王錦秋 陳小紅 韋煜

［摘? 要］ 闡釋結(jié)構(gòu)不良問題的理論基礎(chǔ)，從發(fā)展高階思維、促進深度學習、培養(yǎng)核心素養(yǎng)及提高問題解決能力等方面分析結(jié)構(gòu)不良問題引入高中數(shù)學課堂的價值. 提出結(jié)構(gòu)不良問題融入數(shù)學課堂教學的三個途徑：基于結(jié)構(gòu)不良問題，開展探究學習；改編結(jié)構(gòu)良好問題，開展習題教學；以結(jié)構(gòu)不良問題為核心，開展專題復習.

［關(guān)鍵詞］ 結(jié)構(gòu)不良問題；高中數(shù)學；課堂教學

引言

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》）強調(diào)數(shù)學與生活以及其他學科的聯(lián)系，提升學生應用數(shù)學解決實際問題的能力［1］. 2020年，教育部考試中心研制的《中國高考評價體系》出版發(fā)行. 近年來，基于《課程標準》與《中國高考評價體系》，高考出現(xiàn)了多選題、結(jié)構(gòu)不良問題等創(chuàng)新題型. 結(jié)構(gòu)不良問題由于其獨特的結(jié)構(gòu)特點引起了大量一線數(shù)學教師的關(guān)注，但目前有些一線數(shù)學教師對結(jié)構(gòu)不良問題的認識還停留在表層，沒有正確認識到結(jié)構(gòu)不良問題的核心價值所在. 這些一線數(shù)學教師認為，結(jié)構(gòu)不良問題僅僅是一種新的題型，只是將知識點集成到一個題目中，提供了多種解題途徑而已；對結(jié)構(gòu)不良問題的處理方式也限于通過訓練讓學生適應這種題型，沒有深入分析結(jié)構(gòu)不良問題的教育價值和教學功能. 因此，分析結(jié)構(gòu)不良問題引入高中數(shù)學課堂教學的價值和途徑是很有必要的.

認知心理學家將問題劃分為結(jié)構(gòu)良好問題和結(jié)構(gòu)不良問題［2］. 結(jié)構(gòu)不良問題的特點是，其具有多種解決方法、解決途徑和少量確定性條件. 這些條件不易操作，且包括某些不確定性因素［3］. 針對復雜和結(jié)構(gòu)不良領(lǐng)域中學習的本質(zhì)問題，斯皮羅等人提出了認知彈性理論. 認知彈性，即以多種方式重建自己的知識，以便適應復雜多變的情境領(lǐng)域［4］. 斯皮羅等人將學習分為初級學習與高級學習. 初級學習主要涉及結(jié)構(gòu)良好領(lǐng)域，高級學習則主要涉及結(jié)構(gòu)不良領(lǐng)域. 高級學習需要學生把握概念的復雜性，并在具體情境中靈活運用［5］，喬納森在此基礎(chǔ)上提出了知識獲得的三個階段（如圖1所示）.

結(jié)構(gòu)不良問題引入高中數(shù)學課堂的價值

1.解決結(jié)構(gòu)不良問題是發(fā)展學生高階思維的重要方式

高階思維是發(fā)生在較高認知水平層次上的心智活動或較高層次的認知能力，如分析、綜合、評價等［6］，主要解決的是結(jié)構(gòu)不良問題，反映了學習者的問題求解能力、決策能力、批判性思維和創(chuàng)造性思維能力［7］. 結(jié)構(gòu)不良問題往往涉及諸多知識背景及數(shù)量關(guān)系，學生在自主分析問題的條件、結(jié)論以及條件與結(jié)論之間的關(guān)系的過程中，必然會調(diào)動思維，展開聯(lián)想，建構(gòu)問題空間. 學生需要分析問題所給的信息，結(jié)合自身的已有認知經(jīng)驗篩選合適的條件. 例如遇到條件不足、結(jié)論確定的結(jié)構(gòu)不良問題時，學生需要思考補足什么條件才能解決該問題，此時“執(zhí)果索因”就顯得較為有效，同時學生還需要思考“索什么因”；遇到具有多種解決路徑的結(jié)構(gòu)不良問題時，學生需要比較各條解決路徑間的便捷性、有效性，有助于發(fā)展學生的批判性思維；遇到結(jié)論開放的結(jié)構(gòu)不良問題時，此時問題的結(jié)論（答案）多樣化，學生需要結(jié)合自身情況發(fā)散思維，建構(gòu)合理、便捷的問題答案. 解決結(jié)構(gòu)不良問題可以促使學生參與思考、分析、評價等思維活動，學生的高階思維自然能得到發(fā)展. 因此，解決結(jié)構(gòu)不良問題是發(fā)展學生高階思維的重要方式.

2.結(jié)構(gòu)不良問題是促進學生深度學習的有效載體

深度學習是一種基于高階思維發(fā)展的理解性學習［8］. 解決復雜現(xiàn)實問題是深度學習的價值所在［9］. 一般來說，復雜現(xiàn)實的問題大多是結(jié)構(gòu)不良問題. 解決這些問題不僅需要掌握相應的知識，更需要掌握方法、原理的切適性，能批判地、正確地分析問題的結(jié)構(gòu)要素間的邏輯關(guān)系. 結(jié)構(gòu)不良問題的特點使得學生在解決結(jié)構(gòu)不良問題的過程中需要綜合知識，在實際的問題情境中掌握問題的本質(zhì)，找準問題的關(guān)鍵點，運用恰當?shù)囊?guī)律和法則，使用合適的策略、方法. 這個過程能有效促進學生批判地思考問題及建構(gòu)知識網(wǎng)絡，實現(xiàn)深度學習. 因此，結(jié)構(gòu)不良問題是促進學生深度學習的有效載體.

3.結(jié)構(gòu)不良問題是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要抓手

“問題是數(shù)學的心臟”，進行“數(shù)學問題解決”是學生發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的有效途徑. 對于結(jié)構(gòu)良好問題，學生只需要結(jié)合自己已有知識和經(jīng)驗做出抉擇，采取特定的解題步驟，就可以得到確切答案［10］. 但解決問題不僅是學生對所學知識與規(guī)則的簡單應用，而且是學生對自我認知經(jīng)驗與問題情境的有機組合，是在解決過程中建立新規(guī)則，發(fā)現(xiàn)新原理，獲得新策略的過程［11］. 結(jié)構(gòu)不良問題具有解決方案多樣、結(jié)構(gòu)開放、鞏固知識與培養(yǎng)能力的特點. 結(jié)構(gòu)不良問題的解決過程具備一定的不確定性和挑戰(zhàn)性，這與學生對數(shù)學的固有認知相矛盾——在學生認知中，數(shù)學問題具有唯一確定的答案、明晰的問題條件，解決方法單一，結(jié)構(gòu)不良問題給學生提供了一個認知相矛盾的平臺. 這樣的矛盾能有效激發(fā)學生的求知欲，幫助學生深入理解問題的本質(zhì)，使學生知道數(shù)學也具有不確定性. 從矛盾到再認識、統(tǒng)一的過程中，可以更好地發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng). 因此，結(jié)構(gòu)不良問題是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要抓手.

4.解決結(jié)構(gòu)不良問題是培養(yǎng)學生問題解決能力的重要途徑

問題解決能力是衡量個體智慧和能力高低的指標之一. 目前，在高中數(shù)學教育中，學生面對的問題仍然以結(jié)構(gòu)良好問題為主，開放性問題與結(jié)構(gòu)不良問題很少. 較于結(jié)構(gòu)良好問題，結(jié)構(gòu)不良問題在問題結(jié)構(gòu)、問題背景方面更加復雜，解決途徑更加多樣. 在以往的教學過程中，學生所進行的問題解決活動大多是針對結(jié)構(gòu)良好問題而開展的，主要是對問題解決的關(guān)注，對問題發(fā)現(xiàn)和問題提出的關(guān)注不足. 結(jié)構(gòu)不良問題靈活的結(jié)構(gòu)，利于學生多角度思考，發(fā)現(xiàn)問題的關(guān)鍵點，使學生參與到問題的建構(gòu)過程中，增加學生對數(shù)學的體驗以及對問題的認識. 通過結(jié)構(gòu)不良問題的解決，可以提高學生問題解決能力. 因此，解決結(jié)構(gòu)不良問題是培養(yǎng)學生的問題解決能力的重要途徑.

結(jié)構(gòu)不良問題引入高中數(shù)學課堂的途徑

1. 基于結(jié)構(gòu)不良問題，開展數(shù)學探究學習

有效的數(shù)學學習，是學生在教師有效的啟發(fā)指引下進行自主建構(gòu)的數(shù)學探究學習［12］. 問題是數(shù)學探究學習的重要載體，數(shù)學探究的結(jié)論可以是封閉或者開放的，但數(shù)學探究的過程一定是開放的. 數(shù)學探究是基于問題的探究，是在教師的引導下學生的自主探究，而不是學生胡亂無目的的探究. 學生要在教師的指導下開展探究活動，獲取數(shù)學知識、數(shù)學方法，發(fā)展數(shù)學思維. 數(shù)學探究學習的學習材料源于書本以及學生學習、生活和參加社會活動的經(jīng)驗. 探究方法基于學生個體的已有認知經(jīng)驗，學生可以根據(jù)具體的問題情境、自身的知識儲備和認知經(jīng)驗個性化進行探究學習. 結(jié)構(gòu)不良問題具備可調(diào)節(jié)的開放性，多種解決途徑以及結(jié)論（答案），是進行探究學習的優(yōu)良載體，能較好地承載探究學習所需要的條件. 學生進行探究學習時，可根據(jù)具體情境，采取合適的方法獲取信息，分析問題，靈活選擇合適的路徑解決問題.

例如，在“基本不等式”的教學中，由a2+b2≥2ab推導出≥（a>0，b>0）（基本不等式）后，教師可以組織學生開展基本不等式的證明活動，讓學生自主選擇不同方法（如作差比較法、分析法、綜合法、幾何法等）完成基本不等式的證明，讓學生自主建構(gòu)基本不等式的知識圖式. 同時，教師可以將數(shù)學史、數(shù)學文化融入教學過程，介紹國內(nèi)外有關(guān)基本不等式的證明方法和相關(guān)歷史，提升學生的數(shù)學學習興趣.

2. 改編結(jié)構(gòu)良好問題，開展習題教學

習題課是教師根據(jù)教學要求和學生需要，在課堂上進行范例研究、變式訓練，鞏固學生所學，訓練數(shù)學思維，培養(yǎng)解題策略的課型［13］. 因此，習題課是高中數(shù)學課程教學中的重要課型. 以往傳統(tǒng)的習題課所使用的都是結(jié)構(gòu)良好問題，條件不多不少，解決方法單一，主要功能是鞏固知識. 但結(jié)構(gòu)不良問題不僅兼顧結(jié)構(gòu)良好問題的知識鞏固功能，還具有可調(diào)節(jié)的開放性，可以更加有效地調(diào)動學生的積極性與數(shù)學學習興趣. 此外，結(jié)構(gòu)良好問題與結(jié)構(gòu)不良問題可以相互轉(zhuǎn)化，可以根據(jù)學生實際作答情況進行調(diào)整. 在數(shù)學教學中，引入結(jié)構(gòu)不良問題，是對傳統(tǒng)習題教學的升級再造. 教師可以針對問題結(jié)構(gòu)進行改編，使問題結(jié)構(gòu)變得“模糊”，將結(jié)構(gòu)良好問題轉(zhuǎn)化成結(jié)構(gòu)不良問題.

例如（人教A版普通高中教科書數(shù)學必修第一冊的第二章第三節(jié)習題第5題），已知集合A=｛xx2－16<0｝，B=｛xx2－4x+3>0｝，求A∪B.

這是一道典型的結(jié)構(gòu)良好問題，學生可先改變集合A與集合B的表達形式，再求兩集合的并集即可. 教師在此可通過調(diào)整問題的條件或結(jié)論將該問題轉(zhuǎn)化成結(jié)構(gòu)不良問題，一是更改問題的條件：可以考慮更改集合A，B的表達形式或加入新的集合；二是更改問題的結(jié)論：可以構(gòu)造多個結(jié)論任學生自行挑選并求解.

變式1：已知集合A=｛xx2－16<0｝，B=｛xx2－4x+3>0｝，C=｛xx2－x－2<0｝，在集合A，B，C中任選兩個，求這兩個集合的并集.

變式2：已知集合A=｛xx2－16<0｝，B=｛xx2－4x+3>0｝，U為全集，在結(jié)論①A∪B，②A∩B，③A∪CUB，④A∩CUB，⑤CUA∪B中任選三個求解.

3. 開展以結(jié)構(gòu)不良問題為核心的專題復習課

復習課是為了梳理、鞏固已學知識和方法，促進知識系統(tǒng)化，提高學生運用所學知識解決問題能力的一種課型［14］. 從結(jié)構(gòu)不良的視角設(shè)計復習課，有助于學生從多角度、多層次認識數(shù)學知識，有助于增強學生“四基”，培養(yǎng)學生“四能”，促進學生數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展. 在專題復習課中引入結(jié)構(gòu)不良問題，是傳統(tǒng)數(shù)學復習課的轉(zhuǎn)型進階. 教師可以在教學活動的組織方面提出結(jié)構(gòu)不良問題，讓學生多角度思考，尋找知識點間的聯(lián)系，還可以在練習鞏固階段將以往的結(jié)構(gòu)良好問題更改為結(jié)構(gòu)不良問題，有利于建立學生的知識網(wǎng)絡.

例如，“空間直線、平面的平行”專題復習課.

【知識梳理】

（1）直線與直線平行的判定定理與性質(zhì)定理（具體內(nèi)容略）；

（2）直線與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理（具體內(nèi)容略）；

（3）平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理（具體內(nèi)容略）.

【知識結(jié)構(gòu)梳理】

“空間直線、平面的平行”專題知識結(jié)構(gòu)如圖2所示.

【結(jié)構(gòu)不良問題及練習】

問題1：怎么判定兩條空間直線平行？

問題2：怎么判定一條直線與一個平面平行？

問題3：怎么判定兩個平面平行？

問題1、問題2、問題3均有多個答案，均為結(jié)構(gòu)不良問題. 問題1可從以下三個角度回答：一是從基本事實出發(fā)，即可得到線線平行；二是從線面平行的性質(zhì)定理出發(fā)，可以得到該直線與過該直線的平面和此平面的交線的平行關(guān)系；三是從面面平行的性質(zhì)定理出發(fā)，可以得到第三個平面與這兩個平面的交線的平行關(guān)系. 問題2可從以下四個角度回答：一是從線面平行定義出發(fā)得到線面平行的關(guān)系；二是由線面平行的判定定理得到線面平行的關(guān)系；三是綜合線線平行和兩平行直線確定一個平面得到線面平行的關(guān)系；四是從面面平行的性質(zhì)出發(fā)，也可以得到線面平行的關(guān)系. 問題3可從以下三個角度回答：一是面面平行的定義；二是面面平行的判定定理；三是由兩組相交直線分別平行即可得到該相交直線所構(gòu)成的平面平行.

練習1、練習2、練習3分別在問題的解決路徑、條件及證明結(jié)論中設(shè)置了不良結(jié)構(gòu). 學生可以根據(jù)自身的認知經(jīng)驗自主選擇不同的解決方案.

練習1：如圖3所示，在正方體ABCD-ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AD，DD的中點，從“①線線平行”“②線面平行”“③面面平行”中任選一種途徑證明EF∥平面BCC.

練習2：如圖4所示，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，從①，②，③，④四個正方體中任選一個，判斷AB與平面MNP的位置關(guān)系并說明理由.

練習3：如圖5、圖6所示，在三棱柱ABC-ABC中，E，F(xiàn)，G，H，D，D分別是AB，AC，AB，AC，BC，BC的中點，請在①，②兩個結(jié)論中任選一個進行證明.

①平面EFA∥平面BCHG；②平面ABD∥平面ACD.

【總結(jié)歸納】

引導學生總結(jié)歸納“空間直線、平面的平行”的知識結(jié)構(gòu)，再次強化學生對本節(jié)知識的認識，建立更為清晰的知識網(wǎng)絡，將碎片化的知識聯(lián)系起來.

結(jié)語

結(jié)構(gòu)不良問題對發(fā)展學生高階思維、促進學生深度學習、培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)及提高學生問題解決能力具有重要價值. 教師應將結(jié)構(gòu)不良問題融入數(shù)學教學，發(fā)揮結(jié)構(gòu)不良問題的教育價值、教學功能，助力學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與問題解決能力的提高.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ Jonassen D H . Toward a Design Theory of Problem Solving［J］. Educational Technology Research and Develo-pment，2000，48（04）：63-85.

［3］ David H. Jonassen，鐘志賢，謝榕琴. 基于良構(gòu)和劣構(gòu)問題求解的教學設(shè)計模式（上）［J］. 電化教育研究，2003（10）：33-39.

［4］ 高文. 認知彈性理論、超文本與隨機通達教學——一種折中的建構(gòu)主義學習與教學理論［J］. 全球教育展望，1998，27（06）：1-4.

［5］ 陳琦，劉儒德. 當代教育心理學［M］. 北京：北京師范大學出版社，2002.

［6］ 鐘志賢. 促進學習者高階思維發(fā)展的教學設(shè)計假設(shè)［J］. 電化教育研究，2004（12）：21-28.

［7］ 趙永生，劉毳，趙春梅. 高階思維能力與項目式教學［J］. 高等工程教育研究，2019（06）：145-148+179.

［8］ 安富海. 促進深度學習的課堂教學策略研究［J］.課程·教材·教法，2014，34（11）：57-62.

［9］ 馬云鵬. 深度學習視域下的課堂變革［J］. 全球教育展望，2018，47（10）：52-63.

［10］馬淑杰，張景斌，陳福印. 數(shù)學結(jié)構(gòu)不良問題的育人價值——以高中結(jié)構(gòu)不良數(shù)學問題專題復習課為例［J］. 數(shù)學通報，2020，59（10）：40-45+52.

［11］武麗莎，朱立明. 高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)：生成機制與培養(yǎng)路徑［J］. 數(shù)學教育學報，2021，30（04）：25-29.

［12］曾小平，汪秉彝，呂傳漢. 數(shù)學“情境—問題”教學對數(shù)學探究學習的思考［J］.數(shù)學教育學報，2009，18（01）：82-87.

［13］王富英. 論中學數(shù)學習題課教學［J］. 數(shù)學通報，2020，59（07）：35-39.

［14］顧繼玲，章飛. 初中數(shù)學單元復習課教學設(shè)計的特征分析［J］. 數(shù)學通報，2021，60（07）：31-36+41.