胡一超 王雅妍 陸吉健

［摘? 要］ 在現(xiàn)如今高中數(shù)學(xué)教育的新形勢下，新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試題更多的意圖是培養(yǎng)高中生抽象概括、提出和解決問題的能力. 因此研究者從近五年高考數(shù)學(xué)試題出發(fā)，基于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，淺析近五年全國數(shù)學(xué)高考試題對于題型和分值結(jié)構(gòu)的調(diào)整、考點(diǎn)范圍和掌握程度的變化以及學(xué)生建模思維能力的要求等幾方面進(jìn)行議論分析. 通過對全國數(shù)學(xué)高考試卷（理科）Ⅰ卷5套試卷中的典型例題的研究分析，感受數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)在試題中的具體體現(xiàn)，并對數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)提出了建議.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)建模；核心素養(yǎng)；高考測評；教學(xué)培養(yǎng)；典型試題

研究背景

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》首次提出了數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析. 其中數(shù)學(xué)建模作為六大核心素養(yǎng)之一，在我國高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中發(fā)揮著十分重要的指導(dǎo)價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義，其不僅在高中階段對試題的解決有重要作用，而且為學(xué)生日后對于數(shù)學(xué)更深層次的研究和日常問題的解決具有一定的意義［1］. 所以本文從數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)出發(fā)，以近五年全國高考數(shù)學(xué)試題為例進(jìn)行針對性的測評研究.

研究內(nèi)容

1. 考查題型和分值結(jié)構(gòu)

試卷滿分150分，必做題140分，選做題10分. 其中選擇題12道，共60分；填空題4道，共20分；解答必做題5道，共60分；解答選做題2道（各10分，選做一題），共10分.

為分析近五年全國高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷（理科）對于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的考查情況，對考查題型和分值結(jié)構(gòu)進(jìn)行了匯總，如表1所示.

綜合分析，全國高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷（理科）對于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查以填空題和選擇題為主，近年來解答題的出現(xiàn)頻率上升，分值占比總體呈上升趨勢.

2. 評價(jià)框架

根據(jù)喻平教授對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評價(jià)框架，大致將其分為三個(gè)層面，即知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新［2］，對于這三個(gè)層面的不同要求如表2所示.

3. 例題分析

根據(jù)上述評價(jià)框架，從考查的形式、內(nèi)容出發(fā)，分析評定5套試卷對于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查要求變化. 因?yàn)轭}目數(shù)量較多，以下選取部分具有代表性的試題進(jìn)行分析說明.

例1 （2020年題13）若x，y滿足約束條件2x+y-2≤0，

x-y-1≥0，

y+1≥0，則z=x+7y的最大值為________.

分析：本題的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)體現(xiàn)在通過數(shù)和符號的關(guān)系即不等式組的掌握、不等式與函數(shù)的轉(zhuǎn)化，體會方程與模型的關(guān)系，確定其最優(yōu)解上. 題目要求學(xué)生正確理解三個(gè)不等式的數(shù)學(xué)意義，并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，得出最優(yōu)解.

該題為基礎(chǔ)題，屬于知識理解層面，重點(diǎn)考查學(xué)生對不等式組的理解和處理，以及對函數(shù)模型的體會. 基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生可能會錯(cuò)誤處理不等式組，對所求函數(shù)的幾何意義的理解也可能出現(xiàn)偏差，從而影響模型的建立.

例2 （2020年題11）已知☉M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作☉M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)PM·AB最小時(shí)，直線AB的方程為（? ）

A. 2x-y-1=0 B. 2x+y-1=0

C. 2x-y+1=0 D. 2x+y+1=0

分析：本題的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)體現(xiàn)在解決平面解析幾何模型中的最值即最優(yōu)解問題上. 從一次函數(shù)模型中的動點(diǎn)出發(fā)，用數(shù)學(xué)符號表示PM·AB，由此得出其值最小時(shí)動點(diǎn)P需要滿足的條件，通過計(jì)算得到最優(yōu)解即所求方程.

該題難度適中，屬于知識遷移層面，重點(diǎn)考查學(xué)生對于模型的確定以及一定的計(jì)算能力，通過對模型的分析得出其最優(yōu)解，完成方程的確定. 基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生難從條件“PM·AB最小”構(gòu)建出正確的模型，從而影響方程的計(jì)算結(jié)果.

例3 （2020年題20）已知A，B分別為橢圓E：+y2=1（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，·=8. P為直線x=6上的動點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點(diǎn).

分析：本題的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)體現(xiàn)在從平面幾何模型——橢圓模型出發(fā)，用符號表示點(diǎn)和函數(shù)的關(guān)系上. 需要學(xué)生從中體會模型的變化，分析得出模型的特點(diǎn)，同時(shí)考查學(xué)生的計(jì)算能力. 學(xué)生根據(jù)動點(diǎn)確立符號，并由此展開計(jì)算得出模型，然后通過分析證明過定點(diǎn)的結(jié)論.

該題為綜合題，屬于知識遷移層面，考查學(xué)生求橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系以及求直線方程問題. 綜合來說，該題對于模型構(gòu)建不算太困難，但計(jì)算量較大，基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生在處理模型的過程中容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.

例4 （2021年題8）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一. 如圖（圖1）是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′滿足∠A′C′B′=45°，∠A′B′C′=60°.由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為15°，BB′與CC′的差為100；由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為45°，則A，C兩點(diǎn)到水平面A′B′C′的高度差A(yù)A′-CC′約為（≈1.732）（? ）

A. 346B. 373

C. 446D. 473

分析：本題的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)體現(xiàn)在綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)模型表示新情境里的數(shù)學(xué)關(guān)系，用建模的方法認(rèn)識分析實(shí)際問題上. 題目以珠穆朗瑪峰的測量法為背景，將實(shí)際問題抽象建立成立體幾何模型，要求學(xué)生通過三角高程測量法解決問題. 另外，學(xué)生需要一定的空間想象能力構(gòu)建該立體幾何模型，并通過對模型的合理分析，進(jìn)行正確處理，即如何正確將AA′-CC′的長度通過做輔助線的方式轉(zhuǎn)化為A′B′+100，并運(yùn)用三角函數(shù)中的相關(guān)定理進(jìn)行求解.

該題屬于知識創(chuàng)新層面，從實(shí)際問題出發(fā)，考查學(xué)生建立空間幾何模型的能力，并運(yùn)用所學(xué)知識完成其中一些基本計(jì)算，同時(shí)考查學(xué)生簡單的直觀想象能力，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力.

例5 （2021年題10）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（? ）

A. B.

C. D.

分析：本題的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)體現(xiàn)在通過分析問題內(nèi)部聯(lián)系，找到問題解決的切入點(diǎn)，建立合理的數(shù)學(xué)模型，將問題簡單化、常規(guī)化上. 該題要求學(xué)生采用插空法，對4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，分“2個(gè)0相鄰”和“2個(gè)0不相鄰”進(jìn)行求解，分別得出兩種情況的排法數(shù)量. 學(xué)生需要理解問題的核心原理，選擇正確的排列組合模型，對問題進(jìn)行分析解決.

該題屬于知識遷移層面，排列組合問題作為高考中必考的一個(gè)類型題，考查學(xué)生分析處理問題、將復(fù)雜問題進(jìn)行分解的能力，從而找到問題解決的切入點(diǎn)，建立正確的數(shù)學(xué)模型. 例如，相鄰問題捆綁法，不相鄰問題插空法，特殊位置優(yōu)先考慮，等等. 對于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)較弱的學(xué)生可能無法正確分析其中的關(guān)系而構(gòu)建出錯(cuò)誤的排列組合模型.

研究結(jié)果

1. 數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)建模是從實(shí)際問題出發(fā)，通過對實(shí)際問題的分析、抽象、簡化等，運(yùn)用數(shù)學(xué)原理，優(yōu)化、選擇并建立正確合理的模型，在此基礎(chǔ)上，通過現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識求解模型以解決問題，再回到實(shí)際情境中解釋、驗(yàn)證所得結(jié)果. 其大致過程可用圖2表示.

從教學(xué)定義出發(fā)，建模思想源于構(gòu)建主義，其內(nèi)涵是數(shù)學(xué)家經(jīng)過大量的研究總結(jié)后歸納出的具有代表性的典型抽象化數(shù)學(xué)模型，通過這種模式，可以將大量數(shù)據(jù)進(jìn)行有效量化，并借助這種量化關(guān)系選擇構(gòu)建精準(zhǔn)、有效的數(shù)學(xué)模型. 數(shù)學(xué)建模是現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)連接的紐帶，其數(shù)學(xué)過程是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)育人目標(biāo)的具體體現(xiàn). 與此同時(shí)，數(shù)學(xué)建模關(guān)注著傳統(tǒng)文化對學(xué)生學(xué)習(xí)乃至今后發(fā)展的影響，體現(xiàn)了教育的人文關(guān)懷［3］.

2. 數(shù)學(xué)建模能力要求

總體上說，數(shù)學(xué)建模是一項(xiàng)綜合性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)活動，對于學(xué)生多方面的能力有一定要求.

（1）閱讀理解能力. 這需要學(xué)生依照一定的邏輯和思路方法對問題進(jìn)行系統(tǒng)性分析，篩選關(guān)鍵信息，理解具體含義，在感知問題信息后，獲得對問題的感性認(rèn)識. 閱讀能力較好的學(xué)生，能夠較容易地理解問題考查的內(nèi)容和內(nèi)涵. 讀得快，讀得準(zhǔn)，理解對，理解深，這是數(shù)學(xué)建模的前提.

（2）抽象概括能力. 這需要學(xué)生將獲得的感性材料去偽存真，對問題適當(dāng)簡化，忽略不必的次要因素，抓住主要矛盾，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，在不違背題意的前提下，在提煉、抽象的基礎(chǔ)上，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題. 抽象概括能力較強(qiáng)的學(xué)生能夠較容易地將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，這是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ).

（3）模型選擇能力. 這需要學(xué)生對問題有了一定的理解后，為了解決該問題，能夠選擇合適的數(shù)學(xué)模型，同一個(gè)數(shù)學(xué)問題可以有多個(gè)數(shù)學(xué)模型，同一個(gè)數(shù)學(xué)模型可以用于多個(gè)實(shí)際問題，如何選擇一個(gè)最佳的模型，直接關(guān)系到問題能否順利有效地解決，是學(xué)生綜合能力的體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵.

（4）空間想象能力. 對于某些稍復(fù)雜的模型，如立體幾何模型，在抽象概括以及進(jìn)行分析處理時(shí)，礙于技術(shù)工具的限制，學(xué)生只能依靠個(gè)人的空間想象能力進(jìn)行構(gòu)建，并以此來解決問題. 空間想象能力好的學(xué)生能夠較清晰地在腦海中呈現(xiàn)數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)用和處理，能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)較大提升.

（5）數(shù)學(xué)運(yùn)算能力. 同樣，不管是在構(gòu)建模型還是在求解模型的過程中，都會涉及一定量的計(jì)算，可能還會有近似計(jì)算和估計(jì)，所以即使模型選擇正確合理，如果計(jì)算能力欠佳，最終也是前功盡棄. 數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)建模的重要組成部分［4］.

3. 高考形式下的幾種常用模型

在前面的研究內(nèi)容中可以看出，在高中階段對于學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的考查大多集中在數(shù)學(xué)理解和數(shù)學(xué)遷移方面，題目的難易程度集中在中等，題型的考查方式多樣，考查的基本模型分類如下.

（1）函數(shù)模型. 高中階段的大部分函數(shù)模型為一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及簡單的分段函數(shù)等. 處理函數(shù)模型時(shí)，需要對各類函數(shù)的定義、性質(zhì)以及一些拓展性內(nèi)容扎實(shí)掌握，如定義域、值域的取值. 處理問題時(shí)，要靈活選擇并運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)，通過數(shù)學(xué)知識從已知條件向所求問題靠近. 在高考范圍內(nèi)，函數(shù)模型的考查形式多樣，選擇題、填空題、解答題都會涉及，分值占比較高，屬于高中階段較為重要的一種模型.

（2）不等式模型. 該模型在高考中大多以填空題為主，題目較容易，分值占比較低. 在處理過程中常配合函數(shù)進(jìn)行解決，需要學(xué)生熟練掌握數(shù)形結(jié)合方法，理解模型的幾何含義.

（3）平面幾何模型. 在高中階段的平面幾何模型主要有三種，即拋物線、雙曲線、橢圓，在高考中以填空題和選擇題為主，分值占比中等. 在處理過程中需要學(xué)生對各類模型的基本知識，如焦點(diǎn)、漸近線等熟練掌握并靈活運(yùn)用，也可能會與一次函數(shù)配合形成難度較高的動點(diǎn)問題，這要求學(xué)生在扎實(shí)的基礎(chǔ)知識上，會運(yùn)用一些巧妙的求解方法解題.

（4）立體幾何模型. 該模型在高考中出現(xiàn)頻率最高的是一道解答題，幾乎每年都會出現(xiàn)，以求線面角和面面角為主，近年也在選擇題出現(xiàn)，需要學(xué)生有一定的空間想象能力，并對模型進(jìn)行簡單輔助線處理以及運(yùn)用三角函數(shù)知識進(jìn)行求解，總體來說難度不大.

（5）數(shù)列、概率模型. 該模型在高考中大多以一道解答題的方式出現(xiàn)，也會涉及選擇題和填空題，學(xué)生需要理解題意，知道不同模型對應(yīng)的解決方法，恰當(dāng)運(yùn)用方法就會比較容易解決.

4. 高考數(shù)學(xué)建模趨勢分析

近年來，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查范圍越來越廣，內(nèi)容越來越深，題型也越來越新穎，集中體現(xiàn)在以下幾方面.

（1）綜合性. 數(shù)學(xué)建模已經(jīng)由單純的數(shù)學(xué)知識逐步轉(zhuǎn)化為知識、方法和運(yùn)用能力相結(jié)合的綜合性題型，因此對于學(xué)生來說，單純的“記憶”遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，要學(xué)會靈活運(yùn)用不同的解題方法，從中感受數(shù)學(xué)建模思想.

（2）文化性. 特別是近兩年以數(shù)學(xué)文化為背景的題目頻繁出現(xiàn)，可見高考數(shù)學(xué)正在努力挖掘數(shù)學(xué)歷史長河中的精髓，從數(shù)學(xué)文化中體會建模思想.

（3）應(yīng)用性. 尤以解答題為主，選取現(xiàn)實(shí)生活的背景考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活，要求學(xué)生不能停留在紙面上，而要有一定的應(yīng)用意識.

（4）創(chuàng)新性. 對于同一個(gè)知識點(diǎn)，不管是從考查的角度還是從內(nèi)容上，相比于以前，都有了一定程度的創(chuàng)新，需要考生對題意有較清楚的理解，在此基礎(chǔ)上解決問題. 創(chuàng)新型試題符合時(shí)代的發(fā)展，也是選拔高素質(zhì)人才的要求.

教學(xué)培養(yǎng)的建議

由于很多學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思維薄弱，難以從文字語言、圖像信息中提取并建立正確的模型，在當(dāng)前疫情防控的背景下，教師更要做好課堂工作，在此提出以下建議.

（1）加強(qiáng)審題閱讀訓(xùn)練，夯實(shí)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ). 讀懂題目始終是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)，理解題目內(nèi)涵，才能正確建立模型并解答問題. 教師在教學(xué)過程中應(yīng)該對那些典型的閱讀難度較高的題目進(jìn)行系統(tǒng)性整理和分析，從題目出發(fā)，教會學(xué)生如何去審題，如何找到關(guān)鍵信息，分清主次關(guān)系.

（2）優(yōu)化課堂教學(xué)過程，提高數(shù)學(xué)建模能力. 教師要充分利用教師的主導(dǎo)作用來發(fā)揮學(xué)生的主體地位，優(yōu)化教學(xué)過程，讓學(xué)生自主參與到數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)中來，體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過程，以此提高學(xué)生選擇并建立數(shù)學(xué)模型的能力［3］.

（3）重視教材內(nèi)容挖掘，掌握基本數(shù)學(xué)模型. 高中階段有很多常用的數(shù)學(xué)模型，教師應(yīng)充分利用課本資源，鞏固學(xué)生對于高中基本模型的基礎(chǔ)知識的掌握，并要求學(xué)生能熟練完成課后習(xí)題.

（4）強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)，完善數(shù)學(xué)建模過程. 數(shù)學(xué)建模當(dāng)然離不開運(yùn)算能力，在當(dāng)今科學(xué)技術(shù)發(fā)展迅速的時(shí)代，學(xué)生的運(yùn)算能力卻不抵從前，然而運(yùn)算在數(shù)學(xué)建模過程中也是重要的一環(huán). 教師應(yīng)當(dāng)要求學(xué)生多進(jìn)行自主運(yùn)算，在作業(yè)中可以適當(dāng)增加運(yùn)算量.

（5）關(guān)注數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用，開闊數(shù)學(xué)建模眼界. 數(shù)學(xué)來源于生活，并服務(wù)于生活，若離開實(shí)際應(yīng)用，則數(shù)學(xué)就只是一紙空文. 因此教學(xué)過程中，教師要注重引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)際問題中的解題思維，幫助學(xué)生總結(jié)一般性的活動經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)與實(shí)際相聯(lián)系的過程，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的探究創(chuàng)新精神.

參考文獻(xiàn)：

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基金項(xiàng)目：教育部產(chǎn)學(xué)合作項(xiàng)目“線上線下混合式虛擬仿真教學(xué)模式及其實(shí)踐”（202101031035）.

作者簡介：胡一超（1999—），杭州師范大學(xué)理科綜合—數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)應(yīng)用（師范）專業(yè)學(xué)生，未來教育協(xié)會研究助理，主要從事數(shù)學(xué)測試、未來教育等研究工作.

通訊作者：陸吉?。?990—），北師大和墨爾本大學(xué)聯(lián)培教育學(xué)博士，杭州師范大學(xué)講師，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)測評、未來教育等研究工作，發(fā)表CSSCI、核心、SSCI等期刊論文近40篇.