升,這有利于學(xué)生更好地構(gòu)建知識結(jié)構(gòu),更全面地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。)
四、教學(xué)總結(jié)
指數(shù)函數(shù)是學(xué)生在學(xué)習(xí)了一般函數(shù)的概念與性質(zhì),特別是學(xué)習(xí)了冪函數(shù)的研究方法之后,利用類比思想,再次深入學(xué)習(xí)的一類具體函數(shù),最后利用這些函數(shù)構(gòu)建的函數(shù)模型來解決現(xiàn)實生活中的實際問題,從而讓學(xué)生進一步掌握函數(shù)的研究方法及分析方法,并學(xué)會用函數(shù)的觀點去研究問題、思考問題、分析問題和解決問題??傊?,指數(shù)函數(shù)是進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),進一步優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要知識載體。
(作者單位:甘肅省景泰縣第一中學(xué))
編輯:張俐麗