趙紅婷

數(shù)學(xué)現(xiàn)實是指學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗、思維方式、解題策略以及相關(guān)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)現(xiàn)實是學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備和堅實基礎(chǔ)，將直接影響學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。教師關(guān)注并利用學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，有助于學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)概念，拓展并完善數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。從某種意義上說，教學(xué)某個數(shù)學(xué)知識所采用的方法，不是由教學(xué)法和心理學(xué)原理決定的，而是由學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實和學(xué)科本質(zhì)決定的。因此，學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實應(yīng)成為教師設(shè)計課堂活動的理性視角。

一、提前介入：審視學(xué)生的認(rèn)知準(zhǔn)備

著名心理學(xué)家皮亞杰的實驗表明，兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須有必要的準(zhǔn)備，向一定年齡兒童教授的材料存在著固有的限制，只有具備了這樣的準(zhǔn)備性，兒童才能進(jìn)行有效的學(xué)習(xí)。學(xué)生原有的知識儲備、現(xiàn)實活動中的經(jīng)驗積淀乃至他們在社會中所形成的許多關(guān)于數(shù)學(xué)的樸素認(rèn)識，都有助于開闊學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特定視野，這些數(shù)學(xué)現(xiàn)實影響并制約著他們的后續(xù)學(xué)習(xí)。因此，教師要提前介入，對學(xué)生的認(rèn)知準(zhǔn)備有一定的預(yù)見性。

（一）關(guān)注心理準(zhǔn)備

兒童學(xué)習(xí)的心理準(zhǔn)備涉及學(xué)習(xí)順序的問題。由于兒童學(xué)習(xí)有一定的順序性，教師要盡可能按照兒童認(rèn)知發(fā)生的順序進(jìn)行教學(xué)，不能人為地加速兒童的認(rèn)知過程。譬如，根據(jù)皮亞杰的觀點，兒童要到十一至十二歲才能掌握無限的概念。因為兒童必須到形式運算階段才能進(jìn)行思維的抽象運算，才能把線段看作無限個點的集合。

皮亞杰還認(rèn)為：“教師將會認(rèn)識到，他們自認(rèn)為正在教兒童的東西，但實際上并未在教，原因在于：兒童并未達(dá)到必要的發(fā)展階段。”顯然，教師要清晰地認(rèn)識到，當(dāng)學(xué)生還沒有達(dá)到某個認(rèn)知階段，還沒有做好充分的心理準(zhǔn)備時，教師的教其實是一種隱形的灌輸。

（二）分析知識儲備

著名認(rèn)知心理學(xué)家奧蘇伯爾說過：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學(xué)生學(xué)習(xí)新知的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道些什么。要探明這一點，并據(jù)此進(jìn)行教學(xué)?！钡拇_，教師在教學(xué)前一定要弄明白：學(xué)生的認(rèn)知起點在哪里？他們對所學(xué)內(nèi)容到底具有怎樣的知識準(zhǔn)備？適時剖析學(xué)生的知識儲備，有助于教學(xué)的準(zhǔn)確定位。

例如，教學(xué)蘇教版教材小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊的“用數(shù)對確定位置”時，教師應(yīng)當(dāng)清楚地認(rèn)識到：學(xué)生在一年級上學(xué)期已學(xué)過用一個“第幾”描述物體在直線上的位置，這屬于一維空間的范疇。在二年級上學(xué)期，學(xué)生已掌握了用兩個“第幾”表示物體在平面上的位置。顯然，用兩個“第幾”表示物體在平面中的位置，已屬于二維空間的范疇。確認(rèn)了這樣的認(rèn)知起點后，教師就將教學(xué)定位為：用“數(shù)對”確定位置，重點是將原來憑生活經(jīng)驗描述位置上升到用數(shù)學(xué)方法確定位置。教師據(jù)此設(shè)計了循序漸進(jìn)的課堂活動，有效激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，也培養(yǎng)了其空間觀念。

（三）了解經(jīng)驗積淀

每個學(xué)生都是鮮活的生命個體，他們并非一張白紙，生活環(huán)境在他們身上留下清晰的烙印，獨特的生活經(jīng)驗對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會產(chǎn)生極大的影響。

與數(shù)學(xué)相關(guān)的生活經(jīng)驗大致可分為兩類：其一，促進(jìn)“正遷移”的生活經(jīng)驗。例如，在學(xué)習(xí)蘇教版教材小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊“長方體和正方體”和一年級上冊“認(rèn)識人民幣”等知識時，學(xué)生的相關(guān)生活經(jīng)歷，都可直接促進(jìn)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。還有些生活經(jīng)驗，表面看，似乎不能與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)構(gòu)成直接聯(lián)系，但卻可以通過類比來促進(jìn)學(xué)習(xí)。例如，在教學(xué)蘇教版教材小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊“循環(huán)小數(shù)”時，教師可激活學(xué)生積累的日升日落、白天黑夜周而復(fù)始的經(jīng)驗，幫助他們理解“循環(huán)”的含義。其二，產(chǎn)生“負(fù)遷移”的生活經(jīng)驗。有些生活經(jīng)驗會對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)面影響，一些經(jīng)驗本身就是錯誤的。例如，在教學(xué)蘇教版教材小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊“倒數(shù)的認(rèn)識”一課時，學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗，會形成 “倒數(shù)就是倒過來的數(shù)” 這樣的錯誤印象。但有位教師卻能正視這類數(shù)學(xué)現(xiàn)實，巧妙利用這一負(fù)面因素，他先故意肯定了學(xué)生的想法，在舉了幾個分?jǐn)?shù)例子后，又讓學(xué)生說小數(shù)和整數(shù)的倒數(shù)，在思維沖突中，學(xué)生對倒數(shù)這一概念進(jìn)行了有效重建。

學(xué)生的認(rèn)知準(zhǔn)備不僅是其新知學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，更是教學(xué)中可利用的資源。如果教師的教學(xué)設(shè)計扎根于這些草根化的素材，并引導(dǎo)學(xué)生巧妙地加以提煉、分析、比較、抽象、概括，這樣的教學(xué)便能始終站在適合學(xué)生的立場。

二、適時逼近：透視學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律是其數(shù)學(xué)現(xiàn)實的一個重要表現(xiàn)。學(xué)生主要處于具體運算階段，在小學(xué)階段后期，有些學(xué)生的思維也會逐漸向形式運算階段過渡。小學(xué)生的形象思維活躍，邏輯思維能力較弱。因此，教師要適時逼近，透視學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，盡可能采用具體而形象的方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)事實或現(xiàn)象，這樣才能使數(shù)學(xué)活動更適合學(xué)生。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提供豐富的感性活動

感性活動遠(yuǎn)比感知經(jīng)驗具有更為豐富的內(nèi)涵。因為感知活動所獲得的僅是靜止的心理表象，而感性活動獲得的是動作經(jīng)驗，學(xué)生能借此認(rèn)識事物或現(xiàn)象之間的各類關(guān)系，這有助于學(xué)生思維的積極運轉(zhuǎn)，并使其思維逐步達(dá)到邏輯水平。課堂上，教師要不斷豐富學(xué)生感性經(jīng)驗，要經(jīng)常鼓勵學(xué)生進(jìn)行實踐探索。

例如，教學(xué)蘇教版教材小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊的“認(rèn)識方向”時，在認(rèn)識了教室里的東南西北四個方向后，教材安排了根據(jù)前面是某一方向，說一說后面、左面、右面的活動。A教師只是出示了填空題，讓學(xué)生思考并口答出另外三個方向。結(jié)果，學(xué)生的匯報錯誤頻出。而B教師說到面向某個方向時，就讓學(xué)生去親自體驗。比如，讓學(xué)生面對南面，用手指著后面、左面、右面，并說出方向。接著，用同樣的方法，讓學(xué)生面對西面、北面，邊指邊說出后面、左面、右面的方向。在這樣的實踐活動中，學(xué)生對辨認(rèn)方向會有更多體驗，他們獲得了豐富的感性經(jīng)驗。當(dāng)然，實踐活動不能僅停留于直觀操作，還必須對動作進(jìn)行內(nèi)化和概括。在上述教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師讓學(xué)生面對南面或西面，并說出了另外三個方向后，就可讓學(xué)生想象自己面對北面的情形，并說出另外的三個方向，這樣做，學(xué)生的操作活動便得到了必要內(nèi)化，這對培養(yǎng)其空間觀念無疑是極為有益的。

皮亞杰用多年實驗證明，好的教學(xué)能為學(xué)生提供一個環(huán)境，學(xué)生在其中能自己嘗試某些事，并最終找到答案。因此，學(xué)生必須親身經(jīng)歷一些事情，他們經(jīng)過探索而獲得的知識和經(jīng)驗，在記憶里能保存得更為久遠(yuǎn)。同時，在探索過程中，學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力也能得到一定提升。

（二）制造沖突，推動認(rèn)知結(jié)構(gòu)的動態(tài)平衡

每一階段兒童都具有一定水平的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，他們運用這些結(jié)構(gòu)去同化傳入的信息，有些能同化，有些則不能，這便導(dǎo)致了認(rèn)知結(jié)構(gòu)內(nèi)部的不平衡。這種內(nèi)部的不平衡將直接引起認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化（即順化作用），在這個過程中，認(rèn)知結(jié)構(gòu)就得到了發(fā)展。在教學(xué)中，教師可依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律，精心設(shè)計一些矛盾沖突，使學(xué)生的認(rèn)知水平處于一個動態(tài)發(fā)展過程。

例如，在教學(xué)蘇教版教材小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊“三、四位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”時，在完成鋪墊練習(xí)367÷3和592÷4后，教師創(chuàng)設(shè)了這樣一個情境：“有個小朋友叫小明，在學(xué)習(xí)了昨天的內(nèi)容后，他發(fā)現(xiàn)了一個重大信息：三位數(shù)除以一位數(shù)，商都是三位數(shù)，他的這種說法對嗎？”面對這個問題，學(xué)生立刻自發(fā)展開討論，不一會兒，大家都一致認(rèn)為這種說法是錯的。教師追問：“你準(zhǔn)備怎樣反駁小明的看法？”一個學(xué)生說：“592÷6所得的商可能不是三位數(shù)?！庇谑牵處熅妥寣W(xué)生試著計算592÷6。學(xué)生完成后，教師進(jìn)行了講評。教師繼續(xù)問道：“小明的說法對嗎？”教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)驗證，計算267÷3，在反饋時，教師又問道：“這道題的商為什么變成了兩位數(shù)？”一個學(xué)生說：“百位上2比3小，不夠除，就要用前兩位去除。”于是，教師再次強調(diào)：筆算三位數(shù)除以一位數(shù)，只要被除數(shù)的前一位比除數(shù)小，商就是兩位數(shù)。這時，一個學(xué)生突然問道：“如果四位數(shù)除以一位數(shù)，商會是三位數(shù)嗎？”教師順勢進(jìn)入下一個環(huán)節(jié)的教學(xué)，讓學(xué)生嘗試計算4375÷5。

在以上教學(xué)片段中，課始教師就創(chuàng)設(shè)了認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望。在辯論、驗證等活動中，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得以重建和完善。整個教學(xué)能尊重學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實，在打破平衡、尋求平衡過程中，順勢而教，收到了預(yù)期效果。

三、持續(xù)跟進(jìn)：檢視學(xué)生的思維現(xiàn)狀

就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，讀懂學(xué)生并非泛化意義上追求的理解，而應(yīng)突出表現(xiàn)為細(xì)膩地、科學(xué)地對學(xué)生的思維狀態(tài)做深入研讀。思維現(xiàn)狀是學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實的一個主要表現(xiàn)，教師要時常檢視學(xué)生的思維現(xiàn)狀，這樣才能設(shè)計有序而高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動。

（一）暴露真實想法

皮亞杰曾說過這樣一句撼動人心的話：“你教什么并不重要，學(xué)生想什么比這重要一千倍?！苯虒W(xué)時，教師盡最大可能讓學(xué)生袒露真實想法。只有對學(xué)生的思維過程有了具體了解，才能更大程度地幫助學(xué)生。

例如，教學(xué)蘇教版教材小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊“找規(guī)律”時，教師設(shè)計了這樣一道練習(xí)題：小麗一家想去影城看電影，如果選擇第12排中間訂票，小麗一家三口想坐在一起，一共有多少種不同的選擇方法？出示影城圖片后，教師引導(dǎo)學(xué)生先理解圖意，再抽象出直觀圖式，具體如圖1。

教師鼓勵學(xué)生先獨立解答，很多學(xué)生都得出了正確答案“15種”。但有一個女孩怯怯地說：“17種。”她的話音剛落，馬上就傳來其他同學(xué)的反對聲。教師并沒有直接否定她，而是問了一句：“你是怎么想的？”顯然，這個女生也有點意外，她輕聲說：“因為共有19個數(shù)，減去兩個不能打頭的數(shù)，就是17種！”原來，她把這一題看成沒有間斷的情況，并應(yīng)用了之前探究的規(guī)律。教師靈機一動，說：“她的想法很有價值！我覺得她的答案挺對的?。∫还灿?9個數(shù)，不能打頭的數(shù)有兩個，19減2等于17！這明明是對的啊！”教師話音剛落，就有學(xué)生站起來反駁：“不對！不對！要把左右兩部分分開看！”教師追問：“為什么不能用19減2呢？”一個學(xué)生說：“因為9和后面的8、10不能連起來看！”這時，教師再轉(zhuǎn)向剛才那個女生，對她說：“你的答案雖然是錯的，但你還是應(yīng)用了規(guī)律！這一點就很不錯！現(xiàn)在，你知道自己錯在哪里了吧？”女生點點頭，笑得很燦爛。

在以上教學(xué)中，正是因為多追問了一句“你是怎樣想的”，教師領(lǐng)略到了學(xué)生更多的想法。仔細(xì)想來，這個學(xué)生的解法雖出乎意料，但卻有其存在的價值。教師故意肯定了這個學(xué)生的想法，引起其他學(xué)生的反駁，這樣既調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又加深了學(xué)生對規(guī)律本質(zhì)的理解。課堂上，教師要經(jīng)常琢磨：學(xué)生究竟在想什么？他們?yōu)槭裁磿@么想？只有掌握了學(xué)生的真實想法，教師才能靈活調(diào)整教學(xué)的節(jié)奏及進(jìn)程。

（二）聚焦學(xué)習(xí)困境

數(shù)學(xué)家波利亞曾說過：“要讀懂你的學(xué)生臉上的表情，弄清楚他們的期望和困難，把自己放在他們的位置上?！苯虒W(xué)時，教師要深入解讀學(xué)生的真實想法，尤其要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)困難。對于某個知識點，學(xué)生會存在怎樣的困難？怎樣去幫助他們？這些都應(yīng)是教師要始終權(quán)衡的問題。

例如，在教學(xué)蘇教版教材小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊“用連除解決實際問題”時，有這樣一道練習(xí)題：一瓶藥共150片，每日3次，每次2片，這瓶藥可以吃多少天？一般而言，我們提倡學(xué)生用這樣的常規(guī)算法：150÷2=75（次），75÷3=25（天）；3×2=6（片），150÷6=25（天）。有時，學(xué)生還會列出如下算式：150÷3=50（片），50÷2=25（天）。但他們無法表述其含義，甚至對其還存在著誤解。其實，要把150÷3=50（片）算式含義說清楚，不妨這樣假設(shè)：把一天分為早上、中午、晚上三個時段，除以3，就求出所有早上共吃了50片，當(dāng)然，所有中午和所有晚上也分別吃了50片。因為所有早上共吃50片，每次吃2片，于是50÷2=25（天）。當(dāng)學(xué)生無法表達(dá)正確含義時，教師可通過直觀演示等方式，引導(dǎo)學(xué)生正確理解含義。

對于學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，教師應(yīng)未雨綢繆，并做出相應(yīng)預(yù)設(shè)。但更多時候，學(xué)生的學(xué)習(xí)困難只在課堂上才得以顯現(xiàn)，這對教師的教學(xué)機智顯然是一種挑戰(zhàn)。但不管怎樣，如果教師對學(xué)生的認(rèn)知盲區(qū)是一種關(guān)注的姿態(tài)，教學(xué)就會減少一些盲目性，教學(xué)效率也將因此提高。

（三）排除思維干擾

在學(xué)習(xí)過程中，兒童的思維有時會受一些無關(guān)因素的干擾，這給他們的學(xué)習(xí)帶來了一定困擾。對此，教師如能有一個清晰的認(rèn)識，并及早做出相應(yīng)的預(yù)防，就能減少時間和精力的浪費。

例如，在分?jǐn)?shù)的教學(xué)中，在三年級上學(xué)期，學(xué)生已初步接觸了分?jǐn)?shù)的含義，并認(rèn)識到：把一個物體或圖形平均分成幾份，每份就是它的幾分之一，幾份就是它的幾分之幾。蘇教版教材小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊將單位“1”的范圍從一個物體拓展到了一些物體，這在認(rèn)識上無疑是一個質(zhì)的飛躍。教材例題如下：將6個桃平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤桃的幾分之一？由于受具體數(shù)據(jù)的影響，學(xué)生極易得到六分之二這樣的答案（正確答案應(yīng)是二分之一）。為了避免這樣的思維誤區(qū)，有的教師將例題進(jìn)行了改編，他先出示兩盒桃，第一盒是1個桃，把1個桃平均分給2只小猴，每只小猴分得這個桃的二分之一，這是對以前知識經(jīng)驗的喚醒。對于第二盒桃，教師沒有直接出示桃，而是問學(xué)生：“盒中可能有幾個桃？怎樣分桃才公平？”在教師引導(dǎo)下，學(xué)生意識到：不管是幾個桃，只要將這些桃平均分成2份，每份就是它們的二分之一。在此基礎(chǔ)上，教師才出示盒中的6個桃，讓學(xué)生去平均分給2只小猴，這時學(xué)生自然就能得出：每只小猴分得這盤桃的二分之一。對三年級學(xué)生而言，分?jǐn)?shù)概念非常抽象，理解時會有一定難度。平均分一些物體時，學(xué)生還沒建立一個整體的觀念，很容易受到具體個數(shù)的干擾。以上教師創(chuàng)新教材的做法，減少了干擾，可謂獨具匠心。

總而言之，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，就是把新舊知識進(jìn)行同化、順應(yīng)、調(diào)整、擴充，最終建構(gòu)新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。在這期間，學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實對其新知學(xué)習(xí)起著極為重要的影響。關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，應(yīng)成為教師的一種自覺行動。教師要重回教學(xué)原點，真正站到兒童立場上，用理性目光審視學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，并為學(xué)生創(chuàng)造恰當(dāng)?shù)奶剿鲿r空。長此以往，便能促使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到深度滋養(yǎng)，他們的創(chuàng)造能力也能得到長足發(fā)展。

（作者單位：江蘇省張家港市暨陽實驗小學(xué)南校區(qū)）

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