何文彬 楊 劍 陳 龍

(上海理工大學機械工程學院 上海 200093)

0 引 言

點陣材料是由相互貫通或封閉的孔洞構成網(wǎng)絡結構的材料，孔洞的邊界或表面由支柱或平板構成[1]。目前點陣材料結構設計方法主要有以下幾種：基于單元統(tǒng)計信息的設計方法[2-4]、基于密度分布表示的結構設計方法[5]、基于精確幾何描述的結構設計方法[6-9]。目前點陣材料已有多種精確造型方法，如基于圖像的建模方法[10]、基于CAD的建模方法[11]、基于隱式曲面的建模方法[12]、基于Voronoi的建模方法[13]。基于圖像的建模方法以CT/MRI圖像為基礎，設備要求高，圖像的精度決定了模型的準確性，且需要現(xiàn)成的模型提供參考?；陔[式曲面的建模方法很難對模型進行局部修改調整，例如基于TPMS設計的模型。基于Voronoi的建模方法在模型尺寸非常大或者內部微結構非常精細時，模型的可視化和操作較為困難[14]。基于CAD的建模方法以經(jīng)典的歐幾里得幾何學為基礎，常見的點陣材料設計方法是基于CAD軟件的建模方法，該方法效率較低且沒辦法描述點陣材料的微觀特征[15-16]，而且不利于后續(xù)性能分析。周期性點陣材料是由大量結構相同的單胞通過某種形式周期性組合而成，單胞通常是基于圓桿或方桿的組合，單胞結構中，管道拼接節(jié)點處數(shù)字模型的建立是點陣材料建模的難點。Zhang等[17]提出了三管道拼接處NURBS曲面的建模方法，王清輝等[18]提出了金屬纖維多孔燒結板復雜網(wǎng)狀模型的主動設計方法，趙航等[19]提出了點陣材料拋物面結構的參數(shù)化有限元建模方法，高俊琪[20]提出了基于單胞包圍盒的點陣填充結構快速幾何建模方法。

本文在現(xiàn)有研究的基礎上提出一種基于NURBS的點陣材料結構參數(shù)化建模方法，以圓管狀單胞點陣材料為例，構建了多管道拼接NURBS參數(shù)化模型。首先輸入骨架模型和管道半徑，自動生成基本單胞模型和復雜單胞模型結構模型，然后拼接成點陣材料NURBS參數(shù)化模型。

1 模型表達與算法概覽

1.1 模型表達

NURBS[21]體參數(shù)化模型是建立了一個規(guī)范的三維空間(立方體)和一個三變量張量體模型的一一映射關系。如圖1所示，其中：T是具有物理域邊界，建立在(X,Y,Z)坐標系統(tǒng)中的三維模型；規(guī)整的封閉體P指的是由正交參數(shù)化系統(tǒng)(U,V,W)構建的規(guī)整的立方體；① 為物理域到參數(shù)域的映射關系；② 為參數(shù)域到物理域的映射關系；③ 為物理域某一單元在參數(shù)域中對應的單元。

圖1 NURBS體參數(shù)化示意圖

本文所描述的點陣材料模型由管道模型構成，如圖2所示，圖2(a)為管道橫截面NURBS表達，沿圓周方向為V方向，沿徑向為U方向，圖2(b)為管道NURBS體參數(shù)化模型。由于W方向為二次，因此有三組控制點，為便于后續(xù)說明，沿W方向分別定義為第一組、第二組和第三組控制點。

圖2 管道NURBS體參數(shù)化模型

NURBS模型具有仿射不變性，截面上內層控制點可由外層控制點進行仿射變換得到，為了能夠更加清晰地進行說明，本文省略內層控制點，僅以外層控制點表示管道模型(即NURBS曲面模型)。

1.2 算法概覽

算法輸入為骨架模型(包括節(jié)點、曲線及管道半徑)，骨架曲線以NURBS曲線形式表達。根據(jù)骨架模型節(jié)點上相交曲線數(shù)量把模型分為基本單胞和復雜單胞，由三條曲線在節(jié)點處相交形成的單胞稱為基本單胞，而三條以上曲線在節(jié)點處相交形成的單胞稱為復雜單胞。復雜單胞的NURBS參數(shù)化造型是在基本單胞NURBS參數(shù)化造型方法的基礎上進行的。所有單胞造型完成后，通過拼接算法將其拼接成點陣材料，得到點陣材料的體參數(shù)化模型，最后利用切片算法對構建的點陣材料模型進行3D打印切片驗證，如圖3所示為整體算法框架。

圖3 整體框架流程

2 基本單胞造型

本文在文獻[17]基礎上，分別從骨架曲線挑選編號和控制模型扭曲兩個方面改進了節(jié)點造型方法。在基本單胞骨架模型中，點O為節(jié)點，Ci(i=1,2,3)為骨架曲線，長度為li，管道半徑為R。由NURBS曲線求導得到O點處骨架線的切矢vi。由于骨架曲線的夾角對造型效果影響較大，若以其中一條曲線為主曲線，另外兩條為副曲線，當主曲線與兩條副曲線的夾角相差最小時，造型效果最好，因此可以根據(jù)三條曲線組合情況進行挑選，最終得到主曲線C3和兩條副曲線C1、C2如圖4(a)所示。

圖4 基本單胞骨架及其第一組控制多邊形

上述方法得到的基本單胞骨架為輸入，利用文獻[17]的方法計算分割截面，獲得管道第一組控制點，如圖4(b)所示為節(jié)點處管道第一組控制多邊形，三條管道的控制多邊形形成了節(jié)點處的分割截面。

當計算C3上第二組控制點時，只用兩個控制點投影確定第二組控制點的控制多邊形，在某些情況下會出現(xiàn)模型扭曲現(xiàn)象如圖5(a)所示，由控制多邊形網(wǎng)格可以看出，C3控制點網(wǎng)格有較為明顯的扭曲。

圖5 模型扭曲及其消除

為解決扭曲問題，提出控制點編號對齊算法。取過節(jié)點O且以α3為法矢的平面Φ，將C3第一組控制點投影至平面Φ，記為{Qi}。如圖6所示為控制點編號對齊示意圖，{Gi}為投影法得到的控制點，對{Gi}進行平移變換，使得：

(1)

(2)

圖6 控制點編號對齊

圖5(a)扭曲的模型經(jīng)控制點編號對齊后效果如圖5(b)所示，圖中控制點網(wǎng)格已不存在扭曲，模型效果得到提升?；締伟制琋URBS參數(shù)化模型如圖7所示。

圖7 基本單胞NURBS造型

3 復雜單胞造型

復雜單胞造型是在基本單胞NURBS造型的基礎上進行的，基于分解的思想，將復雜單胞分解成多個基本單胞。

假設復雜單胞骨架由M根曲線Ci(i=1,2,…,M)構成，節(jié)點處曲線切矢分別為vi(i=1,2,…,M)，分解為N個基本單胞。為了保證造型效果，滿足基本單胞排序條件且保證了分解后N個基本單胞之間的差異最小，從而劃歸為求解以下優(yōu)化問題：

(3)

本文以M<7的情況為例，圖8列舉了復雜單胞骨架拓撲分解情況，圖中骨架曲線均假定為直線且互相垂直。其中：第一列分別表示了四、五、六條骨架曲線組成的復雜單胞；第二列為對應的基本單胞拓撲分解示意圖。一條骨架曲線與多個基本單胞相關聯(lián)。

圖8 復雜單胞骨架分解與NURBS造型

復雜單胞分解成基本單胞且完成基本單胞的造型之后，需要根據(jù)分解時的拓撲關系進行組裝從而得到復雜單胞最終模型。若復雜單胞骨架曲線Ci對應的管道模型控制點為Ωi，Ωi與若干個基本單胞關聯(lián)，設其中相鄰兩個基本單胞的共享面為Ψi，基本單胞l控制點集為{Pl}，則：

(4)

利用上述方法，對復雜單胞造型，圖8中第三列為復雜單胞控制點示意圖，第四列為對應的復雜單胞NURBS模型。

4 單胞拼接

對點陣材料進行建模時，在得到單胞NURBS表達的基礎上，對單胞按照特定空間關系進行拼接，最終得到點陣材料的NURBS模型。

由于復雜單胞造型是通過基本單胞組裝而成，不同管道橫截面控制點數(shù)量可能不一致，此時需要對管道控制點進行節(jié)點插入操作，使所有管道控制點數(shù)量保持一致。而在不同單胞的拼接處，需要對齊控制點編號并取不同單胞中相同編號的控制點平均值作為拼接處控制點，從而使模型在拼接處具有G0連續(xù)如圖9所示。圖10為點陣材料NURBS造型中單胞拼接處控制點及其模型。

圖9 拼接處控制點處理

圖10 單胞拼接處控制點及其模型

5 建模實例

一般情況下，點陣材料是按照單胞的形式進行分類的，常見的二維點陣材料有正方形、六邊形和米字型。根據(jù)頂點、面心和體心的不同連接形式，三維點陣材料單胞具有不同的結構。利用本文提出的點陣材料建模方法，選取以下三種典型的點陣材料進行實例驗證：二維點陣材料中的蜂窩材料；三維點陣材料中的立方點陣材料。其中詳細說明蜂窩材料的造型過程，如圖11(a)所示為蜂窩材料骨架模型。

圖11 蜂窩材料骨架及其單胞

圖11(b)為二維蜂窩的一個單胞，輸入的骨架模型包括節(jié)點坐標、骨架曲線及其拓撲關系。其中：P、P1、P2、P3為節(jié)點；L1、L2、L3為NURBS表達的骨架曲線；管道半徑為R。拓撲關系包括：與節(jié)點相連的節(jié)點編號及對應曲線編號。表1給出了該單胞的節(jié)點坐標，表2給出了拓撲關系。

表1 基本單胞節(jié)點坐標

表2 基本單胞拓撲關系

給定管道半徑R=5，生成的單胞NURBS模型如圖12(a)所示。給出完整的蜂窩材料骨架模型數(shù)據(jù)，或者對基本單胞進行陣列，可以生成完整的蜂窩點陣材料模型如圖12(b)所示。

圖12 蜂窩點陣材料NURBS模型

輸入立方點陣材料的骨架模型(圖13(a))，可以得到三維立方點陣材料NURBS模型(圖13(b))。

圖13 立方點陣材料骨架模型和NURBS模型

為了驗證點陣材料用3D打印方法制備的可行性，用復雜NURBS體參數(shù)化模型切片算法[22]將模型切片，二維蜂窩點陣材料NURBS模型及三維立方點陣材料NURBS模型切片截面如圖14所示。

圖14 蜂窩材料及立方體點陣材料切片

6 結 語

本文提出的基于NURBS的點陣材料參數(shù)化建模方法，利用骨架模型及相關尺寸，通過單胞建模及單胞拼接實現(xiàn)點陣材料的參數(shù)化建模，同時通過切片算法進行模型驗證。有以下幾個優(yōu)勢：1) 利用NURBS曲線曲面表達的優(yōu)勢，可以生成各種具有復雜彎曲形狀的點陣材料；2) 由于NURBS曲線便于交互設計，因此為各種形狀設計提供了充分的靈活性，可對模型進行局部控制和修改；3) 整個點陣材料模型是NURBS分片參數(shù)化表達的，可方便用于隨后的等幾何分析；4) 本文方法通過輸入?yún)?shù)進行參數(shù)化設計，是一種主動設計。同時，在體參數(shù)化模型切片算法的支撐下，基于NURBS的點陣材料模型可使用3D打印技術進行制備。本文方法目前僅能實現(xiàn)G0連續(xù)，因此提高模型的連續(xù)性也是本文后續(xù)的研究任務。模型的連續(xù)性問題出現(xiàn)在不同管道曲面相交的位置，在本文方法的基礎上，通過對基本單胞和復雜單胞模型的部分控制點進行優(yōu)化，可以求解滿足更高階連續(xù)性的控制點。