王 晴，任曉丹

(同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092)

混凝土澆筑完成后的最初幾天是混凝土劇烈變形和性能提升的關(guān)鍵時(shí)期。在早齡期養(yǎng)護(hù)過程中，水泥的水化作用：一方面會引起材料體積變化，產(chǎn)生自收縮變形；另一方面，水化反應(yīng)會不斷釋放熱量，使得混凝土內(nèi)部發(fā)生溫度變化，并引起溫度變形。受自收縮變形、溫度變形以及周圍約束作用的影響，早齡期混凝土結(jié)構(gòu)，尤其是大體積混凝土，極易產(chǎn)生較大的內(nèi)力作用。在這一過程中，混凝土的徐變效應(yīng)也會影響其內(nèi)力狀態(tài)。與成熟混凝土相比，早齡期混凝土的強(qiáng)度等力學(xué)性能相對較低，上述內(nèi)力、變形作用可能會使結(jié)構(gòu)在早齡期階段發(fā)生損傷、開裂等不利行為[1]。

早齡期混凝土的開裂行為會加速鋼筋的銹蝕、碳化等有害化學(xué)反應(yīng)，嚴(yán)重影響鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的長期承載力，給工程結(jié)構(gòu)全壽命周期的安全性埋下了隱患；對于一些具有抗?jié)B防滲要求的結(jié)構(gòu)，如橋梁隧道、混凝土路面、混凝土大壩等，早齡期階段的變形、應(yīng)力作用以及開裂行為，會對結(jié)構(gòu)的功能性產(chǎn)生不利的影響[2]。另外，對于一些具有密閉性要求的結(jié)構(gòu)，如核電站安全殼、液化天然氣儲罐等，早齡期的開裂行為可能會引起核物質(zhì)、可燃性氣體等的泄露問題，甚至造成災(zāi)難性的工程事故。由此可見，開展早齡期混凝土的力學(xué)行為研究，綜合反映混凝土早齡期階段的開裂、徐變、溫度變形、自收縮變形和齡期效應(yīng)等各項(xiàng)力學(xué)行為，對于保證工程結(jié)構(gòu)全壽命周期的安全性和耐久性具有重要意義。

從力學(xué)的角度考察，早齡期大體積混凝土的行為涉及到多場耦合作用、徐變效應(yīng)和損傷發(fā)展。其中，多場耦合作用是指在早齡期階段，大體積混凝土至少包含應(yīng)力-變形場、溫度場和化學(xué)場的作用，其中，化學(xué)場與放熱過程密切相關(guān)，將會引起溫度場變化，溫度場會影響應(yīng)力-變形場。徐變則是指混凝土在長期的應(yīng)力作用下產(chǎn)生的持續(xù)變形，且變形量同時(shí)受到溫度和水化反應(yīng)程度的影響。而損傷是指混凝土在應(yīng)力、溫度等的共同作用下會產(chǎn)生開裂現(xiàn)象，并伴隨著材料性能的劣化。

混凝土多場耦合模型的研究歷史并不長，20世紀(jì)90年代ULM 等[3-4]發(fā)展了一類化學(xué)-熱-力多場耦合模型，該模型綜合考慮了早齡期混凝土的溫度變化、塑性變形和齡期效應(yīng)。后來，LACKNER 等[5]提出了化學(xué)-力兩場耦合模型，引入了Rankine 斷裂準(zhǔn)則描述混凝土的受拉破壞行為，并成功應(yīng)用于實(shí)際的碾壓混凝土壩結(jié)構(gòu)?；诰幹频脑琮g期子程序，我國學(xué)者王麗娟等[6-7]開展了混凝土路面板結(jié)構(gòu)早齡期翹曲的數(shù)值模擬研究，綜合考慮了溫度場、濕度場和徐變行為的影響。上述模型植根于塑性力學(xué)理論框架內(nèi)，無法反映由于損傷發(fā)展引起的混凝土強(qiáng)度軟化、剛度退化等行為[8]。另外，ULM 等[3-4]和LACKNER等[5]的研究也沒有考慮到混凝土徐變變形的影響。

混凝土徐變的研究由來已久，我國學(xué)者在此方面開展了系統(tǒng)的研究工作。20世紀(jì)五六十年代，趙祖武[9]建立了混凝土非線性徐變的基本表達(dá)，合理考慮了齡期效應(yīng)、彈性后效等特征。朱伯芳[10]將混凝土徐變行為引入了大體積混凝土研究中，分析了徐變影響下拱壩的內(nèi)力重分布，通過理論推導(dǎo)得到了靜荷載和溫度作用下壩體應(yīng)力的具體解答，極大地促進(jìn)了混凝土拱壩結(jié)構(gòu)的發(fā)展。黃海東等[11]提出一類混凝土非線性徐變模型，結(jié)合顯式迭代方法，實(shí)現(xiàn)了對長期持荷作用下混凝土裂縫擴(kuò)展過程的模擬。然而，上述研究成果均忽略了環(huán)境變化等因素的影響。此后，為了考慮多重因素對徐變變形的影響，美國學(xué)者BA?ANT等[12- 13]從材料微觀角度研究混凝土的徐變變形，提出了微觀應(yīng)力-固化理論，該模型綜合考慮了齡期效應(yīng)、溫濕度變化對徐變變形的影響，具有較為堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。目前，混凝土徐變變形的研究已經(jīng)趨于成熟，相關(guān)研究成果也已經(jīng)寫入設(shè)計(jì)規(guī)范[14- 16]之中。

近年來，損傷力學(xué)理論蓬勃發(fā)展，損傷的概念在物理本質(zhì)上契合了混凝土典型的應(yīng)變軟化、剛度退化等特征[8]，并且具有較高的數(shù)值計(jì)算效率。20世紀(jì)90年代，CERVERA 等[17- 18]將連續(xù)介質(zhì)損傷理論、微觀應(yīng)力-固化理論與多孔介質(zhì)理論相結(jié)合，發(fā)展了早齡期混凝土的化學(xué)-熱-力學(xué)分析模型，考慮了早齡期混凝土的水化反應(yīng)、齡期效應(yīng)、損傷發(fā)展和徐變效應(yīng)。但是，CERVERA等[17- 18]的模型在徐變行為分析過程中并未考慮環(huán)境條件的影響。為了更為合理地描述早齡期混凝土的氣、液和固相的耦合影響，GAW IN 等[19-20]將混凝土視為一種多孔多相粘彈性材料，綜合考慮了早齡期階段的氣-液相變、濕-熱耦合效應(yīng)和齡期效應(yīng)，并在徐變演化過程中引入了非線性函數(shù)以反映微裂縫發(fā)展引起的徐變放大效應(yīng)。該模型雖然合理考慮了損傷引起的非線性徐變行為，但是在本質(zhì)上仍屬于彈塑性模型，對混凝土損傷開裂過程的描述較為不足。而后，HILAIRE 等[21]、GASCH等[22]、金賢玉等[23]和吳建營等[24]學(xué)者相繼開展了相關(guān)研究工作。綜合來看，早齡期混凝土的損傷分析框架已經(jīng)引起了學(xué)術(shù)界和工程界的關(guān)注，但由于早齡期混凝土力學(xué)行為的復(fù)雜性，目前已有的研究工作對早齡期大體積混凝土力學(xué)行為的考慮尚不夠全面，無法綜合地考慮早齡期混凝土的各項(xiàng)變形特征，分析結(jié)果也不能滿足理論分析和工程應(yīng)用的需要。

針對上述問題，本文提出了一類適用于早齡期大體積混凝土的化學(xué)-熱-力多場耦合模型。該模型將水化反應(yīng)方程與熱傳導(dǎo)方程耦合考慮以刻畫水化反應(yīng)進(jìn)程和溫度變化情況，結(jié)合彈塑性損傷理論和考慮損傷影響的微觀應(yīng)力-固化理論，綜合地考慮了早齡期混凝土的損傷、徐變、溫度變形、自收縮變形和齡期效應(yīng)，進(jìn)一步建立了相應(yīng)的顯式求解算法。在此基礎(chǔ)上，利用單軸試驗(yàn)標(biāo)定后的模型參數(shù)，對Maridal涵洞的“墻體-基礎(chǔ)”部分開展了精細(xì)化數(shù)值模擬研究，并考察了混凝土徐變變形的影響。計(jì)算結(jié)果表明，本文模型可以較好地預(yù)測早齡期階段大體積混凝土結(jié)構(gòu)的開裂行為，為早齡期混凝土力學(xué)行為的研究提供了重要參考。

1 早齡期大體積混凝土化學(xué)-熱-力多場耦合模型

1.1 化學(xué)-熱場耦合作用模型

對于早齡期階段的大體積混凝土：一方面，混凝土的水化反應(yīng)是一個(gè)放熱反應(yīng)，并伴隨著材料力學(xué)性能的增強(qiáng)；另一方面，混凝土通過熱傳遞方式與外界環(huán)境發(fā)生熱量傳輸，會引起溫度變化并導(dǎo)致溫度變形，整個(gè)過程涉及化學(xué)場、溫度場和力場三個(gè)物理場的耦合，如圖1所示。因此，準(zhǔn)確評估混凝土早齡期階段的力學(xué)行為需要合理反映水化反應(yīng)進(jìn)程和溫度場的變化。

圖1 早齡期混凝土的力學(xué)行為特征Fig.1 Early-age behavior of concrete

1.1.1水化反應(yīng)模型

混凝土的水化反應(yīng)是一個(gè)復(fù)雜的物理化學(xué)過程，準(zhǔn)確描述水化反應(yīng)進(jìn)程需要建立完整的水化反應(yīng)方程，求解過程繁瑣冗長，不利于與混凝土力學(xué)理論的耦合實(shí)現(xiàn)。為簡化考慮，這里采用ULM等[3]提出的唯象水化模型。引入水化度來刻畫水化反應(yīng)進(jìn)程，定義為當(dāng)前累積水化生熱量與總的水化生熱量的比值，即：

根據(jù)JENDELE 等[25]的研究，水化度的演化速率可表示為：

式 中：Qξ為 活 化 能，取 為240.5 J·mol-1；R=8.3144 J·mol-1K-1為理想氣體常數(shù)；T/K 為當(dāng)前溫度；Tref為參考溫度，取為2 93K ；為驅(qū)動水化反應(yīng)的化學(xué)親和作用；B1、B2和η 為控制水化反應(yīng)速率的模型參數(shù)； ξ∞為最終水化度，滿足[13]：

其中，w/c為混凝土的水灰比。雖然上述水化模型是一種簡化的、唯象的處理方法，但是相關(guān)研究[3]表明：這種方法可以兼顧計(jì)算效率與計(jì)算精度的要求，可以應(yīng)用于早齡期大體積混凝土的力學(xué)行為模擬之中。

1.1.2熱傳導(dǎo)模型

早齡期混凝土的熱量傳輸過程采用如下的能量守恒方程進(jìn)行描述：

式中： ρ為材料密度；Cp為比熱容；q為熱流通量，表示為：

式中， λt為熱傳導(dǎo)系數(shù)。需要指出的是，上述能量守恒方程中假定熱傳導(dǎo)過程是大體積混凝土早齡期階段主要的熱量傳輸方式，并引入了水化生熱項(xiàng)來刻畫水化放熱效應(yīng)。

在結(jié)構(gòu)熱邊界上滿足牛頓冷卻定律，表達(dá)式如下：

式中：BT為對流換熱系數(shù)；n為熱邊界上的單位法向量；Text為外界環(huán)境溫度。

1.2 混凝土徐變損傷模型

1.2.1應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系

基于小應(yīng)變可疊加性，可將總應(yīng)變張量 ε分解為彈性應(yīng)變 εe、瞬時(shí)塑性應(yīng)變 εp、徐變應(yīng)變 εc、自收縮應(yīng)變 εau和熱膨脹應(yīng)變 εth之和，即：

為了描述混凝土開裂引起的材料軟化效應(yīng)，這里采用吳建營等[26- 27]提出的彈塑性損傷模型，混凝土的本構(gòu)關(guān)系可以表示為：

式中， E0為四階初始彈性剛度張量。

考慮到混凝土在拉、壓應(yīng)力作用表現(xiàn)出截然不同的變形特征，可分別將名義應(yīng)力 σ和有效應(yīng)力進(jìn)行如下的正負(fù)分解：

為了反映混凝土在拉、壓應(yīng)力作用下迥異的剛度退化機(jī)制，分別在受拉、受壓應(yīng)力空間引入受拉損傷變量d+和受壓損傷變量d-，此時(shí)，四階損傷張量 D可以進(jìn)一步化簡為：

式中，P+和P-為正、負(fù)投影算子，具體表達(dá)見文獻(xiàn)[26]。對于損傷變量的演化，一般采用如下表達(dá)：

式中：上標(biāo)符號 ±對應(yīng)于受拉分量 +和受壓分量 -；r±為損傷閾值，即歷史最大的能量等效應(yīng)變εeq±；g±(·)為損傷演化函數(shù)，可以通過單軸試驗(yàn)方法或理論分析手段確定，這里采用吳建營等[27]提出的經(jīng)驗(yàn)損傷演化公式。

1.2.2瞬時(shí)塑性應(yīng)變

對于大體積混凝土結(jié)構(gòu)，直接基于經(jīng)典塑性理論建立塑性演化關(guān)系一般需要多次迭代求解，計(jì)算量較大。為了提高數(shù)值分析的運(yùn)算效率，這里采用了任曉丹等[28]提出的經(jīng)驗(yàn)塑性演化模型。將瞬時(shí)塑性應(yīng)變張量 εp進(jìn)行拉、壓分解，可得：

其中，受拉塑性應(yīng)變 εp+和受壓塑性應(yīng)變 εp-可表示為：

式 中：H(·)為 Heaviside 函 數(shù)；和為 模 型 參數(shù)，本文取=0.1 ，=0 ，=0.4。需要指出的是，式(16)認(rèn)為混凝土的損傷演化驅(qū)動塑性演化，反映了損傷與塑性之間的耦合效應(yīng)。

1.2.3徐變應(yīng)變

在長期荷載作用下，混凝土表現(xiàn)出典型的徐變特征，即變形隨著持荷時(shí)間不斷增加。這里采用BA?ANT 等[13,29- 30]提出的微觀應(yīng)力-固化理論進(jìn)行描述。微觀應(yīng)力-固化理論由固化理論和微觀應(yīng)力理論兩個(gè)部分組成，其中，固化理論認(rèn)為混凝土材料的短期徐變效應(yīng)主要與水化反應(yīng)有關(guān)，在澆筑完成后，混凝土內(nèi)部仍然存在大量未水化水泥顆粒，隨著齡期的增加，未水化的水泥顆粒逐漸發(fā)生水化，材料性質(zhì)不斷強(qiáng)化，從而引起徐變速率的降低。微觀應(yīng)力理論則認(rèn)為混凝土的長期徐變效應(yīng)與微觀應(yīng)力的釋放有關(guān)，BA?ANT等[29- 30]認(rèn)為混凝土在微觀尺度上作用著一種自平衡的微觀應(yīng)力，在長期持荷過程中，徐變變形增量會隨著微觀應(yīng)力的釋放而不斷減小。由于其堅(jiān)實(shí)的物理基礎(chǔ)，上述微觀應(yīng)力-固化理論已被廣泛應(yīng)用于混凝土的徐變變形分析之中[31-33]。

微觀應(yīng)力-固化理論將徐變應(yīng)變 εc分解為粘彈性應(yīng)變項(xiàng) εv和粘性流動應(yīng)變項(xiàng) εf兩個(gè)部分。其中，粘彈性應(yīng)變項(xiàng) εv由固化理論描述，滿足如下形式：

式中：q2、q3和k均為模型參數(shù)，k取為0.1；t為當(dāng)前時(shí)間；t-t0為持荷時(shí)間?？紤]到溫度升高會加速水化反應(yīng)進(jìn)程，進(jìn)而引起徐變速率減小，式(18)引入了溫度影響時(shí)間tT(t)來刻畫溫度變化對粘彈性應(yīng)變項(xiàng)的影響，滿足如下的Arrhenius定律：

式中，Qh為與水化過程有關(guān)的活化能，取為601.4 J·mol-1。Q(t-t0)為持荷時(shí)間(t-t0)和等效時(shí)間θ 的函數(shù)，可表示為：

其中，λ0=1 d，m=0.5；等效時(shí)間 θ 為 水化度 ξ的函數(shù)，取為：

粘性流動應(yīng)變 εf表征了徐變變形中的不可恢復(fù)變形分量，根據(jù)微觀應(yīng)力理論的相關(guān)研究[12,30]，粘性流動應(yīng)變率可表示為：

其中，有效粘性系數(shù) ηM為溫度T、相對濕度h與微觀應(yīng)力S的函數(shù)，滿足如下表達(dá)：

其中，a和b均 為水化度 ξ 的函數(shù)，表征了水化程度對有效粘性系數(shù) ηM的影響，表示為a=a0ξ∞/ξ和b=b0ξ∞/ξ，a0和b0均 與 材 料 參 數(shù)q4有 關(guān)，取 為a0=0.005q4和b0=0.00125q4。

微觀應(yīng)力是一種作用于微觀孔隙上的橫向作用力，通常在水泥漿凝結(jié)硬化階段形成。根據(jù)等[1]的研究，將初始微觀應(yīng)力S0取為：

其中，c0和q4均為材料參數(shù)。

微觀應(yīng)力S由如下麥克斯韋型流變模型描述，即：

其中，F(xiàn)q=1.6/q4，cs=22.5q4和ch=0.035；溫度相關(guān)參數(shù) βη(T,h) 和 βC(T,h)分別表示為：

其中，Qη和QC為控制微觀應(yīng)力演化的活化能，分別取為Qη=481.1 J·mol-1和QC=240.5 J·mol-1；p0=0.5，h*=0.75，nh=2.0。需要說明的是，本文假定混凝土的徐變變形發(fā)生在無損材料空間，因此，式(18)和式(23)中采用的應(yīng)力表達(dá)均為有效應(yīng)力張量。

相關(guān)試驗(yàn)研究表明混凝土試件在受拉和受壓狀態(tài)下的徐變行為存在一定的差異[34]。類比損傷變量的正負(fù)分解，這里進(jìn)一步對徐變應(yīng)變進(jìn)行拉壓分解，即：

混凝土的徐變變形與應(yīng)力水平密切相關(guān)[34]。在早齡期階段，受溫度變形和自收縮變形的影響，大體積混凝土?xí)诰植课恢卯a(chǎn)生較大的內(nèi)力，材料可能會從線性徐變階段進(jìn)入非線性徐變階段。然而，上述微觀應(yīng)力-固化理論是建立在線性徐變假設(shè)的基礎(chǔ)之上的?；炷恋姆蔷€性徐變行為本質(zhì)上是損傷與徐變耦合作用的結(jié)果，為了綜合考慮混凝土的線性徐變與非線性徐變，本文引入了損傷影響函數(shù)h±(·)來刻畫由于損傷發(fā)展引起的非線性徐變行為[35]，h±(·)可表示為：

需要說明的是，當(dāng)應(yīng)力水平較小時(shí)，損傷基本不發(fā)展，此時(shí)h±(·)≈1，式(31)退化為經(jīng)典的微觀應(yīng)力-固化理論；隨著應(yīng)力水平的提高，混凝土的損傷開始出現(xiàn)并不斷發(fā)展，材料進(jìn)入非線性徐變階段，此時(shí)h±(·)＞1，式(31)中的徐變變形顯著增加。

另外，在長期持荷過程中，微觀應(yīng)力-固化理論假定混凝土的彈性應(yīng)變不隨齡期的變化而變化，這里對有效應(yīng)力-彈性應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行如下調(diào)整：

1.2.4自收縮應(yīng)變與熱膨脹應(yīng)變

為簡化考慮，這里假定混凝土的自收縮應(yīng)變與水化度滿足線性關(guān)系，即：

式中：kau為比例系數(shù)；I為 二階單位張量； ξ0為水化度閾值[36]，取為ξ0=0.1，當(dāng)水化度 ξ 超 過 ξ0后，混凝土開始出現(xiàn)自收縮變形。

式中，kth為熱膨脹系數(shù)。

1.2.5齡期效應(yīng)

隨著水化反應(yīng)的進(jìn)行，混凝土材料表現(xiàn)出齡期效應(yīng)，即宏觀力學(xué)性能隨著齡期不斷提高，在早齡期階段表現(xiàn)尤為顯著。為了考慮齡期效應(yīng)的影響，下面分別從混凝土的剛度、強(qiáng)度和峰值應(yīng)變?nèi)齻€(gè)方面展開討論。

如前所述，固化理論認(rèn)為由于水化反應(yīng)的影響，混凝土內(nèi)水化產(chǎn)物的體積不斷增加并導(dǎo)致徐變變形速率的降低，也即材料的剛度特性隨著齡期的增加而提高。因此，這里不再重復(fù)考慮混凝土剛度的齡期效應(yīng)。

對于強(qiáng)度的齡期效應(yīng)，這里假定混凝土的抗拉強(qiáng)度ft和 抗壓強(qiáng)度fc與水化度ξ 滿足如下函數(shù)關(guān)系[37]：

式中：ft∞和fc∞為 ξ=ξ∞時(shí)的抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度； α 和 β均 為材料參數(shù)，本文統(tǒng)一取為α =0.5和β=0.9 ；為名義水化度，表示為：

一般來說，混凝土的峰值應(yīng)變與強(qiáng)度成正比，與彈性模量成反比。結(jié)合式(35)，峰值拉應(yīng)變 εt和 峰值壓應(yīng)變 εc可表示為：

式中：E為與齡期無關(guān)的彈性模量，不隨著齡期的增加而變化； εt∞和 εc∞為ξ =ξ∞時(shí)的峰值拉應(yīng)變和峰值壓應(yīng)變。

2 模型數(shù)值實(shí)現(xiàn)

2.1 模型參數(shù)標(biāo)定

上述早齡期混凝土多場耦合模型中的待定參數(shù)可劃分為化學(xué)-熱相關(guān)參數(shù)和力學(xué)相關(guān)參數(shù)兩大類。對于化學(xué)-熱相關(guān)參數(shù)，活化能Qξ、理想氣體常數(shù)R和參考溫度Tref均為模型常數(shù)，具體取值已在1.1小節(jié)中給出；普通混凝土的比熱容Cp、熱傳導(dǎo)系數(shù) λT和 熱膨脹系數(shù)kau均可視為定值，可以直接根據(jù)已有的試驗(yàn)資料確定；對流換熱系數(shù)BT一般需要結(jié)合混凝土外表面的傳熱性質(zhì)進(jìn)行標(biāo)定；水化放熱參數(shù)(B1,B2,η,Lmax)和 自收縮系數(shù)kth均與混凝土的配合比密切相關(guān)，其中，自收縮系數(shù)kth可以根據(jù)早齡期混凝土的自收縮試驗(yàn)確定，水化放熱參數(shù)(B1,B2,η,Lmax)則需要通過早齡期混凝土的水化放熱試驗(yàn)進(jìn)行標(biāo)定。

對于力學(xué)相關(guān)模型參數(shù)，強(qiáng)度參數(shù)(E28,ft28,fc28)可以直接根據(jù)混凝土的強(qiáng)度等級或者實(shí)測的應(yīng)力-應(yīng)變曲線進(jìn)行標(biāo)定；徐變參數(shù)(c0,p1,p2,p3,p4)則需要通過不同齡期的徐變試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行標(biāo)定；塑性參數(shù)(,)、其他徐變參數(shù)(λ0,m,k,a0,b0,Qη,QC,p0,h*,nh,,)以及齡期效應(yīng)參數(shù)(α,β,ξ0)均可視為模型常數(shù)，建議取值已在1.2小節(jié)中給出。

2.2 模型數(shù)值求解算法

針對上述早齡期混凝土多場耦合模型，本文提出了一類顯式求解算法。由第1節(jié)的討論可知，混凝土的水化反應(yīng)和熱量傳輸過程不受混凝土應(yīng)力狀態(tài)影響，但水化程度和溫度變化會直接影響材料損傷的發(fā)展，另外，混凝土開裂過程的時(shí)間尺度遠(yuǎn)小于化學(xué)-熱耦合過程[24]，因此，這里將多場耦合問題分解為化學(xué)-熱耦合求解與力學(xué)求解兩個(gè)串行子步驟，下面依次展開介紹。

問題：給定Δtn=tn+1-tn上 的應(yīng)變增量Δ εn，且第n個(gè) 時(shí) 間 步tn上 的 各 個(gè) 狀 態(tài) 變 量{ξn,Tn,σn,均已知；

求解：更新第n+1個(gè) 時(shí)間步tn+1上的各個(gè)狀態(tài)變量

1)化學(xué)-熱耦合求解

熱量傳輸過程的控制方程本質(zhì)上是一階擴(kuò)散方程，其數(shù)值求解可以直接借助商用有限元軟件中的溫度求解模塊，進(jìn)一步補(bǔ)充水化反應(yīng)的求解過程，從而不斷更新早齡期混凝土的溫度場Tn+1和 水化度 ξn+1。

2)力學(xué)求解

借鑒算子分離方法[38]的基本思想，這里將早齡期混凝土的力學(xué)求解過程分為彈性試探、損傷修正、塑性修正和徐變修正四個(gè)步驟。

●彈性試探

首先根據(jù) ξn+1和Tn+1，更新自收縮應(yīng)變和熱膨脹應(yīng)變，并計(jì)算彈性試探應(yīng)力：

●損傷修正

●塑性修正

由式(16)可知，塑性應(yīng)變增量Δ εp±是損傷變量d±和彈性應(yīng)變增量Δ εe±的函數(shù)。為簡化計(jì)算，這里直接更新塑性應(yīng)力增量 Δ σp±，即：

●徐變修正

徐變應(yīng)變是由粘彈性應(yīng)變分量和粘性流動分量組成。首先，由式(18)更新粘彈性應(yīng)變分量：

利用式(26)確定微觀應(yīng)力Sn+1，根據(jù)式(23)計(jì)算粘性流動應(yīng)變增量Δεf:

然后，利用式(31)，更新第n+1個(gè)時(shí)間步tn+1上 的徐變應(yīng)變，即：

相應(yīng)地，將名義應(yīng)力σn+1更新為：

至此，第n+1個(gè) 時(shí)間步tn+1上的各個(gè)狀態(tài)變量已經(jīng)全部更新完成。上述顯式求解算法將早齡期混凝土的多場耦合問題分解為兩個(gè)串行子問題，整個(gè)求解過程無需迭代運(yùn)算，具有較高的運(yùn)算效率。

根據(jù)任曉丹等[28,39]的研究可知，上述顯式算法的穩(wěn)定時(shí)間步長可表示為：

式中：αnon表征了由于材料非線性引起的計(jì)算失穩(wěn)效應(yīng)，建議取為0.80≤αnon≤0.98；ωmax為有限元模型的最大固有頻率；le和ce分別為單元e的特征長度和波速。

3 模型驗(yàn)證與應(yīng)用—以Maridal 涵洞為例

利用前述建立的早齡期混凝土多場耦合模型，本節(jié)將對文獻(xiàn)[40]中的Maridal 涵洞結(jié)構(gòu)早齡期試驗(yàn)進(jìn)行精細(xì)化模擬，分析大體積混凝土在早齡期階段的受力性能和開裂行為。

3.1 有限元模型介紹

Maridal 涵洞結(jié)構(gòu)是挪威首都奧斯陸城市環(huán)路的一個(gè)組成部分，全長約340 m。考慮到實(shí)際施工過程中采用分段澆筑，每段長15m，這里選取其中一段“墻體-基礎(chǔ)”結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模擬。如圖2所示，該“墻體-基礎(chǔ)”結(jié)構(gòu)總長15m，由墻體和基礎(chǔ)兩個(gè)部分組成，采用三維實(shí)體單元進(jìn)行模擬。在澆筑過程中，基礎(chǔ)部分的澆筑先于墻體部分，在進(jìn)行墻體澆筑時(shí)，基礎(chǔ)部分的混凝土已經(jīng)達(dá)到預(yù)設(shè)強(qiáng)度要求，因此，這里只考慮墻體部分水化反應(yīng)的影響，假定基礎(chǔ)部分為成熟混凝土，其水化反應(yīng)速率很小可以忽略。

圖2 “墻體-基礎(chǔ)”結(jié)構(gòu)示意圖/m Fig.2 Schematic diagram of the wall-foundation structure

3.2 模型驗(yàn)證

為了識別混凝土的相關(guān)材料參數(shù)，挪威科技大學(xué)對與Maridal 涵洞結(jié)構(gòu)同配合比的混凝土進(jìn)行了一系列的單軸試驗(yàn)，混凝土的配合比情況如下表1所示。本小節(jié)將利用相關(guān)單軸試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行模型參數(shù)的標(biāo)定。除特殊說明外，數(shù)值模擬均采用圖3所示的棱柱體試塊，底部固定，上端自由，試件由一個(gè)單元組成。

表1 混凝土配合比Table1 Concrete composition

圖3 棱柱體試件示意圖/mm Fig.3 Schematic diagram of prism specimen

首先根據(jù)文獻(xiàn)[40]中的半絕熱試驗(yàn)，對混凝土的化學(xué)-熱相關(guān)模型參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。試驗(yàn)過程中外界環(huán)境溫度恒定為20℃。當(dāng)水化反應(yīng)相關(guān)模型參數(shù)取為B1=24.0 d-1，B2=1×10-5和η=8.0時(shí)，數(shù)值模擬中的化學(xué)親和作用演化曲線如圖4所示。當(dāng)熱相關(guān)模型參數(shù)取為Lmax=231 150 kJ·m-3時(shí)，數(shù)值模擬得到的水化熱演化曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對比情況如圖5所示?？梢钥闯觯捎诨炷敛牧想S機(jī)性的影響，試驗(yàn)實(shí)測的累積水化熱演化曲線表現(xiàn)出一定的離散性，數(shù)值模擬結(jié)果在試驗(yàn)結(jié)果包絡(luò)范圍內(nèi)，并與試驗(yàn)結(jié)果表現(xiàn)出相似的變化趨勢。具體來說，在初始階段(0 h～50 h)，混凝土的水化反應(yīng)較為劇烈，釋放的熱量較多從而導(dǎo)致水化熱曲線迅速上升；隨著齡期的增加，水化反應(yīng)速率逐漸減小，釋放的熱量也隨之減小，對應(yīng)的水化熱曲線也逐漸趨于平緩。

圖4 化學(xué)親和作用演化曲線Fig.4 Evolution curve of chem ical affinity

圖5 水化熱演化曲線Fig.5 Evolution curve of hydration heat

根據(jù)文獻(xiàn)[40- 41]中的抗壓強(qiáng)度試驗(yàn)和劈裂抗拉試驗(yàn)，對混凝土的強(qiáng)度模型參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。當(dāng)28 d 抗壓強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度分別取為fc28=76MPa和ft28=4.3MPa時(shí)，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對比情況如圖6所示。其中，圖6(a)給出了數(shù)值模擬得到的抗壓強(qiáng)度演化曲線與試驗(yàn)的對比情況?？梢钥闯?，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好。圖6(b)給出了抗拉強(qiáng)度演化時(shí)程曲線的對比結(jié)果。由于試驗(yàn)數(shù)據(jù)較少，圖中給出了兩組劈裂試驗(yàn)結(jié)果，其中，“恒溫試驗(yàn)”組代表在試驗(yàn)室恒溫20℃條件下測得的抗拉強(qiáng)度結(jié)果；“現(xiàn)場試驗(yàn)”組代表在Maridal涵洞現(xiàn)場進(jìn)行試驗(yàn)測得的結(jié)果，可以看出，數(shù)值模擬結(jié)果與“恒溫試驗(yàn)”組結(jié)果吻合較好。與“恒溫試驗(yàn)”組相比，“現(xiàn)場試驗(yàn)”組結(jié)果的離散性較大，這主要是由現(xiàn)場試驗(yàn)過程中外部環(huán)境溫度變化的隨機(jī)性引起的。

圖6 混凝土強(qiáng)度演化情況Fig.6 Evolution curvesof concrete strength

根據(jù)文獻(xiàn)[42]中的徐變試驗(yàn)，對混凝土的徐變參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。試驗(yàn)對三組齡期分別為t0=2 d、3 d、6 d 的混凝土試件軸向施加恒定的壓應(yīng)力作用，試件尺寸如圖7所示，試件加荷應(yīng)力與加載時(shí)的抗壓強(qiáng)度之比為40%。在試驗(yàn)過程中，外界環(huán)境溫度恒定為20℃，試件處于密封條件以避免發(fā)生干燥收縮變形。數(shù)值模擬得到的基本徐變?nèi)岫妊莼€與試驗(yàn)結(jié)果的對比情況如圖8所示，其中，基本徐變?nèi)岫榷x為單位應(yīng)力作用下的瞬時(shí)變形與徐變變形之和，徐變參數(shù)取值見表2?？梢钥闯觯?jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，本文模型可以較好地描述不同加載齡期的混凝土的徐變變形特點(diǎn)。

圖7 圓柱體試件示意圖/mm Fig.7 Schematic diagram of cylinder specimen

圖8 不同加載齡期的基本徐變?nèi)岫妊莼€Fig.8 Evolution curvesof basic creep compliance at different loading ages

表2 徐變試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)取值Table2 Model parameters in creep tests

至此，本文模型中的化學(xué)-熱相關(guān)模型參數(shù)、強(qiáng)度參數(shù)、徐變參數(shù)已經(jīng)全部標(biāo)定完成。

3.3 計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)場試驗(yàn)對比

利用3.2小節(jié)標(biāo)定的模型參數(shù)，本小節(jié)將對“墻體-基礎(chǔ)”結(jié)構(gòu)現(xiàn)場試驗(yàn)開展數(shù)值模擬研究。

為滿足設(shè)計(jì)尺寸等方面的要求，現(xiàn)場試驗(yàn)施工過程中在墻體外表面鋪設(shè)了模板。如圖9所示，面A 和面B采用的是21 mm 厚的膠合板模板，其中，面A 的模板在混凝土澆筑完成24 h 后拆除，面B在48 h 后拆除。面C采用了10mm 厚的隔熱泡沫模板，在混凝土澆筑完成24 h 后拆除。有限元模擬中根據(jù)模板材料的傳熱特性確定結(jié)構(gòu)外表面的對流換熱系數(shù)，具體取值見表3。另外，圖10給出了現(xiàn)場試驗(yàn)實(shí)測環(huán)境溫度數(shù)據(jù)[41]，數(shù)值模擬中的環(huán)境溫度為實(shí)測溫度數(shù)據(jù)的分段線性插值折線。

圖9 “墻體-基礎(chǔ)”結(jié)構(gòu)的熱邊界條件示意圖Fig.9 Schematic diagram of thermal boundary of the wall-foundation structure

表3 模型參數(shù)取值Table 3 Model parameters

圖10 實(shí)測環(huán)境溫度與數(shù)值模擬輸入溫度Fig.10 Measured and applied environmental temperature

為了反映墻體溫度的變化情況，試驗(yàn)在墻體內(nèi)部布置了溫度傳感器，測點(diǎn)位置見圖2。圖11給出了數(shù)值模擬得到的溫度變化曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對比情況?？梢钥闯?，對于不同的溫度測點(diǎn)位置，模擬結(jié)果與試驗(yàn)實(shí)測結(jié)果均吻合良好。

圖12和圖13(a)分別給出了試驗(yàn)墻體裂縫示意圖和數(shù)值模擬得到的受拉損傷云圖?？梢钥闯觯诂F(xiàn)場試驗(yàn)過程中，混凝土墻體出現(xiàn)了兩條主裂縫，與之對應(yīng)，在數(shù)值模擬過程中，墻體表面也出現(xiàn)了兩個(gè)受拉損傷集中區(qū)。另外，由于在數(shù)值模擬中只考慮了后澆墻體部分的水化過程，基礎(chǔ)部分與后澆墻體部分的剛度差異較大，交界面位置為薄弱區(qū)域，因此，圖13(a)中的交界面上也產(chǎn)生了較為嚴(yán)重的損傷。總的來說，本文提出的早齡期混凝土多場模型能夠較好地模擬大體積混凝土結(jié)構(gòu)在早齡期階段的開裂過程。

圖12 試驗(yàn)墻體部分的開裂情況[43]/m Fig.12 The crack pattern in thewallsection

為了探究混凝土徐變變形的影響，進(jìn)一步在數(shù)值模擬過程中不考慮徐變效應(yīng)，進(jìn)行對比分析。圖14給出了考慮徐變效應(yīng)和不考慮徐變效應(yīng)計(jì)算得到的應(yīng)變、應(yīng)力演化曲線。結(jié)合墻體的溫度變化曲線(圖11)，可以發(fā)現(xiàn)，墻體結(jié)構(gòu)在早齡期階段具有以下特點(diǎn)。

圖11 不同測點(diǎn)的模擬溫度時(shí)程曲線與試驗(yàn)的對比情況Fig.11 Comparisonsof simulated temperature evolution curves w ith experiment at different measured points

在初始階段(0 h～30 h)，混凝土水化反應(yīng)較為劇烈，墻體溫度迅速升高并產(chǎn)生熱膨脹變形。受周圍約束作用的影響，墻體的熱膨脹變形受到限制從而使得結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生壓應(yīng)力。在這一階段，混凝土的受壓徐變變形一方面會抵消部分熱膨脹應(yīng)變，使結(jié)構(gòu)變形減小，另一方面也會產(chǎn)生應(yīng)力松弛效應(yīng)，引起墻體內(nèi)部的壓應(yīng)力減小，因此，此階段的徐變行為對墻體結(jié)構(gòu)是有利的。

隨后(30 h～100 h)，水化反應(yīng)速率逐漸減緩，與周圍環(huán)境進(jìn)行熱傳遞引起的熱量損失超過了水化反應(yīng)釋放的熱量，墻體的溫度開始下降，混凝土的熱膨脹應(yīng)變不斷減小，并逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)槭湛s變形。與之對應(yīng)，材料逐漸從受壓狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槭芾瓲顟B(tài)。

在100 h～200 h，水化反應(yīng)速率進(jìn)一步減小，墻體溫度繼續(xù)下降。在這一階段，混凝土的收縮變形進(jìn)一步增加，由此產(chǎn)生的拉應(yīng)力也不斷增加。當(dāng)內(nèi)部的拉應(yīng)力超過材料的抗拉強(qiáng)度時(shí)，墻體發(fā)生開裂。

由圖14可知，在初始升溫階段，混凝土的徐變行為會引起墻體內(nèi)部的壓應(yīng)力減小，并導(dǎo)致拉應(yīng)力開始出現(xiàn)的時(shí)間提前。在隨后冷卻階段，與不考慮徐變效應(yīng)的工況相比，混凝土的徐變行為會加劇結(jié)構(gòu)的收縮變形，使得墻體的拉應(yīng)力增加。圖13(b)給出了不考慮混凝土徐變效應(yīng)計(jì)算得到的受拉損傷云圖。與圖13(a)相比，不考慮徐變效應(yīng)會使得墻體的破壞形態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)變。

圖13 墻體的受拉損傷云圖Fig.13 Simulated tensile damage contours

圖14 不同測點(diǎn)的應(yīng)變、應(yīng)力隨時(shí)間演化曲線Fig.14 Simulated evolution curvesof strain and stressat different measured points

徐變效應(yīng)對結(jié)構(gòu)的影響并不總是有利的。在早齡期階段，徐變效應(yīng)的影響會隨著墻體溫度的變化而變化，在升溫階段可以減小壓應(yīng)力，而在冷卻階段會引起拉應(yīng)力的增加，并且對結(jié)構(gòu)整體的抗裂性能產(chǎn)生一定的影響。因此，準(zhǔn)確評估早齡期階段的混凝土結(jié)構(gòu)，尤其大體積混凝土，的受力性能，需要合理考慮混凝土徐變變形的影響。

4 結(jié)論

基于損傷理論框架，本文提出了一類適用于早齡期大體積混凝土力學(xué)行為模擬的化學(xué)-熱-力多場耦合模型，主要得到如下結(jié)論：

(1)將水化反應(yīng)方程與熱傳導(dǎo)方程耦合處理，建立了化學(xué)-熱場耦合作用模型來描述混凝土早齡期階段的水化反應(yīng)進(jìn)程與溫度變化。

(2)在化學(xué)-熱場耦合作用模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引入彈塑性損傷理論和考慮損傷影響的微觀應(yīng)力-固化理論，并考慮了熱膨脹變形、自收縮變形和齡期效應(yīng)，從而建立了適用于早齡期大體積混凝土的化學(xué)-熱-力多場耦合模型。

(3)針對早齡期混凝土的多場耦合模型，本文給出了相應(yīng)的顯式求解算法。該算法將早齡期混凝土的多場耦合問題分解為兩個(gè)串行子問題，整個(gè)求解過程無需迭代運(yùn)算，具有較高的運(yùn)算效率。

(4)基于上述模型和顯式求解算法，首先利用一系列單軸試驗(yàn)進(jìn)行模型驗(yàn)證與參數(shù)標(biāo)定，進(jìn)而對Maridal 涵洞的“墻體-基礎(chǔ)”結(jié)構(gòu)開展精細(xì)化模擬分析。計(jì)算結(jié)果表明，本文模型可以較好地反映早齡期大體積混凝土的溫度場變化和損傷開裂現(xiàn)象。進(jìn)一步考察了混凝土徐變變形的影響，對考慮徐變效應(yīng)和不考慮徐變效應(yīng)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比分析。結(jié)果表明，伴隨著墻體溫度的變化，混凝土徐變行為從對結(jié)構(gòu)有利逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閷Y(jié)構(gòu)不利，并且會對結(jié)構(gòu)整體的抗裂性能產(chǎn)生一定的影響。