蘇明強

會用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實世界，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，推理是數(shù)學(xué)思維的重要方式，包括合情推理和演繹推理，合情推理是指從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納或類比推斷結(jié)果的思維方式，一般包括歸納推理和類比推理。演繹推理是指從已有的事實和確定的命題出發(fā)，通過規(guī)則推斷結(jié)果的思維方式。合情推理的結(jié)果不一定正確，但是常常會創(chuàng)新，演繹推理的結(jié)果一定正確，但是不會創(chuàng)新。因此，在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，常常通過合情推理獲得猜想，再通過演繹推理證明結(jié)論，二者相輔相成，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和數(shù)學(xué)思維的發(fā)展中具有不可替代的作用。

形成推理意識是學(xué)會思考的主要表現(xiàn)，推理意識有助于養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣，增強交流能力，是形成推理能力的經(jīng)驗基礎(chǔ)。推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟，推理意識的形成，主要體現(xiàn)在以下四個方面：一是能夠通過簡單的歸納或類比，猜想或得出一些初步的結(jié)論；二是知道可以從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論；三是通過法則運用，體驗數(shù)學(xué)從一般到特殊的論證過程；四是對自己及他人的問題解決過程給出合理解釋。下面，筆者從“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”三個學(xué)習(xí)領(lǐng)域，討論發(fā)展學(xué)生推理意識的三個基本途徑。

一、在數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)中發(fā)展推理意識

在數(shù)的認(rèn)識中，蘊含類比推理的素材。教學(xué)時，我們可以通過回顧已有的知識，引導(dǎo)學(xué)生憑借經(jīng)驗和直覺，對未知的知識進(jìn)行大膽的推斷，獲得一些初步的猜想，發(fā)展學(xué)生的推理意識。比如，在整數(shù)的認(rèn)識中，我們根據(jù)整數(shù)的位數(shù)個數(shù)，可以把整數(shù)分為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)等，這是學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗；在小數(shù)的認(rèn)識中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生觀察小數(shù)的特點，憑借經(jīng)驗和直覺，通過類比推理的方式，根據(jù)小數(shù)部分的位數(shù)個數(shù)，把小數(shù)分為一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)等。在此基礎(chǔ)上，還可以引導(dǎo)學(xué)生通過類比推理提出新問題——分?jǐn)?shù)是不是也可以分為一位分?jǐn)?shù)、兩位分?jǐn)?shù)、三位分?jǐn)?shù)呢？這樣，數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)就發(fā)展了學(xué)生的推理意識。

在數(shù)的運算中，蘊含豐富的推理素材，不僅有合情推理，還有演繹推理。一般地，豎式體現(xiàn)的是算法，算法常常蘊含合情推理；橫式體現(xiàn)的是算理，算理常常蘊含演繹推理。因此，我們應(yīng)該從推理的角度，重新認(rèn)識四則運算中算法和算理的問題，既要重視豎式，也要重視橫式，它們同等重要。教學(xué)時，我們要引導(dǎo)學(xué)生通過合情推理掌握算法，通過演繹推理理解算理。比如，三位數(shù)乘兩位數(shù)（158×23），我們可以引導(dǎo)學(xué)生回顧兩位數(shù)乘兩位數(shù)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過類比推理推斷三位數(shù)乘兩位數(shù)的算法，利用乘法的意義，通過演繹推理述說三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理。

二、在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中發(fā)展推理意識

在圖形的認(rèn)識中，蘊含歸納推理和類比推理的素材。教學(xué)時，我們可以引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)真觀察圖形的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷從個別到一般的思考過程，憑借觀察所獲得的經(jīng)驗和直覺，通過歸納的方式獲得圖形的特征，發(fā)展學(xué)生的推理意識。比如，在長方形的認(rèn)識中，我們可以在方格紙上畫出三個大小不同的長方形，引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)量”的角度，初步觀察這三個長方形的頂點、邊和角的特點，通過歸納推理的方式得出結(jié)論：長方形都有四個頂點、四條邊和四個角。再引導(dǎo)學(xué)生從“長度”的角度，借助數(shù)格子，通過歸納推理的方式發(fā)現(xiàn)結(jié)論：長方形對邊相等。最后引導(dǎo)學(xué)生從“位置關(guān)系”的角度觀察，借助方格紙，通過歸納推理的方式發(fā)現(xiàn)結(jié)論：長方形對邊互相平行、鄰邊互相垂直。在平行四邊形的認(rèn)識中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生通過類比推理的方式得出初步的猜想，再舉例驗證，從而發(fā)展學(xué)生的推理意識。

在圖形的度量中，蘊含豐富的推理素材。長方形的面積公式推導(dǎo)過程蘊含歸納推理，正方形的面積公式推導(dǎo)是從一般到特殊的推導(dǎo)過程，這里蘊含演繹推理。在此基礎(chǔ)上，平行四邊形、三角形、梯形和圓的面積公式的推導(dǎo)過程都蘊含演繹推理。在長方體體積公式的學(xué)習(xí)中，可以通過與長方形面積公式的推導(dǎo)過程進(jìn)行比較，通過類比推理獲得猜想，通過歸納推理得出結(jié)論，圓柱、圓錐體積公式可以通過演繹推理得出結(jié)論。因此，在圖形的度量中，我們要從發(fā)展推理意識的角度重新認(rèn)識這些內(nèi)容的教學(xué)價值。

三、在統(tǒng)計與概率的學(xué)習(xí)中發(fā)展推理意識

在統(tǒng)計的教學(xué)中，主要學(xué)習(xí)統(tǒng)計圖和統(tǒng)計量，統(tǒng)計圖主要包括條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，統(tǒng)計量主要包括平均數(shù)和百分?jǐn)?shù)。我們通常通過統(tǒng)計圖直觀表達(dá)數(shù)據(jù)所蘊含的變化規(guī)律，通過統(tǒng)計量定量描述一組數(shù)據(jù)的整體水平。統(tǒng)計圖和統(tǒng)計量都蘊含著推理的重要素材。因此，在統(tǒng)計圖的教學(xué)中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生整體觀察，通過歸納推理的方式，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)所蘊含的變化規(guī)律；通過類比推理的方式，預(yù)測數(shù)據(jù)的變化趨勢，發(fā)展學(xué)生的推理意識。在統(tǒng)計量的教學(xué)中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生借助統(tǒng)計量，通過演繹推理的方式，對事物的整體水平進(jìn)行判斷；通過類比推理的方式，對事物的變化趨勢進(jìn)行預(yù)測，發(fā)展學(xué)生的推理意識。

在概率的教學(xué)中，主要學(xué)習(xí)簡單隨機現(xiàn)象及其結(jié)果發(fā)生的可能性，以及對一些簡單隨機現(xiàn)象發(fā)生可能性的大小做出定性描述。在這些知識中也蘊含著推理的重要素材。教學(xué)時，我們可以通過具體的隨機現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生通過演繹推理的方式，列舉出隨機現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果。還可以引導(dǎo)學(xué)生觀察隨機試驗收集的數(shù)據(jù)，通過歸納推理的方式，判斷隨機事件發(fā)生的可能性大小，再通過類比推理的方式，推測重復(fù)試驗可能發(fā)生的結(jié)果，從而發(fā)展學(xué)生的推理意識。

（作者單位：泉州師范學(xué)院教育科學(xué)研究所）

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