劉加霞

【編者按】在傳統(tǒng)觀念里，利用圓規(guī)與無(wú)刻度直尺開(kāi)展的尺規(guī)作圖直到中學(xué)階段才會(huì)出現(xiàn)。但《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在第二學(xué)段的“內(nèi)容要求”中便提出“會(huì)用直尺和圓規(guī)作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段”，正式將與尺規(guī)作圖有關(guān)的內(nèi)容前置到小學(xué)階段，這對(duì)于教師教學(xué)是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)。尺規(guī)作圖在小學(xué)階段出現(xiàn)有何深意？需要在哪些方面加以落實(shí)？對(duì)于學(xué)生幾何直觀、推理意識(shí)等素養(yǎng)的提升作用如何顯現(xiàn)等，這些問(wèn)題都值得大家展開(kāi)探討。

【摘 要】在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，整體設(shè)計(jì)與有效實(shí)現(xiàn)“尺規(guī)作圖”的育人價(jià)值首先要厘清它的功能定位、邏輯層次，然后再基于小學(xué)生的認(rèn)知需求與難點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)能夠引發(fā)學(xué)生思考的問(wèn)題情境，教師適時(shí)并恰當(dāng)?shù)厥痉蹲鲌D。

【關(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖 功能定位 內(nèi)容邏輯 教學(xué)建議

一、小學(xué)階段增加尺規(guī)作圖的功能定位

雖然尺規(guī)作圖的實(shí)質(zhì)并不在畫(huà)圖，而是一種嚴(yán)格的邏輯分析與論證的鍛煉與修養(yǎng)”［1］，但在小學(xué)階段尺規(guī)作圖的目標(biāo)定位并不在于此。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中小學(xué)階段的“用直尺和圓規(guī)作圖”內(nèi)容不同于歐幾里得《幾何原本》中的尺規(guī)作圖?！稁缀卧尽肥且晕鍡l“作圖公法”為基礎(chǔ)，每一步都必須以定義、公設(shè)或已被證明的命題為依據(jù)進(jìn)行。尺規(guī)作圖一直是構(gòu)建幾何學(xué)演繹體系的基礎(chǔ)，是認(rèn)識(shí)幾何概念及其關(guān)系的基礎(chǔ)，但需要重新審視該內(nèi)容在小學(xué)課程中的功能定位。

1.提供了認(rèn)識(shí)圖形的新途徑，把握?qǐng)D形的本質(zhì)特征。

尺規(guī)作圖為小學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何圖形提供了另一條路徑。認(rèn)識(shí)圖形的特征主要有兩種途徑：靜態(tài)抽象、動(dòng)態(tài)畫(huà)圖。圖形的認(rèn)識(shí)主要是對(duì)圖形的抽象［2］，即學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際物體抽象出幾何圖形的過(guò)程，是從整體感知的角度抽象并認(rèn)識(shí)圖形的特征與關(guān)系。認(rèn)識(shí)圖形還可以從要素構(gòu)成角度，經(jīng)歷圖形的邊與角的動(dòng)態(tài)生成過(guò)程。例如，認(rèn)識(shí)“圓”，可以對(duì)圓形實(shí)物進(jìn)行靜態(tài)抽象（描出圓形實(shí)物的輪廓形成圓），再折疊圓形紙片感悟圓的“萬(wàn)能對(duì)稱(chēng)性”；也可以用標(biāo)準(zhǔn)或非標(biāo)準(zhǔn)圓規(guī)（甚至只用直尺）在畫(huà)圓過(guò)程中經(jīng)歷圓的生成過(guò)程，感悟“圓，一中同長(zhǎng)”這一本質(zhì)。兩種途徑都能把握?qǐng)A的本質(zhì)與特征。小學(xué)階段所學(xué)圖形主要通過(guò)靜態(tài)抽象、直觀操作（例如折疊、測(cè)量）實(shí)物來(lái)認(rèn)識(shí)，較為符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。但作（畫(huà)）圖的過(guò)程能讓學(xué)生經(jīng)歷由“點(diǎn)”到“線(xiàn)”，再到“圖形”的全過(guò)程，這一過(guò)程往往揭示圖形的本質(zhì)特征，動(dòng)態(tài)畫(huà)圖也是小學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形的重要渠道。

通過(guò)尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅更深刻地認(rèn)識(shí)圖形特征，更是培養(yǎng)他們幾何直觀、空間觀念、推理意識(shí)的重要載體。對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)，看似簡(jiǎn)單的尺規(guī)作圖在實(shí)際操作過(guò)程中存在難度，需要他們具備較強(qiáng)的空間想象能力與推理能力。正因?yàn)椤坝须y度”才更能激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的探究愿望，但不排除部分學(xué)生因“不知從哪兒入手作圖”“沒(méi)有強(qiáng)烈的作圖動(dòng)機(jī)”而放棄思考與完成作圖任務(wù)，育人目標(biāo)難以實(shí)現(xiàn)。

2.初步認(rèn)識(shí)尺規(guī)的基本功能，促進(jìn)構(gòu)造性思維的發(fā)展。

幾何作圖是將想象的幾何概念構(gòu)造（存在性）出來(lái)的基本途徑。作圖的過(guò)程實(shí)質(zhì)是“構(gòu)圖”的過(guò)程：首先構(gòu)造出圖形的核心要素“點(diǎn)”與“線(xiàn)”。例如，學(xué)生在用尺規(guī)畫(huà)等長(zhǎng)線(xiàn)段的過(guò)程中，逐步理解作圖的根本，初步感悟“構(gòu)圖”的基本要素：“規(guī)”的核心是能構(gòu)造出無(wú)數(shù)條“看不見(jiàn)”的、共用同一個(gè)端點(diǎn)的等長(zhǎng)線(xiàn)段?！翱吹靡?jiàn)”的是圓規(guī)的針尖確定不動(dòng)的圓心，“帶鉛筆”的一腳確定無(wú)數(shù)個(gè)到圓心距離都相等的點(diǎn)，“點(diǎn)動(dòng)形成弧線(xiàn)”。“尺”的核心是把兩點(diǎn)連起來(lái)構(gòu)成線(xiàn)段，其背后的道理是線(xiàn)段的長(zhǎng)度是由兩個(gè)端點(diǎn)的距離決定的，將抽象的“距離”可視化為有長(zhǎng)度的“線(xiàn)段”。尺規(guī)作圖的本質(zhì)就是“找到兩點(diǎn)”再連線(xiàn)，即可作出滿(mǎn)足要求的線(xiàn)段或圖形。

尺規(guī)作圖讓學(xué)生經(jīng)歷幾何圖形的從“無(wú)”到“有”的構(gòu)造過(guò)程，形成認(rèn)識(shí)的視覺(jué)過(guò)程，建立相應(yīng)的幾何表象與空間知覺(jué)等，都有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形的組成元素及其位置關(guān)系，對(duì)圖形的結(jié)構(gòu)特征形成直觀感知與理解，探究并發(fā)現(xiàn)圖形各要素之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與空間觀念，體現(xiàn)出構(gòu)造性思維，為邏輯推理積累經(jīng)驗(yàn)。

3.滲透并讓學(xué)生初步感悟數(shù)學(xué)精神的力量。

歐幾里得幾何建立了最簡(jiǎn)單、最直觀、最能為學(xué)生所接受的數(shù)學(xué)模型：點(diǎn)、線(xiàn)、面、三角形、圓，又能讓學(xué)生通過(guò)操作尺規(guī)親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)推理的力量。柏拉圖認(rèn)為直線(xiàn)和圓是最簡(jiǎn)潔、最清楚的圖形，因此只有直線(xiàn)、圓以及由它們得出的圖形才是最清楚的；直線(xiàn)和圓的對(duì)稱(chēng)性反映了部分與部分之間的統(tǒng)一性，而將這種統(tǒng)一性推而廣之，便可探尋到整個(gè)宇宙的奧秘［3］，看似簡(jiǎn)單的尺規(guī)作圖蘊(yùn)含著幾何學(xué)的精髓。

以“尺規(guī)作圖活動(dòng)育德”應(yīng)該指的是智者的，與理想、信念、行動(dòng)相關(guān)的，令世人稱(chēng)頌并仿效的那些閃爍著人倫光輝的事跡。［4］教學(xué)中，教師可通過(guò)講故事的方式介紹古希臘數(shù)學(xué)家以及《幾何原本》，讓學(xué)生感受其中的尺規(guī)作圖竟會(huì)如此嚴(yán)謹(jǐn)，像古希臘“三大不能”作圖問(wèn)題竟然不能用尺規(guī)作圖解決。初步感知這些富于挑戰(zhàn)性的問(wèn)題是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力，感悟數(shù)學(xué)家們不畏困難、不言放棄的探究精神，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極情感。作為數(shù)學(xué)文化啟蒙的載體，尺規(guī)作圖對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展價(jià)值，以及它所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美學(xué)價(jià)值、數(shù)學(xué)理性精神等應(yīng)該盡早在教學(xué)中滲透，讓學(xué)生初步感悟數(shù)學(xué)來(lái)源于生活也超越生活，數(shù)學(xué)是一種精神力量。

二、小學(xué)階段尺規(guī)作圖內(nèi)容的邏輯層次

《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求的尺規(guī)作圖共有19處，分為基本作圖與復(fù)合作圖，有16處的尺規(guī)作圖源自《幾何原本》［5］，其中基本作圖有5個(gè)，復(fù)合作圖是有限次地運(yùn)用基本作圖方法作出其他圖形。小學(xué)階段的作圖內(nèi)容較少，但由于是第一次進(jìn)入小學(xué)，需要首先弄清楚其內(nèi)容的邏輯層次與作圖本質(zhì)。

1.小學(xué)階段尺規(guī)作圖的內(nèi)容及其邏輯層次。

在小學(xué)階段，“用直尺和圓規(guī)作圖”主要包括：（1）作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段（感知線(xiàn)段長(zhǎng)度與兩點(diǎn)間距離的關(guān)系，增強(qiáng)幾何直觀。（2）將三角形的三條邊畫(huà)到一條直線(xiàn)上（直觀感受三角形的周長(zhǎng)）。（3）作三角形，直觀感受三角形中任意兩邊之和大于第三邊。

這三個(gè)作圖內(nèi)容可以分為兩類(lèi)：第一類(lèi)是“作等長(zhǎng)線(xiàn)段”，通過(guò)作圖認(rèn)識(shí)三角形周長(zhǎng)是其簡(jiǎn)單運(yùn)用，屬于基本作圖內(nèi)容。第二類(lèi)是“已知三條線(xiàn)段，作三角形”，即給出幾組線(xiàn)段（每組三條），有的能構(gòu)成三角形，有的不能，能構(gòu)成三角形的要用直尺和圓規(guī)畫(huà)出來(lái)，該任務(wù)屬于復(fù)合作圖內(nèi)容。通過(guò)作圖“理性地”認(rèn)識(shí)圖形的周長(zhǎng)與三角形的三邊關(guān)系。作圖任務(wù)比“度量邊長(zhǎng)再相加（或用線(xiàn)圍一圍再測(cè)量線(xiàn)的長(zhǎng)度）”“拼擺三根小棒”等直觀操作活動(dòng)更抽象，但尋找“點(diǎn)”的過(guò)程充滿(mǎn)探究意蘊(yùn)。第二類(lèi)作圖能凸顯尺規(guī)作圖的本質(zhì)：用圓規(guī)尋找滿(mǎn)足條件的兩點(diǎn)，用直尺連接兩點(diǎn)形成滿(mǎn)足條件的圖形。它比直觀操作任務(wù)難很多，也比第一類(lèi)作圖任務(wù)更難。

2.《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的“作等長(zhǎng)線(xiàn)段”與《幾何原本》相關(guān)命題的差異。

小學(xué)階段的“作與已知線(xiàn)段等長(zhǎng)的線(xiàn)段”，無(wú)論是“過(guò)已知一點(diǎn)作等長(zhǎng)線(xiàn)段”，還是“已知兩條不等長(zhǎng)的線(xiàn)段，在較長(zhǎng)的線(xiàn)段上取與較短線(xiàn)段等長(zhǎng)的線(xiàn)段”，其作圖內(nèi)容與方法跟《幾何原本》第一卷命題1.2、命題1.3都不同。小學(xué)階段的“作等長(zhǎng)線(xiàn)段”是在已知直線(xiàn)上“截取”線(xiàn)段，即已存在直線(xiàn)，在其上用圓規(guī)截取與已知線(xiàn)段等長(zhǎng)的線(xiàn)段。該作圖任務(wù)表面上好像是命題1.3，但作圖方法并不相同?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)“作等長(zhǎng)線(xiàn)段”的內(nèi)容表述與作法較為簡(jiǎn)單且直觀：根據(jù)《幾何原本》公理4確保了圓規(guī)兩腳間的距離等于已知線(xiàn)段a的長(zhǎng)度，根據(jù)公設(shè)3作圓，再根據(jù)作圖公法4（線(xiàn)圓有交點(diǎn)）找到點(diǎn)B，線(xiàn)段AB即為所求。

“作等長(zhǎng)線(xiàn)段”關(guān)涉《幾何原本》［6］第一卷的前三個(gè)命題。命題1.1：在一個(gè)已知有限直線(xiàn)上作一個(gè)等邊三角形。設(shè)AB是已知有限直線(xiàn)，要求在AB上作一等邊三角形（作法省略）。命題1.2：由一個(gè)已知點(diǎn)（作為端點(diǎn)）作一線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段。設(shè)A是已知點(diǎn)，BC是已知線(xiàn)段，要求由A（作為端點(diǎn)）作一線(xiàn)段等于BC。具體作法為：（1）從點(diǎn)A到點(diǎn)B連直線(xiàn)（公設(shè)1）。（2）在AB上作等邊三角形ABD（命題1.1）。（3）延長(zhǎng)DA、DB成直線(xiàn)DE、DF（公設(shè)2）。（4）以B為圓心，BC為距離作圓CGH（公設(shè)3）。（5）以D為圓心，DG為距離作圓GLK（公設(shè)3）。（6）由于點(diǎn)B為圓心，所以BC=BG；點(diǎn)D為圓心，所以DG=DL，而DA=DB，因此，余量AL等于余量BG（公理3）。（7）而B(niǎo)G=BC，因此AL、BC都等于BG，等于同量的量彼此相等，因此AL=BC（公理1）。如圖1所示。

圖1

命題1.3：已知兩條不相等的線(xiàn)段，試由大的上邊截取一條線(xiàn)段使它等于另外一條。設(shè)AB、C是兩條不相等的線(xiàn)段，且AB大于C，要求由較大的AB上截取一段等于C。具體作法如圖2所示。

命題1.3與《課程標(biāo)準(zhǔn)》所給方法的最大不同是：首先“根據(jù)命題1.2作出與C等長(zhǎng)的線(xiàn)段AD”，然后再以A為圓心，AD為半徑作圓A（公設(shè)3）與線(xiàn)段AB相交于點(diǎn)E，AE=AD（定義15），而AD=C，所以AE=C（公理1），而《課程標(biāo)準(zhǔn)》所給方法是“簡(jiǎn)化版”，更為直觀。

由前述分析可知，《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的“作等長(zhǎng)線(xiàn)段”不同于《幾何原本》中的作圖方法，也不同于傳統(tǒng)課程中用有刻度直尺畫(huà)出給定長(zhǎng)度的線(xiàn)段。以往課程中的“畫(huà)5厘米長(zhǎng)的線(xiàn)段”凸顯的仍然是“度量思想”，這條線(xiàn)段是由5條“1厘米線(xiàn)段”不改變線(xiàn)段方向前提下首尾相連構(gòu)成的，強(qiáng)調(diào)直觀操作不強(qiáng)調(diào)推理；《課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的作法則有較為簡(jiǎn)單的推理成分（例如根據(jù)公設(shè)3、公理4、作圖公法4），作圖直觀易于學(xué)生理解?！稁缀卧尽分械淖鞣▌t是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^(guò)程，每一步操作都必須有定義、公理、公設(shè)或已知命題作為作圖依據(jù)。義務(wù)教育階段的作圖方法不能完全按照《幾何原本》。

三、小學(xué)階段落實(shí)尺規(guī)作圖育人目標(biāo)的教學(xué)建議

1.創(chuàng)設(shè)有必要展開(kāi)尺規(guī)作圖的問(wèn)題情境。

好的問(wèn)題情境是激發(fā)學(xué)生好奇心、增強(qiáng)探究意愿的前提。問(wèn)題情境既可以是現(xiàn)實(shí)生活情境，也可以是脫離現(xiàn)實(shí)的純數(shù)學(xué)情境。例如，學(xué)習(xí)“作等長(zhǎng)線(xiàn)段”時(shí)有的教師創(chuàng)設(shè)了如下情境。［7］

教師首先播放了鞏立姣在東京奧運(yùn)會(huì)鉛球比賽中的錄像，引出本節(jié)課的第一個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)：出示三位同學(xué)投鉛球的軌跡圖和“能入選校隊(duì)的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度”（如圖3），請(qǐng)學(xué)生判斷：誰(shuí)能夠達(dá)到入選校隊(duì)的標(biāo)準(zhǔn)。

學(xué)生用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)有多種方法解決“誰(shuí)能入選校隊(duì)”問(wèn)題，其關(guān)鍵步驟是用直尺或圓規(guī)“搬動(dòng)”一條線(xiàn)段與另外的線(xiàn)段“重合”來(lái)比較長(zhǎng)短，而本質(zhì)就是命題1.3——在較長(zhǎng)線(xiàn)段上截取較短線(xiàn)段。

在解決該問(wèn)題過(guò)程中，學(xué)生逐步感悟圓與線(xiàn)段的本質(zhì)。圓的本質(zhì)——一中同長(zhǎng)，進(jìn)而理解為何現(xiàn)實(shí)生活中鉛球場(chǎng)地上畫(huà)了很多圓弧，同一圓弧到中心點(diǎn)的距離都相同、不同圓弧到中心點(diǎn)的距離不同，便于快速判斷選手的比賽成績(jī)。線(xiàn)段的本質(zhì)——有限長(zhǎng)度，可比較長(zhǎng)度或累加，讓學(xué)生體會(huì)到用圓規(guī)可以將不同長(zhǎng)度的線(xiàn)段“重疊”（或首尾累加），更便于比較長(zhǎng)短（或求線(xiàn)段之和），進(jìn)而感悟到“作等長(zhǎng)線(xiàn)段”的現(xiàn)實(shí)價(jià)值和數(shù)學(xué)意義。在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題基礎(chǔ)上再進(jìn)一步作圖并概要?dú)w納作圖步驟，初步感悟這樣作圖的合理性。

小學(xué)階段尺規(guī)作圖的問(wèn)題情境可以從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題導(dǎo)入，讓學(xué)生感悟作圖的必要性和多樣性。但是自古以來(lái)尺規(guī)作圖都是純數(shù)學(xué)問(wèn)題，更要脫離現(xiàn)實(shí)情境解決純粹數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如，判斷三條邊能否構(gòu)成三角形，已知三條邊畫(huà)出三角形等，讓小學(xué)生也初步感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活更超越現(xiàn)實(shí)生活，純粹數(shù)學(xué)問(wèn)題也能吸引他們不斷探究。

2.精準(zhǔn)把握學(xué)生作圖過(guò)程中的難點(diǎn)。

如前所述，尺規(guī)作圖的核心是找到滿(mǎn)足條件的“點(diǎn)”，然后“連點(diǎn)成線(xiàn)”再構(gòu)成所作的目標(biāo)圖，即使小學(xué)階段最為簡(jiǎn)單的作圖也是如此。按照作圖公法的第三、四、五條可知，點(diǎn)產(chǎn)生于“線(xiàn)線(xiàn)相交、線(xiàn)圓相交、圓圓相交”，小學(xué)生作圖的難點(diǎn)是不知道“弧線(xiàn)與直線(xiàn)、弧線(xiàn)與弧線(xiàn)”相交成的點(diǎn)即是滿(mǎn)足條件的點(diǎn)。例如，在畫(huà)三角形時(shí)，學(xué)生知道以其中一條邊為底（已知兩點(diǎn)頂點(diǎn)），目標(biāo)是找到三角形的另一個(gè)頂點(diǎn)，但學(xué)生不知道或不理解“兩弧的交點(diǎn)就是三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)”。學(xué)生習(xí)慣用直尺畫(huà)出兩組等長(zhǎng)線(xiàn)段，不斷調(diào)試來(lái)尋找“交點(diǎn)（頂點(diǎn)）”（圖4），不能直接想到分別畫(huà)兩條圓弧相交（圖5），其難點(diǎn)是“看不見(jiàn)”圓規(guī)能畫(huà)出無(wú)數(shù)條長(zhǎng)度相等但方向不同的線(xiàn)段。

教學(xué)時(shí)教師要在適當(dāng)時(shí)機(jī)“揭秘”（如圖6）：“看得見(jiàn)”的圓弧上的無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)與圓心相連構(gòu)成等長(zhǎng)線(xiàn)段。例如，教學(xué)中這樣處理。［8］

師：這組同學(xué)的方法（圖5）真巧妙，借助這兩條弧讓我們一下就找到了第三個(gè)頂點(diǎn)。為什么當(dāng)我們確定了這兩條弧的交點(diǎn)就確定了三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)了呢？

生1：這條弧上的任意一點(diǎn)，到線(xiàn)段c的端點(diǎn)距離都是相等的。這條弧可以看作是這些點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。那這個(gè)交點(diǎn)就是線(xiàn)段a和線(xiàn)段b相交的位置。

生2：這條弧其實(shí)就是線(xiàn)段a所有的可能性，然后再把線(xiàn)段b也畫(huà)出來(lái)，那這兩條弧的交點(diǎn)就既滿(mǎn)足了線(xiàn)段a的長(zhǎng)度又滿(mǎn)足了線(xiàn)段b的長(zhǎng)度。

師：看來(lái)這個(gè)點(diǎn)可真神奇呀！同學(xué)們，比較一下這兩個(gè)小組的作品，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生3：我發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)連起來(lái)就是這條弧。

需要提及的是，在小學(xué)階段完全放手讓學(xué)生構(gòu)思作圖、實(shí)際作圖、歸納作圖步驟非常困難，必須有教師的適當(dāng)引導(dǎo)、啟發(fā)式追問(wèn)，以及教師示范規(guī)范的作圖步驟。教材如何編寫(xiě)這部分內(nèi)容也很有挑戰(zhàn)性，稍有不慎就容易變成“告知作圖步驟、學(xué)生模仿作圖”的狀況，這樣便背離了《課程標(biāo)準(zhǔn)》將該內(nèi)容“下放”到小學(xué)階段的初衷。如何避免“照葫蘆畫(huà)瓢”的現(xiàn)狀是教材編寫(xiě)者與一線(xiàn)教師的挑戰(zhàn)。

3.讓學(xué)生初步體會(huì)尺規(guī)在數(shù)學(xué)發(fā)展中的價(jià)值。

在古代的生產(chǎn)、生活中，較直的樹(shù)枝就是“尺”，樹(shù)杈就是“規(guī)”，尺與規(guī)是實(shí)用性工具。加之線(xiàn)與圓是最基本的兩種圖形，因此，尺規(guī)能夠脫離實(shí)際、剝離實(shí)用屬性，完成一個(gè)從物或器躍升為概念的思想飛躍，使其成為《幾何原本》第一卷公設(shè)1～3的內(nèi)容，以它們?yōu)榍疤嵘韶S富的、具有邏輯關(guān)系的內(nèi)容，使得難以窮盡的各種間接想法得以實(shí)現(xiàn)。沒(méi)有刻度的尺和任意確定的圓或弧猶如人的左膀右臂，所畫(huà)之圖躍然平地、紙草或泥板之上，畫(huà)出來(lái)可以方便思考，不畫(huà)出來(lái)也能想出來(lái)，尺規(guī)所能，盡在腦中?。?］

歷史上罕有數(shù)學(xué)家未探究過(guò)尺規(guī)作圖，其簡(jiǎn)便易行卻內(nèi)涵豐富，能夠激發(fā)人本能的好奇心與求知欲。例如，可以給小學(xué)生講述阿基米德無(wú)懼持刀的羅馬士兵仍專(zhuān)注于幾何作圖，尺規(guī)作圖三大“不能問(wèn)題”看似簡(jiǎn)單卻激發(fā)無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家來(lái)探究并推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展；講述中國(guó)古代伏羲手執(zhí)“矩”，女?huà)z手執(zhí)“規(guī)”，用來(lái)畫(huà)圓、直線(xiàn)與量直角，進(jìn)而演變?yōu)椤耙?guī)矩”一詞，表示行為要有規(guī)范；也可以介紹有的數(shù)學(xué)家提出運(yùn)用“生銹圓規(guī)”（兩腳間固定不能叉開(kāi)）仍可以完成很多作圖問(wèn)題，同時(shí)介紹中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)等等。

（作者單位：北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)與科學(xué)教育學(xué)院）

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