胡文華，高家旺，馮晶晶，朱東方，曹東興，吳瑞琴

(1.天津理工大學(xué)天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384；2.機(jī)電工程國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心(天津理工大學(xué))，天津 300384；3.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109；4.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；5.北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100124)

桁架常被用作設(shè)計(jì)輕量化結(jié)構(gòu)[1]。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)分析中，有限元方法應(yīng)用廣泛[2]。但桁架結(jié)構(gòu)的元件眾多、質(zhì)量和剛度分布不均勻，利用等效動(dòng)力學(xué)模型分析其本質(zhì)動(dòng)力學(xué)特性比利用有限元法更具優(yōu)勢[3]。國內(nèi)外許多學(xué)者對其連續(xù)體等效建模與固有特性分析進(jìn)行了研究[4-5]。直接用有限元法可以獲取桁架的等效剛度等參數(shù)[6]，利用譜元法和均勻化方法也可以構(gòu)建周期性桁架的等效模型[7-8]。NOOR 等[9- 10]提出了基于能量互等原理的連續(xù)體建模方法，并對多種等效方法進(jìn)行對比。STEPHEN和GHOSH[11]建立了鉸接非對稱周期桁架結(jié)構(gòu)的等效梁模型，并對拉伸-扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)問題進(jìn)行了分析。SALEHIAN和INMAN[12]建立了鉸接平面桁架結(jié)構(gòu)的等效梁模型，利用哈密頓原理推導(dǎo)出等效梁模型的動(dòng)力學(xué)偏微分方程，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論結(jié)果。蔡坤和史姣[13]將具有周期性微結(jié)構(gòu)的平面網(wǎng)格結(jié)構(gòu)比擬成均勻的連續(xù)體。李東旭等[14]研究了空間智能桁架的振動(dòng)控制問題。關(guān)富玲和戴璐[15]對比了單環(huán)桁架與雙環(huán)桁架的結(jié)構(gòu)剛度，并研究了桁架口徑尺寸對其動(dòng)力學(xué)特性的影響。劉福壽和金棟平[16]將平面周期單胞等效為空間梁模型，并對比了原模型與等效模型的振動(dòng)特性。GUO等[17]將雙層鉸接環(huán)形桁架結(jié)構(gòu)等效為連續(xù)體模型，結(jié)合實(shí)驗(yàn)與有限元結(jié)果驗(yàn)證了等效方法的準(zhǔn)確性。柳劍波等[18]建立雙胞元平面桁架結(jié)構(gòu)的等效梁模型后，分析了單胞數(shù)量及彈性模量對固有特性的影響。張偉等[19]將含間隙運(yùn)動(dòng)副的環(huán)形桁架結(jié)構(gòu)等效為環(huán)形薄壁模型。GUZMAN 等[20]研究了豎直放置的三棱柱塔架結(jié)構(gòu)，將其等效為直梁模型并分析了其頻率和屈曲特性。劉梅等[21]利用能量等效法研究了直線式正三棱柱桁架結(jié)構(gòu)，基于數(shù)值結(jié)果對比分析了等效模型的振型。桁架用作承載結(jié)構(gòu)時(shí)，其各方向的承載要求通常不同，如圖1所示，桁架式吊臂主要是在垂向上克服重力，空間直線式天線的反射面板只安裝于其支撐桁架的一側(cè)，主要載荷發(fā)生在導(dǎo)致橫向彎曲的一個(gè)側(cè)面上。為了滿足承載要求，同時(shí)實(shí)現(xiàn)輕量化或低成本設(shè)計(jì)等目標(biāo)，對于靜態(tài)承載，需要在結(jié)構(gòu)不同方向上進(jìn)行剛度設(shè)計(jì)，而對于動(dòng)態(tài)載荷，應(yīng)該考慮不同方向上的頻率設(shè)計(jì)。許多學(xué)者研究了桁架的連續(xù)體等效問題，但針對桁架在各方向上不同的承載需求而開展的研究較少。

圖1 支撐桁架Fig.1 Support truss

三棱直線桁架是具有代表性的空間梁式承載結(jié)構(gòu)，通常是在某一個(gè)方向上有較高的承載要求。針對桁架結(jié)構(gòu)各向承載異性問題，本文以三棱直線桁架為例，考慮非正三角形截面特征，利用能量等效方法推導(dǎo)桁架的等效參數(shù)的解析表達(dá)式，給定參數(shù)并利用有限元方法對理論推導(dǎo)進(jìn)行驗(yàn)證，最后基于理論推導(dǎo)結(jié)果分析截面特征和單胞形式對三棱直線桁架承載特性的影響。

1 等效參數(shù)

如圖2所示，三棱直線桁架是由多個(gè)桁架單胞沿直線排列而成的周期結(jié)構(gòu)，桁架單胞由多個(gè)桿件組成。其中：豎桿長b， 底桿長s，橫桿長L。

圖2 三棱桁架ⅠFig.2 Tri-prism trussⅠ

直線桁架的連續(xù)體等效實(shí)質(zhì)是將節(jié)點(diǎn)較多的桁架單胞簡化為節(jié)點(diǎn)較少的梁單元，使得原結(jié)構(gòu)與等效模型處于同樣位移場和速度場時(shí)具有相等的應(yīng)變能和動(dòng)能。如圖2(a)所示，在桁架結(jié)構(gòu)中截取桁架單胞，設(shè)定坐標(biāo)原點(diǎn)并建立坐標(biāo)系，將單胞中任意點(diǎn)的位移表示成x軸線上變量，有：

式 中，u0、v0、w0、φx、φy、φz、、、都 是x的函數(shù)。

基于小變形假設(shè)，將式(1)在坐標(biāo)原點(diǎn)處對x進(jìn)行一階泰勒展開，有：

單胞中各桿件的軸向正應(yīng)變?yōu)椋旱趉個(gè) 桿件；l、m和n分別表示桿件軸線與單胞坐標(biāo)系各軸的夾角的余弦。

假定單胞中各桿件相互鉸接，只考慮桿件的軸向正應(yīng)變，第k個(gè)桿件的應(yīng)變能計(jì)為：

不考慮桿件局部變形，其動(dòng)能計(jì)為：

式中，下標(biāo)L和R表 示第k個(gè)桿件的首尾端點(diǎn)。

利用式(2)～式(5)可將桁架單胞的應(yīng)變能和動(dòng)能表示為：

基于能量等效原則，將桁架單胞應(yīng)變能和動(dòng)能與等效連續(xù)體梁模型的應(yīng)變能和動(dòng)能分別相等，可得等效梁模型的拉伸剛度E′A′、彎曲剛度和、剪切剛度和、扭轉(zhuǎn)剛度G′J′、單位長度質(zhì)量、扭轉(zhuǎn)慣性參數(shù)和彎曲慣性參數(shù)，如下式所示：

2 等效驗(yàn)證

某三棱直線桁架由10個(gè)如圖2所示桁架單胞構(gòu)成，單胞中各桿件的彈性模量為72GPa，密度為2768 kg/m3，泊松比取0.33，幾何參數(shù)如表1所示。

表1 桿件參數(shù)Table1 Parametersof bars

令桁架一端固定一端自由，利用ANSYS計(jì)算出前幾階頻率，如圖3(a)所示?；谑?7)計(jì)算出懸臂梁的前三階彎曲和扭轉(zhuǎn)頻率，將所得結(jié)果與有限元計(jì)算頻率進(jìn)行對比，如圖3(b)所示?？梢钥闯?，仿真計(jì)算出的頻率與等效參數(shù)所得結(jié)果基本一致。

圖3 數(shù)值驗(yàn)證Fig.3 Numerical verification

3 單胞結(jié)構(gòu)對桁架承載特性的影響

關(guān)于三棱直線桁架力學(xué)特性的文獻(xiàn)通常將截面設(shè)定為正三角形，這意味著結(jié)構(gòu)剛度或頻率在三個(gè)側(cè)向上都相等。但實(shí)際工程中，桁架通常是在某個(gè)側(cè)向的承載要求高于其它方向。本節(jié)基于前兩節(jié)推導(dǎo)和驗(yàn)證的等效參數(shù)研究單胞結(jié)構(gòu)特征對桁架承載特性的影響。

3.1 底邊與側(cè)邊的長度比η 的影響

為了滿足桁架在不同方向的承載需求，同時(shí)實(shí)現(xiàn)輕量化設(shè)計(jì)，如式(8)所示，本文假定桁架截面的周長不變，研究底邊與側(cè)邊的長度比 η 對三棱直線桁架的剛度和頻率的影響。

在第2節(jié)給出的三棱直線桁架中，令其他條件不變，僅改變η，計(jì)算三棱直線桁架的固有頻率。三棱直線桁架側(cè)向的前兩階彎曲頻率與 η 的關(guān)系如圖4和圖5所示?？梢钥闯?，隨著 η 增大，三棱直線桁架在z向上的前兩階彎曲頻率都是減小，在y向上的前兩階彎曲頻率都是增大。三棱直線桁架前兩階彎曲頻率在兩個(gè)側(cè)向上的變化趨勢相反，但是振型類似，表現(xiàn)為懸臂梁的前兩階彎曲振型。

圖4 z方向彎曲Fig.4 Bending in z-direction

圖5 y方向彎曲Fig.5 Bending in y-direction

圖6同時(shí)給出了兩個(gè)側(cè)向的彎曲頻率，可以看出，當(dāng)η=1時(shí)，頻率曲線有一個(gè)交點(diǎn)，表明截面為正三邊形時(shí)，三棱直線桁架的兩個(gè)側(cè)向彎曲頻率幾乎相等。圖6中，頻率曲線將所在平面分割成多個(gè)區(qū)域，這表明可以利用 η 的調(diào)整來指導(dǎo)桁架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和承載設(shè)計(jì)，從而避免結(jié)構(gòu)產(chǎn)生共振或者內(nèi)共振。

圖6 頻率對比Fig.6 Frequency comparison

對于靜態(tài)載荷，主要考慮承載方向的剛度。因此，圖7給出了 η 與三棱直線桁架側(cè)向等效彎曲剛度的關(guān)系?？梢钥闯?，隨著 η 增大，三棱直線桁架在z向的剛度逐漸減小，在y向的剛度逐漸增大。

圖7 η對等效剛度的影響Fig.7 Effectsof ηon theequivalent stiffness

3.2 單胞形式的影響

工程中常有不同單胞形式的三棱直線桁架[22]，以適應(yīng)不同的承載要求。單胞形式的改變必然導(dǎo)致桁架的頻率和剛度等特性發(fā)生變化。為此，在圖3所示桁架的基礎(chǔ)上進(jìn)行調(diào)整，得到如圖8所示兩種桁架。圖8(a)所示三棱桁架Ⅱ中，截面的中線表示各截面上沿著z向加入一個(gè)直徑為6×10-5m2的桿件，成為底邊的高。圖8(b)所示三棱桁架Ⅲ中，桁架單胞斜向腹桿數(shù)減少一半，其他條件保持不變。

圖8 三棱桁架Fig.8 Tri-prism truss

利用第1節(jié)的等效方法得出圖8中桁架的等效剛度和等效質(zhì)量。設(shè)z向?yàn)橹鞒休d方向，計(jì)算出其彎曲頻率及剛度，并與桁架Ⅰ進(jìn)行對比，如表2所示?？梢钥闯?，桁架Ⅱ的z向前兩階彎曲頻率降低，而等效彎曲剛度和等效質(zhì)量有所增大。桁架Ⅲ中以上各量的變化與桁架Ⅱ剛好相反。桁架Ⅱ中等效質(zhì)量相對增加率大于等效剛度相對增加率，桁架Ⅲ中等效質(zhì)量相對減小率大于等效剛度相對減小率。因此，單胞形式改變后，桁架頻率增減取決于等效剛度和等效質(zhì)量的相對變化。

表2 單胞改變前后桁架特性Table2 Featuresof trusses before and after changing units

以上分析表明單胞結(jié)構(gòu)對三棱直線桁架的頻率和剛度都有一定影響。針對桁架結(jié)構(gòu)各方向上不同的承載需求，合理選擇或設(shè)計(jì)單胞結(jié)構(gòu)對三棱直線桁架的動(dòng)靜態(tài)承載性能有重要作用。

4 結(jié)論

針對桁架各向不同承載需求，以三棱直線桁架為例考慮其截面特征，利用等效方法推導(dǎo)了等腰三棱直線桁架的等效剛度與等效質(zhì)量，通過算例對比理論推導(dǎo)結(jié)果與數(shù)值計(jì)算頻率，驗(yàn)證了等效計(jì)算的正確性，分析了截面底邊與側(cè)邊的長度比 η 以及單胞形式對三棱直線桁架的剛度和頻率的影響。研究表明：

(1)隨著η 增大，三棱直線桁架前兩階彎曲頻率及剛度在兩個(gè)側(cè)向上的變化趨勢相反，但振型相似；

(2)改變單胞形式，三棱直線桁架的z向彎曲頻率、等效彎曲剛度和等效質(zhì)量隨之改變，桁架頻率增減取決于等效剛度和等效質(zhì)量的相對變化；

(3)單胞結(jié)構(gòu)特征對三棱直線桁架的動(dòng)靜態(tài)承載性能有重要影響，例如進(jìn)行頻率設(shè)計(jì)可以避免結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)承載時(shí)產(chǎn)生共振或者內(nèi)共振，而剛度設(shè)計(jì)則可以在滿足靜態(tài)承載需求的同時(shí)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化。

式中：Ab為 豎桿和底桿截面積；Al為 橫桿截面積；Ad為底面斜桿和側(cè)面斜桿的截面積；Eb、Ed、El為彈性模量；ρb、ρd、ρl為密度。豎桿和底桿的彈性模量及密度相同，底面斜桿和側(cè)面斜桿的彈性模量及密度相同。側(cè)面斜桿長度d=，底面斜桿長度ds=。p,q,r是為了簡化公式引入的函數(shù)，表達(dá)式如下：