胡 瑤 何方國(guó)

（黃岡師范學(xué)院 湖北黃岡 438000）

一、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)學(xué)科是在建構(gòu)大量數(shù)學(xué)概念的過程中，逐步總結(jié)和概括其知識(shí)體系的。在這個(gè)過程中，不僅僅是知識(shí)方面的成就，還經(jīng)歷了許多思考和操作的過程。因此，數(shù)學(xué)概念不僅包含了大量的內(nèi)容性知識(shí)，而且濃縮了大量的命題、論證、判別等思維形式。由此可見，掌握數(shù)學(xué)概念是理解和應(yīng)用其他數(shù)學(xué)知識(shí)的重要前提，即理解數(shù)學(xué)概念，了解概念之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系是理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

向量既是幾何的研究對(duì)象，又是代數(shù)的研究對(duì)象，也是人們用來描述和刻畫現(xiàn)實(shí)世界的工具之一。平面向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中地位在不斷地增長(zhǎng)，教師應(yīng)該越來越多地具備在向量學(xué)習(xí)中來鍛煉學(xué)生的思維意識(shí)，以促進(jìn)他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解。

向量概念的課程一般安排在高一年級(jí)，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的抽象概括能力，但是在思維辨析方面還比較薄弱，而且在向量概念教學(xué)過程中，教師在課堂引入環(huán)節(jié)過于簡(jiǎn)略，教學(xué)活動(dòng)很少涉及向量的背景知識(shí)，因此導(dǎo)致學(xué)生覺得向量的概念過于抽象，在建立平面向量的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖上存在困難。本文將向量概念作為數(shù)學(xué)概念案例，在PCK視角下，對(duì)其進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

二、基于PCK的數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)設(shè)計(jì)思路

1.PCK的框架結(jié)構(gòu)

學(xué)科教學(xué)知識(shí)（PCK）是教師獨(dú)特學(xué)科內(nèi)容領(lǐng)域和教育學(xué)的混合或融合，由Shulman在20世紀(jì)80年代提出。Shulman的PCK概念包括兩個(gè)主要元素，即教師如何表示學(xué)科知識(shí)和他們對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)內(nèi)容中的特定主題時(shí)所面臨的困難的了解。當(dāng)一個(gè)教師超越了對(duì)學(xué)科內(nèi)容的理解，能夠根據(jù)學(xué)生的先入之見和遇到的困難，重新組織學(xué)科內(nèi)容，并以適合學(xué)生不同興趣和能力的形式呈現(xiàn)時(shí)，他就可以說是在用他的PCK進(jìn)行教學(xué)。Smith和Neale也同意類似的觀點(diǎn)，因?yàn)樗麄円蚕嘈啪哂辛己肞CK的教師知道他們的學(xué)生在特定主題中的典型錯(cuò)誤。因此，他們能夠使用合適的策略和有效的闡述來準(zhǔn)備他們的課程，從而促使導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念有充分的理解。Cochran等人進(jìn)一步表示，“PCK關(guān)注教師將他們的主題知識(shí)（他們對(duì)他們所教的內(nèi)容的了解）與他們的教學(xué)知識(shí)（他們對(duì)教學(xué)的了解）聯(lián)系起來的方式，以及主題知識(shí)如何成為教學(xué)推理過程的一部分”。

Cochran等人認(rèn)為，舒爾曼的PCK概念是分區(qū)的和靜態(tài)的。他們認(rèn)為教師的教學(xué)知識(shí)應(yīng)該是動(dòng)態(tài)的、不斷發(fā)展和成長(zhǎng)的。基于這種建構(gòu)主義的觀點(diǎn)；他們將自己的改進(jìn)版命名為PCK教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（PCKg），意思是具有動(dòng)態(tài)性質(zhì)的教學(xué)專業(yè)知識(shí)。PCKg整合了四種類型的教師知識(shí)，即學(xué)科知識(shí)、教育學(xué)知識(shí)、學(xué)生知識(shí)和環(huán)境知識(shí)。

根據(jù)以上研究成果，本文將PCK分為以下幾個(gè)方面：數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)、教學(xué)策略知識(shí)、學(xué)生的知識(shí)、情境知識(shí)和技術(shù)知識(shí)。這五個(gè)部分組成了PCK理論，它們辯證統(tǒng)一地存在，各司其職，共同促進(jìn)了教師PCK理論的形成，加速了教師專業(yè)化發(fā)展的進(jìn)程。

（1）PCK視角下的“向量的概念”內(nèi)容解析

本文以PCK理論為基礎(chǔ)，從以下五個(gè)方面對(duì)“向量的概念”這一節(jié)進(jìn)行深度的內(nèi)容解析。

學(xué)科知識(shí)，為了在教學(xué)中全面貫徹PCK理論，教師首先要有準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)。以概念教學(xué)為例的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)，就是指教師不僅要了解每個(gè)概念的內(nèi)在含義和拓展延伸，還要了解它在整個(gè)教材中的地位，并且能從生活中找到例子，讓數(shù)學(xué)為生活服務(wù)。例如，在“向量的概念”這節(jié)課中，教師必須保證數(shù)學(xué)概念的科學(xué)性、嚴(yán)密性。向量的定義是“在數(shù)學(xué)中，把既有大小，又有方向的量叫作向量?！苯處熞_地將這一概念教給學(xué)生，就要強(qiáng)調(diào)這其中的關(guān)鍵詞“大小”“方向”。然而，在具體的向量的概念的教學(xué)課堂上，學(xué)生特別容易混淆數(shù)量和向量，這要求通過回顧物理學(xué)中多個(gè)矢量概念的特性來發(fā)現(xiàn)平面向量的概念，并引導(dǎo)學(xué)生感受其現(xiàn)實(shí)背景。并且，平面向量中融入了許多物理知識(shí)，使數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科建立起了聯(lián)系，因此教師在向量的概念教學(xué)中可以將物理學(xué)科的相關(guān)知識(shí)引進(jìn)來，這對(duì)于學(xué)生而言，可以形成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

教學(xué)策略知識(shí)，顧名思義，學(xué)科教學(xué)知識(shí)必然包含教學(xué)知識(shí)。如果教師對(duì)PCK理論沒有足夠的教學(xué)法知識(shí)，即使他有豐富而準(zhǔn)確的學(xué)科知識(shí)，他也不能以恰當(dāng)?shù)姆绞浇虒W(xué)生。因此，教師應(yīng)對(duì)“向量概念”的學(xué)科知識(shí)、課程知識(shí)和學(xué)生知識(shí)等方面進(jìn)行深入分析，并以教育學(xué)、心理學(xué)為理論指導(dǎo)，結(jié)合自己特有的學(xué)科教學(xué)知識(shí)來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，以實(shí)現(xiàn)教學(xué)難點(diǎn)的突破。

學(xué)生知識(shí)，“以人為本”是我們教育工作者一直以來所不斷追求的理念目標(biāo)，PCK理論同樣將學(xué)生看作是教學(xué)的主體。教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)都是使學(xué)生能夠全面發(fā)展，從而可以“把課還給學(xué)生”，“每個(gè)人都能得到好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上都能得到不同的發(fā)展”。從概念課教學(xué)來看，教師在課前要預(yù)測(cè)學(xué)生掌握哪些內(nèi)容，具備哪些能力，以及學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中會(huì)遇到哪些困難。

情境知識(shí)，對(duì)于處于形式運(yùn)算階段的中學(xué)生來說，數(shù)學(xué)概念抽象模糊，數(shù)學(xué)概念的符號(hào)表達(dá)更是晦澀難懂，因此很難引起學(xué)習(xí)興趣，也就沒有了學(xué)習(xí)動(dòng)力。針對(duì)這一問題，數(shù)學(xué)教師在引出數(shù)學(xué)概念之前需要先創(chuàng)設(shè)情境，將復(fù)雜的概念知識(shí)簡(jiǎn)單化。教師在創(chuàng)設(shè)情境時(shí)要注意以下幾點(diǎn)，首先要牢記課堂教學(xué)目標(biāo)，其次學(xué)生需要理解哪些概念，最后這些概念怎么拓展延伸，這個(gè)概念又體驗(yàn)?zāi)男?shù)學(xué)思想、方法等。

技術(shù)知識(shí)，教育技術(shù)是人才培養(yǎng)技術(shù)及其創(chuàng)新整合的技術(shù)，核心是教學(xué)設(shè)計(jì)技術(shù)和課程開發(fā)技術(shù)。PCK理論中的技術(shù)知識(shí)強(qiáng)調(diào)教師要掌握豐富的教育技術(shù)，只有這樣，才有能力指導(dǎo)教學(xué)和對(duì)教學(xué)資源進(jìn)行開發(fā)和創(chuàng)新。例如，在“向量的概念”這節(jié)課中，教師可以利用幾何畫板等技術(shù)來輔助教學(xué)。

（2）PCK視角下的“向量的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)思路

本研究以PCK為理論基礎(chǔ)，為了將PCK融入教學(xué)設(shè)計(jì)中，同時(shí)為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，特將整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)用知識(shí)線、素養(yǎng)線、策略線、興趣線與總結(jié)線這五個(gè)線索串聯(lián)起來，并貫穿于教學(xué)的全過程，借此對(duì)“向量的概念”的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理的分析。

三、基于 PCK 視角的“向量的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)

基于以學(xué)生為本、讓學(xué)生參與課堂教學(xué)的新課程教學(xué)理念，以“培養(yǎng)自主建構(gòu)概念意識(shí)，提高自主完善概念和反思能力”為素養(yǎng)主線對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分析，結(jié)合PCK視角對(duì)“向量概念”學(xué)科主題進(jìn)行研究從5種知識(shí)成分（總結(jié)知識(shí)、興趣知識(shí)、策略知識(shí)、課程知識(shí)、學(xué)生知識(shí)）進(jìn)行分析，并整合研究?jī)?nèi)容編制教學(xué)設(shè)計(jì)。

1.問題情境，引入概念

五一假期，李明（化名）收到好朋友發(fā)來的一條微信消息：“兄弟，五一快樂啊，我在一個(gè)離武漢直線距離700千米的地方旅游，猜猜我在哪玩啊”

教師引導(dǎo)學(xué)生得出離武漢直線距離700千米的城市有兩個(gè)，所以并不能得出具體在哪個(gè)城市。

設(shè)計(jì)意圖：此處教師拋出生活中常見的問題來引入新課，簡(jiǎn)單有趣的問題讓每個(gè)學(xué)生都能積極思考，使課堂氛圍變得活潑生動(dòng)，體現(xiàn)了PCK理論中的情境知識(shí)。這個(gè)問題雖然簡(jiǎn)單，但引出向量的兩個(gè)要素：大小、方向。為后續(xù)的學(xué)習(xí)埋下了伏筆。

2.數(shù)學(xué)抽象，形成概念

問題1：高中物理的第一節(jié)課我們就學(xué)習(xí)了位移這個(gè)概念，它和路程有什么區(qū)別嗎？

問題2：給出下列量：

（1）面積；（2）加速度；（3）路程；（4）密度；（5）功；（6）溫度；（7）角度.

用你所學(xué)的知識(shí)請(qǐng)你將它們分成兩類，并指出它們有什么不同。

設(shè)計(jì)意圖：激活學(xué)生已掌握的概念知識(shí)，進(jìn)行新舊概念同化。并且引導(dǎo)學(xué)生對(duì)向量和數(shù)量進(jìn)行對(duì)比，從而突出向量的兩大要素為：大小和方向。讓學(xué)生自己通過類比得到向量的概念，體現(xiàn)了將課堂還給學(xué)生的理念。這種有選擇性地提問技巧充分體現(xiàn)了教師 PCK 理論中的教學(xué)策略知識(shí)。

3.類比推理，理解概念

問題3：對(duì)于一個(gè)實(shí)數(shù)，可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；對(duì)于一個(gè)角的正弦、余弦和正切，可以用三角函數(shù)表示；對(duì)于一個(gè)二次函數(shù)，可以用一條拋物線來表示，那向量既有大小又有方向，我們?nèi)绾涡蜗笾庇^地表示出來呢？

問題4：認(rèn)識(shí)概念之后，為了進(jìn)一步研究的方便，通常要表示它。

請(qǐng)同學(xué)們按下列要求畫出力的圖示，并想想如何形象地表示向量。

（1）4N的重力

（2）1N的浮力

設(shè)計(jì)意圖：通過類比實(shí)數(shù)和二次函數(shù)等幾何表示，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)向量的幾何表示進(jìn)行思考，再通過一道簡(jiǎn)單的物理題，形象直觀地體現(xiàn)了向量的幾何表示，接著引出數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)，自然得出向量的字母表示。教師在教學(xué)中融入物理學(xué)科的知識(shí)，有助于學(xué)生形成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，體現(xiàn)了教師PCK理論中的學(xué)科知識(shí)和教學(xué)策略知識(shí)。

問題5：根據(jù)PPT中展示的向量模的變化圖像，回答以下問題。

（1）你能給它取一個(gè)名字嗎？

（2）零向量的方向呢？

設(shè)計(jì)意圖：及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生鞏固剛剛學(xué)習(xí)過的單位向量和零向量的概念，體現(xiàn)了教師PCK理論中的學(xué)生知識(shí)。

問題6：根據(jù)PPT中所展示的平行四邊形ABCD圖形，回答以下問題。

（1）請(qǐng)同學(xué)們將PPT上的平行四邊形畫在草稿紙上，并將四邊形中的部分線段畫上箭頭表示向量，并寫出你所表示的向量；

（2）你能發(fā)現(xiàn)這些向量有哪些關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：通過引導(dǎo)學(xué)生自主添加箭頭來構(gòu)造向量，鞏固了學(xué)生剛掌握的向量的表示，還讓學(xué)生積極的參與到課堂中；還將平行向量、等價(jià)向量、共線向量概念的形成過程連接起來，使學(xué)生參與這些概念的形成過程，使概念在教師指導(dǎo)下，成為學(xué)生觀察、歸納、概括后的自然產(chǎn)物，這使學(xué)生成為課堂主體，體現(xiàn)了教師PCK理論中的學(xué)生知識(shí)。

問題7：（1）若a∥0，b∥0，那么a∥b嗎？

變式1：若a∥c，b∥c，那么a∥b這個(gè)結(jié)論成立嗎？

變式2：a，b是不平行的兩個(gè)向量，若存在一個(gè)向量c使得a∥c，b∥c，則c=？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生注意把向量平行與幾何平行進(jìn)行區(qū)分，同時(shí)明確零向量的意義與作用。

本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，向量概念、向量的表示方法、相等向量和共線向量等概念是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。從 PCK 理論的角度來看，數(shù)學(xué)教師只有具備足夠的學(xué)科知識(shí)，對(duì)教材中的重要難點(diǎn)有準(zhǔn)確的定位，才能設(shè)計(jì)相關(guān)教學(xué)環(huán)節(jié)突破重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，并且教師通過幾何畫板來制作課件也體現(xiàn)了PCK理論中的技術(shù)知識(shí)。

4.變式訓(xùn)練，鞏固概念

為了深化對(duì)向量概念符號(hào)語言、圖形語言的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解零向量、共線向量等概念，通過設(shè)計(jì)變式練習(xí)題目，來鞏固概念。

問題8：判斷下面的說法是否正確。

（1）向量的模的取值范圍是（0，+∞）；

（2）若d與e都是單位向量，則|d|=|e|；

（3）若h∥l，則h與l的方向相同；

設(shè)計(jì)意圖：這門課的內(nèi)容概念多、容易混淆，這四個(gè)概念解析題的設(shè)置基本涵蓋了這門課中所有的新概念和容易出錯(cuò)之處，在解析過程中加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解和記憶。這一環(huán)節(jié)提前預(yù)測(cè)了學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能遇到的困難，體現(xiàn)了教師在PCK理論中的學(xué)生知識(shí)。

問題9：一只信鴿從A點(diǎn)出發(fā)向東飛行了200km到達(dá)B點(diǎn)，隨后改變方向向南偏西60°方向飛行了300 km到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向向北飛行了250 km到達(dá)D點(diǎn).

（1）作出向量；

（2）求||.

設(shè)計(jì)意圖：明確向量用有向線段表示的要素是：起點(diǎn)、方向、大小。

（五）歸納反思，總結(jié)提升

問題10：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你覺得向量問題是代數(shù)問題還是幾何問題？

問題11：本節(jié)課你學(xué)到了哪些有關(guān)向量的概念？

設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)知識(shí)利于學(xué)生形成系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生自己總結(jié)體現(xiàn)了把課堂還給學(xué)生的理念，同時(shí)通過平面向量的數(shù)和形的表示，讓學(xué)生體會(huì)到向量既是代數(shù)研究對(duì)象，也是集合研究對(duì)象。這一環(huán)節(jié)也體現(xiàn)了教師 PCK 理論中的學(xué)生知識(shí)。

本文以PCK為理論基礎(chǔ)，從五個(gè)方面對(duì)向量的概念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，證實(shí)了教師僅僅依靠教學(xué)經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念課進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)是行不通的。教師需要具有充分的教學(xué)理論基礎(chǔ)，并將其運(yùn)用到教學(xué)設(shè)計(jì)中，同時(shí)還需要掌握一定的現(xiàn)代教育技術(shù)，只有這樣才能順應(yīng)學(xué)生的發(fā)展規(guī)律，符合學(xué)生的認(rèn)知狀態(tài)，更好地將獨(dú)有的學(xué)科內(nèi)容知識(shí)轉(zhuǎn)化為便于學(xué)生理解的知識(shí)形式。