張亞萍

［摘? 要］ 復(fù)習(xí)課堂常因內(nèi)容重復(fù)、復(fù)習(xí)形式單一而使學(xué)生感覺枯燥無味，不僅沒有實現(xiàn)復(fù)習(xí)課幫助學(xué)生鞏固知識、強(qiáng)化記憶的目的，而且容易使學(xué)生出現(xiàn)厭煩情緒. 為了走出這一教學(xué)困境，文章指出復(fù)習(xí)課應(yīng)以發(fā)展學(xué)生為本，引導(dǎo)學(xué)生通過自主思考、合作交流、反思總結(jié)等學(xué)習(xí)活動來豐富個體的認(rèn)知，掌握問題的本質(zhì)，以此提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；復(fù)習(xí)課堂；發(fā)展能力；核心素養(yǎng)

傳統(tǒng)章節(jié)復(fù)習(xí)課大多“以師為主”，教師將本章教學(xué)重難點羅列后精挑一些練習(xí)題讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，以期幫助學(xué)生完成知識的內(nèi)化，同時借助“練”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自身不足，從而進(jìn)行及時的查缺補漏，以此幫助學(xué)生加深認(rèn)知. 這樣的章節(jié)復(fù)習(xí)既進(jìn)行了總結(jié)歸納，又進(jìn)行了習(xí)題精講精練，同時還幫助學(xué)生進(jìn)行及時的清補，顯然是一個優(yōu)質(zhì)的復(fù)習(xí)方案. 然而實際的教學(xué)效果卻沒有達(dá)到預(yù)期，深度剖析以上過程，容易發(fā)現(xiàn)：復(fù)習(xí)過程以教師的認(rèn)知為出發(fā)點，忽視了學(xué)生的認(rèn)識水平和認(rèn)知差異，未能引起學(xué)生共鳴，進(jìn)而影響了教學(xué)效果. 筆者在帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)“勾股定理”時，以發(fā)展學(xué)生為本，通過循序漸進(jìn)的引導(dǎo)幫助學(xué)生理清學(xué)習(xí)思路，建構(gòu)完整的知識框架，現(xiàn)將教學(xué)過程分享給大家，以期拋磚引玉，引起共鳴.

追溯歷史，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在復(fù)習(xí)教學(xué)中，一些教師急于求成，將大部分精力都放在題目的精講精練上，這樣往往難以調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使復(fù)習(xí)課堂低效、沉悶. 因此，教師在復(fù)習(xí)課堂上有必要像教學(xué)新知一樣，借助一定的情境來激發(fā)學(xué)生的好奇心，從而讓學(xué)生快速進(jìn)入狀態(tài)，以此提升教學(xué)效率［1］. 導(dǎo)入情境設(shè)計如下.

師：在第一節(jié)課我們學(xué)習(xí)“勾股定理”時提到，其實它還有其他名稱，你們還記得嗎？

生（齊）：“商高定理”或“畢達(dá)哥拉斯定理”.

師：很好，課前讓大家收集整理了關(guān)于定理的名稱由來的資料，誰來說一說？

生1：在周朝有個叫商高的數(shù)學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的特例，所以就用他的名字進(jìn)行了命名.

生2：我們國家發(fā)現(xiàn)勾股定理要早于世界其他國家，不過當(dāng)時只將其作為特例，并沒有進(jìn)行證明，后來古希臘的畢達(dá)哥拉斯提出并證明了此定理，因此在歐洲國家將該定理命名為“畢達(dá)哥拉斯定理”.

生3：我國最早證明該定理的是漢代的趙爽，他利用弦圖證明了此定理，從而得到了兩直角邊與斜邊間存在的等量關(guān)系，最后將其稱為勾股定理.

師：大家整理得很好，追溯歷史可見其重要價值，我們不僅要學(xué)會它，而且要學(xué)精它，從而靈活應(yīng)用它去解決實際問題.

在情境引入階段，通過追溯歷史喚醒了學(xué)生的好奇心和求知欲，以此讓學(xué)生可以集中精力接下來繼續(xù)進(jìn)行問題探究. 同時，學(xué)生通過回顧歷史，不僅加深了對勾股定理的理解，而且有助于收集、整理、表達(dá)等綜合能力的提升，也有助于自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng).

重溫教材，理清知識脈絡(luò)

教材是實施有效教學(xué)的前提和保障，而在復(fù)習(xí)教學(xué)中部分教師認(rèn)為教學(xué)新知時已經(jīng)對教材內(nèi)容進(jìn)行了精講，因此在復(fù)習(xí)階段為了節(jié)省時間能夠讓學(xué)生練習(xí)更多的題、發(fā)現(xiàn)更多的問題，很少帶領(lǐng)學(xué)生回歸教材. 這種“本末倒置”的教學(xué)方式顯然不利于學(xué)生的認(rèn)知體系建構(gòu)，不利于學(xué)習(xí)能力提升［2］. 因此，教師在教學(xué)中應(yīng)為學(xué)生提供一定的時間去重溫教材，從而引導(dǎo)學(xué)生自主完善知識的系統(tǒng)化建構(gòu).

師：現(xiàn)在給大家5分鐘時間重新閱讀教材內(nèi)容，重點閱讀“章頭”和“章末小結(jié)與思考”，思考一下本章主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容.

5分鐘后，大多學(xué)生已經(jīng)完成了相關(guān)內(nèi)容的閱讀，教師組織學(xué)生進(jìn)行溝通交流，根據(jù)學(xué)生的回答共同完成知識框架圖，同時根據(jù)知識框架圖幫助學(xué)生完善勾股定理的學(xué)習(xí)思路圖，即“發(fā)現(xiàn)—證明—探究—應(yīng)用”. 整個過程改變了“以師為主”的傳統(tǒng)教學(xué)模式，為學(xué)生提供了更廣闊的想象空間. 學(xué)生可以按照自己的思維方式去思考、回憶、總結(jié)，這樣在教師的引導(dǎo)下不僅構(gòu)建了知識框架圖，而且厘清了知識脈絡(luò)和學(xué)習(xí)思路，有助于數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的提升.

用好“章頭”和“章末小結(jié)與思考”兩部分內(nèi)容對于優(yōu)化學(xué)生的結(jié)構(gòu)思維、培養(yǎng)學(xué)生的整體意識具有重要意義，但是這兩部分內(nèi)容在新知教學(xué)中往往是最容易被教師忽視的. 因此在復(fù)習(xí)課上，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行閱讀和反思，從而引導(dǎo)學(xué)生透過言簡意賅的章頭文字知曉本章要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，并通過章末知識的匯總和方法的提煉幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識體系. 教師若能夠讓學(xué)生養(yǎng)成閱讀和思考章末小結(jié)的習(xí)慣，將有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提升.

精選習(xí)題，夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

教師若要了解學(xué)生的基礎(chǔ)知識掌握情況，自然離不開適當(dāng)?shù)木毩?xí)，但是在練習(xí)的選擇上要控制好量、把握好度，這樣才可以預(yù)留一定的時間讓學(xué)生交流反思，從而及時進(jìn)行查缺補漏.

師：請大家動手做一做，完成以下練習(xí). （教師用PPT展示題目）

題1：下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（? ）

A. 3，4，5 B. 5，12，13

C. 0.6，0.8，1 D. 9，40，41

題2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，過點C作CD⊥AB，垂足為D，求CD.

題3：若△ABC的三邊滿足a²=b²+c²，則△ABC是___三角形，且∠___=90°.

題4：已知Rt△ABC的兩邊長分別為3和4，則斜邊的平方為_____.

以上問題都是基礎(chǔ)題，為了集中學(xué)生的注意力，保證教學(xué)計劃的有效實施，教師在基礎(chǔ)練習(xí)階段采用了限時訓(xùn)練的方法. 從練習(xí)反饋來看，大多學(xué)生都能夠準(zhǔn)確求解，但對于題4，部分學(xué)生看到兩邊長分別為3和4后就直接給出答案為25. 可見，因受思維定式的影響，部分學(xué)生掉入了教師預(yù)設(shè)的陷阱. 這樣借助基礎(chǔ)題和易錯題不僅幫助學(xué)生夯實了基礎(chǔ)，而且培養(yǎng)了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

在本環(huán)節(jié)中，限時訓(xùn)練結(jié)束后，教師不要急于講解或核對答案，可以預(yù)留一定的時間讓學(xué)生進(jìn)行互評，對答案不同的題目先溝通交流，通過互講的方式查找思維漏洞，實現(xiàn)自主修補. 同時，教師也可以挑選一個典型問題進(jìn)行集中展示，讓其他學(xué)生引以為鑒，以此幫助學(xué)生識別常見錯誤，有效地實現(xiàn)查缺補漏.

精講例題，突破教學(xué)難點

通過整理歸納和基礎(chǔ)訓(xùn)練已經(jīng)實現(xiàn)了夯實基礎(chǔ)的目的，為了讓學(xué)生的思維能力和解題能力持續(xù)上升，教師可以引入一些經(jīng)典例題來凸顯本章重難點，進(jìn)而通過精講精練幫助學(xué)生突破教學(xué)重難點，提高學(xué)生解題能力［3］.

例1 現(xiàn)有一塊直角三角形紙片（如圖1所示），AC=6，BC=8，將△ABC折疊，使得點B與點A重合，折痕為DE.

師：根據(jù)以上信息，你可以得到哪些線段的長度呢？（學(xué)生思考）

生4：已知直角邊AC=6，BC=8，可以求出斜邊AB.

師：還能求出哪條線段呢？

生5：可以求CD和AD的長度.

師：說一說你是如何求解的.

生6：將勾股定理與方程相結(jié)合，根據(jù)已知易得AD=BD，于是設(shè)CD=x，則AD=BD=8－x. 在Rt△ACD中，AC=6，CD=x，AD=8－x，根據(jù)勾股定理可以求得x，即可得CD、AD和BD.

師：說得非常好，那么線段DE的長是否可求呢？

生7：在Rt△ADE中，已求出AD，AB，AE=1/2AB，根據(jù)勾股定理可以求得DE.

生7給出解題過程后，部分學(xué)生露出了疑惑的表情，因此教師決定停一停，讓中等生板演解題過程. 這樣既可以預(yù)留時間讓有疑惑的學(xué)生內(nèi)化所學(xué)內(nèi)容，又可以借助板演幫助學(xué)生優(yōu)化解題過程，規(guī)范解題步驟，最終完整呈現(xiàn)解題過程.

本環(huán)節(jié)中，教師借助開放性的問題引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、去探究. 從解題過程來看，學(xué)生首先利用勾股定理求得了斜邊長，接下來根據(jù)折痕逐漸挖掘題設(shè)中的隱含條件，從而分別求得了CD，AD，BD和DE的長. 解題中借助開放性問題將主動權(quán)交給學(xué)生，充分發(fā)揮集體智慧，逐漸解決難點問題. 另外，在實際教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生困惑時，教師要及時放慢速度，讓中等生再講一遍. 這樣既能幫助中等生進(jìn)一步深化理解，又能讓學(xué)困生跟上來，有助于實現(xiàn)全員進(jìn)步. 同時，通過板演呈現(xiàn)學(xué)生的解題過程，從而通過互動交流完善表達(dá)，這一環(huán)節(jié)往往是教學(xué)中容易被忽視的. 在實際教學(xué)中，大多師生為了追求速度，形成解題思路后就開始下一問題的探究，從而使得學(xué)生在考試中因步驟書寫不規(guī)范而屢屢失分. 因此在教學(xué)中，尤其在例題精講過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將問題徹底解決，從而使解題更加規(guī)范，思維更加縝密.

變式拓展，實現(xiàn)活學(xué)活用

借助典型例題，學(xué)生對勾股定理已經(jīng)有了全面的、系統(tǒng)的認(rèn)識. 為了進(jìn)一步加深對問題的理解，拓展思維的廣度，在精講例題后，教師可以借助一些變式問題進(jìn)行拓展延伸，從而豐富學(xué)生認(rèn)知，提高學(xué)生思維的變通性.

師：剛剛利用勾股定理不僅求出了線段的長度，而且規(guī)范了解題步驟，接下來我們在例1的基礎(chǔ)上稍作改變，看看大家是否能夠順利求解.

變式1：如圖2所示，現(xiàn)有一塊直角三角形紙片，AC=6，BC=8，將AC邊沿直線AD折疊，使得AC與AB重合，點C落在點E上，求DE的長度.

師：大家可以動手折一折，觀察一下，通過“折”，你知道了哪些內(nèi)容呢？

生8：通過“折”可以知道AE=AC=6，又因為AB=10，故線段BE=4.

師：還有其他信息嗎？例如關(guān)于角的.

生9：通過“折”可知∠AED=90°，△AED和△DEB是直角三角形.

師：很好，那么通過以上信息該如何求線段DE的長呢？（通過動手做，很多學(xué)生已經(jīng)有了答案，各個躍躍欲試地準(zhǔn)備搶答，教師點一名中等生解答. ）

生9：在Rt△DEB中，設(shè)DE=CD=x，那么BD=8－x，又因為BE=4，于是根據(jù)勾股定理可求得DE的長.

師：很好，思路清晰，那么大家可以動手“解一解”，看誰解得又快又準(zhǔn). （正當(dāng)大家準(zhǔn)備求解時，有學(xué)生示意還有其他解法. ）

師：說一說你是如何求解的.

生10：這個問題可以利用面積法來求解，S_△ABC=S_△ACD+S_△ABD，設(shè)DE=CD=x，于是1/2×AC×BC=1/2×AC×CD+1/2×AB×DE，代入值即可求得DE=3. （教室響起了熱烈的掌聲）

師：真是一個不錯的想法，大家分別用兩種不同的方法“解一解”，看看哪種方法更好？

學(xué)生積極求解，發(fā)現(xiàn)面積法運算過程更簡便，但用勾股定理解題更易于理解，通過分析不同方法的優(yōu)缺點，形成關(guān)于垂直問題的兩種解題思路.

變式1在例1的基礎(chǔ)上略加改動，只是改變了折疊的方式，其解題思路與例1基本相同. 從實際反饋來看，大多數(shù)學(xué)生可以獨立完成求解，可見實現(xiàn)鞏固所學(xué)知識和方法的目標(biāo). 生10提出面積法為課堂錦上添花，該方法并非新知，在證明勾股定理時就應(yīng)用了面積法，在知識回顧階段也復(fù)習(xí)過相關(guān)內(nèi)容，因此教師順勢可帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行小結(jié)，進(jìn)而總結(jié)歸納解決垂直問題的兩種常用的解題方法. 這樣既能實現(xiàn)舊知的鞏固，又能完成知識的系統(tǒng)化建構(gòu)，有助于學(xué)生解題能力的提升.

另外，教師在學(xué)生解題時發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生利用勾股定理得到了方程x²+4²=（8－x）²，但是求解時花費了較多的時間，而且還出現(xiàn)了錯解，可見學(xué)生在運算時還是喜歡“硬算”. 其實若仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，該直角三角形的三邊就是一組特殊的勾股數(shù)：3，4，5.學(xué)生若在列方程前能夠先考慮直角三角形的三邊是否為特殊的勾股數(shù)，可以有效提高解題效率. 因此在解題過程中，教師應(yīng)重視對學(xué)生計算方法的指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生多觀察、多分析，講授速算技巧，這樣可以有效提升學(xué)生的解題效率和解題準(zhǔn)確率.

課堂小結(jié)，領(lǐng)悟思想方法

通過經(jīng)歷以上復(fù)習(xí)過程，學(xué)生會對本章內(nèi)容有新的收獲和感悟，因此教師可以引導(dǎo)學(xué)生自主小結(jié)，從而使學(xué)生更深層地理解本章內(nèi)容，為知識的系統(tǒng)化建構(gòu)和知識的內(nèi)化添磚加瓦. 具體的引導(dǎo)過程如下.

師：誰來說一說，本節(jié)課你有哪些收獲？（學(xué)生爭先恐后地發(fā)表意見）

師：大家都說得很好，現(xiàn)在我們來總結(jié)一下復(fù)習(xí)時所蘊含的一些重要思想方法.

師：請大家回憶勾股定理是如何發(fā)現(xiàn)的.

生11：通過觀察許多特殊的例子，最終總結(jié)歸納而來的.

師：這體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法？

生（齊）：從特殊到一般.

師：還有其他思想方法嗎？

生12：還應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合思想，如求線段的長度時，用勾股定理將幾何圖形和代數(shù)聯(lián)系在一起.

……

這樣通過交流，在回顧本節(jié)重點內(nèi)容的基礎(chǔ)上教師引導(dǎo)學(xué)生提煉出了重要的數(shù)學(xué)思想方法，從而實現(xiàn)了從知識層面到思想層面的升華，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

整理收獲，實現(xiàn)融會貫通

在本環(huán)節(jié)中，教師讓學(xué)生自主思考本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并將其記錄下來，通過“思”和“寫”有效地加深學(xué)生對知識和方法的記憶，從而實現(xiàn)知識的融會貫通. 同時，通過有效的反思和總結(jié)，學(xué)生可以清晰地認(rèn)識到自己在學(xué)習(xí)中存在的問題，為有針對性的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，有效地促進(jìn)了學(xué)習(xí)能力的提升.

總之，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中不要將復(fù)習(xí)課上成習(xí)題課，也不要使其淪為個人的“表演秀”，要堅持“以學(xué)生發(fā)展為本”的教學(xué)理念，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)、所思、所悟自然地融入課堂，從而促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.

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