作者簡介：陶天銘（1989—），本科學(xué)歷，中小學(xué)二級教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作。

[摘? 要] 在新課標(biāo)小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，建模思想占據(jù)著一個重要位置，它能有效提升學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力，對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力具有重要意義。研究者以“植樹問題”一課為例，采取有效的教學(xué)方法，讓學(xué)生經(jīng)歷一個從現(xiàn)實(shí)情境到建立模型、應(yīng)用模型的過程，從而撬動數(shù)學(xué)思維，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，感悟模型本質(zhì)。

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);建模思想;數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn);本質(zhì)

模型思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，在幫助學(xué)生理解實(shí)際生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力等方面具有舉足輕重的作用。小學(xué)階段是學(xué)生數(shù)學(xué)思維和能力形成的關(guān)鍵階段，教師重視數(shù)學(xué)建模的教學(xué)會對學(xué)生今后的發(fā)展將產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。因此，對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模意識的培養(yǎng)勢在必行。筆者正是基于這一立場，以“植樹問題”一課為例，對在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)進(jìn)行探究。

一、利用生活情境，引申數(shù)學(xué)問題

通俗地講，數(shù)學(xué)模型其實(shí)是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言來講述現(xiàn)實(shí)生活問題的一種數(shù)學(xué)工具，數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)來講述生活問題的過程。因此，從生活中發(fā)現(xiàn)和剝離數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)建模的第一步。也就是說，教師應(yīng)當(dāng)將現(xiàn)實(shí)生活中與數(shù)學(xué)息息相關(guān)的案例引入課堂教學(xué)中，描述數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的背景，讓學(xué)生在有趣、新奇的生活情境中激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，從而有效激發(fā)自身的生活經(jīng)驗(yàn)。這樣一來，學(xué)生能容易地挖掘出其中隱含的數(shù)學(xué)問題，最終成功地將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

比如，在探討“植樹問題”的初始階段，教師可以創(chuàng)設(shè)如下生活案例：

第一步，教師讓學(xué)生說出生活中常見的樹木種植區(qū)域。通過回憶日常生活，學(xué)生指出公園、馬路以及住宅空地等常見的樹木種植區(qū)域。此時，教師繼續(xù)引導(dǎo)：“樹木的種植會不會按照一定的規(guī)律？”有的學(xué)生指出，公園、住宅等區(qū)域的樹木一般分布較為雜亂，看不出明顯的規(guī)律;有的學(xué)生說，馬路邊的樹木分布較為整齊，樹與樹之間的距離相差不大。（此時，教師已成功地調(diào)動了學(xué)生的課堂熱情）

第二步，在此基礎(chǔ)上教師拋出生活情境問題：某施工隊(duì)要在城市的馬路邊種上一定數(shù)量的樹木，已知該段路的長度為500米，樹與樹之間的間隔相同，均為5米。此時，施工隊(duì)擬訂了三種施工方案：第一種方案為道路兩頭都種上樹木;第二種方案為在道路的某一頭設(shè)置垃圾桶，另一頭種上樹木;第三種方案為在道路兩頭各設(shè)置1個垃圾桶。那么，這三種方案分別需要多少棵樹木？此時，學(xué)生紛紛犯了難，認(rèn)為題目中的數(shù)字偏大，較多的方案選擇讓學(xué)生的思維陷入混亂。這時，教師指出：“大家不妨先將數(shù)字改小一點(diǎn)，然后通過畫圖的方式，思考能不能用數(shù)學(xué)方法解決問題。”此時，有個學(xué)生大膽地將“500米”改成了“20厘米”，將“5米”改成了“5厘米”，然后在紙上畫出一條長為20厘米的線段，以此來替代實(shí)際道路。在思考第一種方案時，該學(xué)生在線段的兩頭各自畫出樹木，然后以“5厘米”為間距依次畫出3棵樹木，最后得出要種植5棵樹木的結(jié)論。

有了該生的示范，其他學(xué)生的思維被打開了，紛紛對其余兩種方案做出假設(shè)和探究。在探究結(jié)束后，學(xué)生驚喜地發(fā)現(xiàn)，該生活問題其實(shí)就是數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言可以描述為：在一根長為500米的線段上畫出若干個點(diǎn)，已知點(diǎn)與點(diǎn)之間的間隔都是5米。其中，有三種畫點(diǎn)方式，一種是線段的兩頭都畫上點(diǎn);另一種是只在線段的某一頭畫上點(diǎn);最后一種是線段兩頭都不畫上點(diǎn)，最終求在這三種方式下各自的畫點(diǎn)數(shù)。

二、鼓勵自主探究，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié)。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)模型主要是指用字母、數(shù)字以及各種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號反應(yīng)特定問題或特定的事物的數(shù)學(xué)關(guān)系，由此建立起來的代數(shù)式和關(guān)系式[1]。數(shù)學(xué)模型的有效建立往往依托于學(xué)生對于問題本質(zhì)的理解程度，自主探究與合作交流是幫助學(xué)生更好地把握住問題核心的關(guān)鍵。同時，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理應(yīng)是一個主動的、有趣的以及富含生命力的過程。因此，教師應(yīng)當(dāng)積極地鼓勵學(xué)生進(jìn)行自主探究，在反復(fù)的嘗試和驗(yàn)證中構(gòu)建出一個通俗易懂的數(shù)學(xué)模型。

比如，在完成了上一環(huán)節(jié)的教學(xué)后，教師可以創(chuàng)設(shè)以下教學(xué)片段：

第一步，教師讓學(xué)生在不改變點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的前提下，通過改變線段的長度，來探究三種方式下各自的點(diǎn)數(shù)。在實(shí)際教學(xué)中，有的學(xué)生將線段延伸至30厘米，然后通過畫圖的方式依次得到在三種方案下所需的點(diǎn)的數(shù)量分別為7個、6個以及5個;還有的學(xué)生將線段延長至50厘米，按照同樣的方式依次得到點(diǎn)的數(shù)量為11個、10個以及9個;隨著線段長度的不斷增加，學(xué)生逐漸體會到畫圖法的局限性。

第二步，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合作交流來發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的規(guī)律。在不斷地交流與溝通中，有細(xì)心的學(xué)生發(fā)現(xiàn)：不管線段的長度如何變換，“某一端不畫點(diǎn)”方案下的所需點(diǎn)數(shù)與間隔距離以及線段長度之間存在著不變的數(shù)量關(guān)系，即線段長度÷間隔距離=點(diǎn)數(shù)。根據(jù)除法的意義，線段長度與間隔距離之間的商應(yīng)為段數(shù)，所以段數(shù)與點(diǎn)數(shù)相等。為了驗(yàn)證這一規(guī)律，教師可以讓學(xué)生利用畫圖的方式進(jìn)行驗(yàn)證。在驗(yàn)證環(huán)節(jié)，學(xué)生先畫1條有一定長度的線段，然后根據(jù)間隔距離依次添上點(diǎn);同時，時刻關(guān)注段數(shù)的變化情況。隨著點(diǎn)數(shù)的不斷增加，學(xué)生驚喜地發(fā)現(xiàn)，段數(shù)與點(diǎn)數(shù)一直處于相等的狀態(tài)。學(xué)生認(rèn)為，在“某一端不畫點(diǎn)”的方案下，“點(diǎn)”恰恰承擔(dān)了分段的作用，即每增加一個點(diǎn)，就會多分出一個小段，因此點(diǎn)數(shù)與段數(shù)相等。此時，教師可以引入“間隔數(shù)”這一數(shù)學(xué)名詞，以此來替代“段數(shù)”。由此，針對“某一端不畫點(diǎn)”的方案，學(xué)生得出結(jié)論：通過利用除法運(yùn)算，求出線段的長度與間隔距離之間的商，即間隔數(shù)，間隔數(shù)就是相對應(yīng)的點(diǎn)數(shù)。在成功解決這一方案后，學(xué)生可以在此基礎(chǔ)上探討其余兩種方案的答案。

通過細(xì)致的觀察與研究，學(xué)生得出，在“兩端均畫點(diǎn)”的方案中，首先可以在已知線段的一頭畫上一個點(diǎn)，然后在通過不斷添點(diǎn)的方式，最終得到的點(diǎn)數(shù)永遠(yuǎn)要比間隔數(shù)多一個;在“兩端都不畫點(diǎn)”的方案中，其實(shí)只需要在“某一端不畫點(diǎn)”的方案的基礎(chǔ)上扣除一個點(diǎn)，因此最后的點(diǎn)數(shù)永遠(yuǎn)要比間隔數(shù)少一個。

最后一個環(huán)節(jié)，教師進(jìn)一步提煉學(xué)生的結(jié)論：在“某一端不畫點(diǎn)”的方案下，點(diǎn)數(shù)=間隔數(shù);在“兩端均畫點(diǎn)”的方案下，點(diǎn)數(shù)=間隔數(shù)+1;在“兩端都不畫點(diǎn)”的方案下，點(diǎn)數(shù)=間隔數(shù)-1。由此，該方法是解決植樹問題的通用方法。

三、進(jìn)行科學(xué)練習(xí)，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

合理應(yīng)用數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)建模過程中一項(xiàng)必不可少的環(huán)節(jié)。在該環(huán)節(jié)中，學(xué)生不僅能進(jìn)一步地熟悉數(shù)學(xué)模型，還能體會到數(shù)學(xué)模型的實(shí)際用處，從而有效增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心。因此，教師應(yīng)給予學(xué)生大量科學(xué)訓(xùn)練的機(jī)會，讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型來解決各種數(shù)學(xué)問題;同時，教師也可以對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行一定程度的變化，以此來培養(yǎng)學(xué)生的思維力和創(chuàng)造力，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問題，解決新問題，從而深化應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，最終提升數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

比如，在上一個教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生已成功地探究出“植樹問題”模型。這時教師可以讓學(xué)生利用該數(shù)學(xué)模型解決初始問題。通過利用數(shù)學(xué)模型，學(xué)生快速得出：在道路兩頭都種樹的情況下，樹木的棵數(shù)=道路長度÷間隔距離+1，即樹木的棵數(shù)=500÷5+1=101（棵）;在其余兩種情況下，樹木的棵數(shù)分別為100和99。此時學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了該題型的解法，在此基礎(chǔ)上，教師要幫助學(xué)生走出“種樹”題型的限制，提出疑問：“該數(shù)學(xué)模型只能用于種樹問題嗎？該數(shù)學(xué)模型還可以用于哪些生活場景中？”

經(jīng)過思考，有的學(xué)生說，排桌子、排凳子以及排隊(duì)等，都與植樹問題類似;有的學(xué)生說，在做核酸檢測時，志愿者會在地上按照一定的間隔標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行畫線，這種場景也和植樹問題類似。通過集思廣益，學(xué)生總結(jié)出了多種多樣與“植樹”模型相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。這樣一來，教師即可出示更多相關(guān)題型，讓學(xué)生在反復(fù)訓(xùn)練中進(jìn)一步體會和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)模型。當(dāng)然，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)不能只滿足于讓學(xué)生機(jī)械式地利用數(shù)學(xué)模型來解決數(shù)學(xué)問題，更多地要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)模型。因此，教師需要改變出題方式，比如出示以下習(xí)題：已知有一個邊長為60米的正方形池塘，李大伯要在該池塘邊上每隔5米種1棵樹，4個角上各種1棵，那么50棵樹苗夠嗎？拿到題目后，學(xué)生首先想到了用“植樹”模型來解決，但“4個角”以及“正方形”成了解決該問題的難點(diǎn)。此時，教師可以進(jìn)行一定程度的引導(dǎo)：“正方形是由什么組成的？”有個學(xué)生答道：“4條長度相同的線段?！边@時，學(xué)生恍然大悟，認(rèn)為可以對正方形進(jìn)行拆解，然后逐段分析。在講述環(huán)節(jié)，有的學(xué)生指出：“在原始題目中，池塘的4個角都種上了樹苗，但在實(shí)際解題中，其實(shí)可以先將題目改成4個角均不種樹苗，然后便可把正方形看成4根長度相同的線段，最后轉(zhuǎn)化為‘兩頭不畫點(diǎn)模型?！?/p>

根據(jù)這個思路，學(xué)生列出式子：60÷5-1=11（棵），11×4=44（棵），44+4=48（棵）。當(dāng)然，還有的學(xué)生成功地運(yùn)用“兩頭均畫點(diǎn)”和“某一頭畫點(diǎn)”模型解決了該問題。

四、助力拓展延伸，豐富數(shù)學(xué)模型

構(gòu)建及應(yīng)用數(shù)學(xué)模型并不是小學(xué)數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)的終點(diǎn)，恰恰相反，學(xué)生可能只是窺探到冰山一角。在前幾個階段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)能較為系統(tǒng)地抽象出數(shù)學(xué)模型，并且獲得了一定的解決“植樹”問題的經(jīng)驗(yàn)。筆者通過觀察發(fā)現(xiàn)，學(xué)生僅僅找到了形如“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”的簡單規(guī)律，無法運(yùn)用這個規(guī)律求出路線的長度。究其原因是學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)存在差異，即缺少逆向思維。因此，教師需要將這一數(shù)學(xué)模型進(jìn)行拓展延伸，擴(kuò)充學(xué)生的學(xué)習(xí)容量，助力學(xué)生收獲更多的學(xué)習(xí)體驗(yàn)[2]。

比如，教師可以出示下列拓展延伸題：已知在一段路的兩頭及中間種植了50棵樹，并且樹與樹之間的距離為3米，求這段路的長度。不同于之前的“求樹木棵數(shù)”題型，這種新穎的問題內(nèi)容讓學(xué)生無從下手。這時，教師可以稍加引導(dǎo)：“已知長方形的長和寬，可以求什么？已知長方形的周長和長，又可以求出什么？”學(xué)生答道：“可以求出長方形的周長和寬?！贝藭r，教師讓學(xué)生用這種思路去探究這個問題。有的學(xué)生說道：“在知道路長和間隔數(shù)后，可以求出樹的棵數(shù);那么在知道樹的棵數(shù)和間隔數(shù)后，就有可能求出路長。”沿著這個思路，學(xué)生積極主動地在紙上比畫著路長的求解方法。通過畫圖，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)，路長其實(shí)就是間隔數(shù)與間隔距離的積，間隔距離是明確的，所以要求間隔數(shù)。關(guān)于“間隔數(shù)”的求法，教師可以讓學(xué)生重新審視之前的數(shù)學(xué)模型，通過觀察，在“兩頭均種樹”的方案中，間隔數(shù)只比樹木的棵數(shù)少1。因此，在知道“樹木棵數(shù)”的前提下，就可以求出間隔數(shù)，最終關(guān)于“路長”的問題也會迎刃而解。

回到原題中，則可以列式：50-1=49（棵），49×3=147（米）。有了這道題的正確示范，學(xué)生便能快速掌握其余兩種情形下的路線長度的求解方法。當(dāng)然，關(guān)于該數(shù)學(xué)模型的拓展延伸并不局限于上述方式，教師也可以對其他的已知量進(jìn)行改動。比如，在已知樹木的棵數(shù)與路長的前提下求解間隔距離，最終目的一定是讓學(xué)生吃透數(shù)學(xué)模型。通過案例發(fā)現(xiàn)，在拓展延伸的學(xué)習(xí)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生積極聯(lián)系舊知，經(jīng)過聯(lián)想和探究，挖掘出數(shù)學(xué)模型更多的可能性。

總之，數(shù)學(xué)建模具有重要意義。學(xué)生只有經(jīng)歷了一個完整的數(shù)學(xué)建模過程，才能解決較難的數(shù)學(xué)問題，深化數(shù)學(xué)理解，從而提升數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。教師要不斷精進(jìn)自身的理論知識和實(shí)踐能力，確保成為學(xué)生求學(xué)路上的守護(hù)者。

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉志彪. 探尋小學(xué)數(shù)學(xué)建模的有效路徑[J]. 小學(xué)教學(xué)研究，2021（20）：49-50.

[2] 葉雪君. “建模思想”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 基礎(chǔ)教育研究，2021（04）：53-54，57.