摘 "要 "21世紀(jì)是信息化時代，教育教學(xué)與現(xiàn)代信息技術(shù)有機(jī)結(jié)合已成為教育改革的熱點(diǎn)之一。GeoGebra動態(tài)數(shù)學(xué)軟件的幾何窗口與代數(shù)窗口共存，函數(shù)表達(dá)式和函數(shù)圖像同步變化，將數(shù)與形完美融合，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想。以二次函數(shù)圖像平移規(guī)律教學(xué)為例，利用GeoGebra輔助數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)，將二次函數(shù)圖像平移化靜為動，增強(qiáng)直觀性，讓學(xué)生感受圖像動態(tài)變化，找出二次函數(shù)圖像平移規(guī)律，再從代數(shù)角度驗(yàn)證，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

關(guān)鍵詞 "初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；二次函數(shù)；GeoGebra

中圖分類號：G633.62 " 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1671-489X（2022）11-0035-04

0 "引言

當(dāng)前，信息技術(shù)對我國教育改革產(chǎn)生巨大的影響。信息技術(shù)已成為初中教學(xué)有效的教學(xué)輔助手段。一名新時代的數(shù)學(xué)教師應(yīng)思考如何將技術(shù)、教學(xué)方法、內(nèi)容知識有機(jī)整合，利用教育技術(shù)有效表征和呈現(xiàn)學(xué)科內(nèi)容，幫助學(xué)生理解。當(dāng)前，“技術(shù)—教學(xué)法—內(nèi)容知識”（TPACK）是信息技術(shù)與課程整合、教師知識與教學(xué)學(xué)習(xí)研究的熱點(diǎn)之一[1]。

初中生的思維正處于由具體向抽象過渡的階段，函數(shù)章節(jié)的知識十分抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)起來有一定難度。嘗試?yán)肎eoGebra數(shù)學(xué)動態(tài)軟件輔助函數(shù)圖像的教學(xué)，以湘教版數(shù)學(xué)九年級上冊二次函數(shù)圖像平移規(guī)律為例進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，通過布置任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生利用GeoGebra軟件探究二次函數(shù)圖像平移規(guī)律，學(xué)生獨(dú)立思考與小組討論形式相結(jié)合，幫助學(xué)生更好地發(fā)散思維，引導(dǎo)學(xué)生在“形”中思“數(shù)”、“數(shù)”中憶“形”，培養(yǎng)其數(shù)形結(jié)合思維。

1 "GeoGebra

數(shù)學(xué)軟件GeoGebra誕生于2001年，由美國數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter開發(fā)，是集幾何、代數(shù)、微積分和統(tǒng)計(jì)功能于一體的動態(tài)軟件。發(fā)展到現(xiàn)在，該軟件支持56種語言，可應(yīng)用于多種平臺[2]。GeoGebra一詞是由英語單詞Geometry（幾何）和Algebra（代數(shù)）合成，從數(shù)學(xué)思想方法層面來解讀，就是數(shù)形結(jié)合。這款軟件簡單易學(xué)，作圖高效，可利用滑動條在幾何繪圖區(qū)展示圖形平移過程。利用該軟件助力數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)，可以使教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生動態(tài)變化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生探究能力，促進(jìn)思維能力深度發(fā)展。新時代教師需學(xué)習(xí)現(xiàn)代教育技術(shù)和與時俱進(jìn)的教學(xué)理論，具備運(yùn)用信息技術(shù)輔助教學(xué)的意識。

2 "數(shù)形結(jié)合思想

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚最早提出數(shù)形結(jié)合一詞，并用“數(shù)缺形時欠直觀，形離數(shù)時難入微”來描述數(shù)形結(jié)合獨(dú)特的優(yōu)越性。數(shù)形結(jié)合思想是初中學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)基本思想之一，對提高學(xué)生解題能力、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)有很大幫助。新時代，教育改革將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程進(jìn)行整合，而GeoGebra軟件的教學(xué)價值在數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)中體現(xiàn)得最為淋漓盡致，這也是在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效運(yùn)用GeoGebra的意義所在[3]。

3 "基于GeoGebra的教學(xué)方案設(shè)計(jì)

3.1 "學(xué)習(xí)內(nèi)容分析

二次函數(shù)圖像平移規(guī)律是湘教版數(shù)學(xué)九年級下冊第一章第二節(jié)“二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)”的拓展與延伸，是近幾年湖南省中考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)。該內(nèi)容是學(xué)習(xí)八年級下冊第三章“圖形的平移”后，學(xué)習(xí)二次函數(shù)頂點(diǎn)式、一般式，a、b、c對圖像影響的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步開展專題研究。實(shí)際教學(xué)表明，學(xué)習(xí)函數(shù)圖像的平移規(guī)律對學(xué)生來說是一個難點(diǎn)。結(jié)合GeoGebra軟件，以學(xué)生為主體設(shè)計(jì)自主探究任務(wù)和驅(qū)動式問題，讓學(xué)生親身經(jīng)歷探求知識的過程，通過不同的學(xué)習(xí)方式幫助學(xué)生形成學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提升自學(xué)能力，并逐步滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

3.2 "教學(xué)目標(biāo)分析

3.2.1 "知識與技能 "利用GeoGebra探究y=ax2

如何平移得到y(tǒng)=ax2+k、y=a（x+h）2、y=a（x+h）2+k的圖像，掌握二次函數(shù)平移法則。

3.2.2 "過程與方法 "通過小組合作的任務(wù)探究活動，學(xué)生利用GeoGebra作出二次函數(shù)圖像，觀察參數(shù)h、k對函數(shù)圖像位置變化的影響，體會數(shù)形結(jié)合和特殊到一般的思想方法，提高邏輯推理和直觀想象等核心素養(yǎng)。

3.2.3 "情感態(tài)度與價值觀 "讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想—實(shí)驗(yàn)—發(fā)現(xiàn)—證明”的過程，培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范化思考問題的品質(zhì)、科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和積極探究的合作精神。

3.3 "教學(xué)過程

3.3.1 "探究y=ax2與y=ax2+k圖像的位置關(guān)系

1）前期準(zhǔn)備。學(xué)生在機(jī)房（一人一臺電腦）接受本班數(shù)學(xué)教師針對GeoGebra軟件操作培訓(xùn)。

2）任務(wù)探究。學(xué)生利用GeoGebra畫出y=2x2、

y=2x2+2、y=2x2-2的圖像及y=2x2+k的圖像。先觀察前三個具體函數(shù)的圖像，再通過拖動GeoGebra軟件上設(shè)置的參數(shù)k滑動條，改變k的值，觀察函數(shù)表達(dá)式和圖像位置變化，并且發(fā)現(xiàn)二者聯(lián)系及其中規(guī)律。

3）學(xué)生實(shí)踐。在平時上課的教室中（一臺電腦、一個電子屏幕），各小組分組完成任務(wù)操作。當(dāng)一個小組在講臺上使用軟件畫函數(shù)圖像時，其他小組學(xué)生在草稿紙上描點(diǎn)連線作圖，初步感受三個具體函數(shù)的位置關(guān)系，如圖1所示，并回答探究問題。

4）探究問題。

A.三個具體函數(shù)圖像有怎樣的位置關(guān)系？拋物線y=2x2與y=2x2+k圖像位置有什么關(guān)系？提出猜想。

B.通過拖動滑動條k，是否能直觀地感受到圖像存在上下平移的聯(lián)系？能否從形的角度驗(yàn)證猜想？

C.圖像平移過程中，對應(yīng)點(diǎn)的x值、y值是否變化？能否從代數(shù)的角度驗(yàn)證該平移規(guī)律？

5）小組匯報。

①各小組代表向全體學(xué)生板演展示小組探究結(jié)果，利用GeoGebra直觀地演示并解釋原理。

②各小組成員認(rèn)真聽小組代表匯報的探究成果，對成果進(jìn)行組內(nèi)自評與組間交叉互評。教師在學(xué)生展示與評價過程中，既要甄別對錯，及時判斷，又要發(fā)現(xiàn)典型性的問題和學(xué)生思維的亮點(diǎn)。通過教師評價點(diǎn)撥，學(xué)生總結(jié)探究結(jié)果與學(xué)習(xí)方法。

6）學(xué)生預(yù)設(shè)回答（回答a對應(yīng)上述問題A，以此類推）。

a.y=2x2+2、y=2x2-2函數(shù)圖像是由y=2x2向上/向

下平移2個單位長度得到。提出猜想：圖像y=2x2+

k可由y=2x2向上或向下平移|k|個單位得到，當(dāng)k＞

0時向上平移，當(dāng)k＜0時向下平移。

b.“形”方面驗(yàn)證該猜想。通過拖動滑動條k，圖像y=2x2+k、y=2x2存在上下平移|k|個單位長度的聯(lián)系。

c.“數(shù)”方面驗(yàn)證該猜想。圖像平移過程中，對應(yīng)點(diǎn)的x值不變、y值改變，在y=2x2、y=2x2+k圖像上分別取一般點(diǎn)A（m，2m2）、B（m，2m2+k），

橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)相差|k|個單位。根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律，相當(dāng)于點(diǎn)A向上或向下平移|k|個單位變成點(diǎn)B，所以整個圖像呈上下平移的狀態(tài)。

7）教師小結(jié)。k決定二次函數(shù)圖像的上下位置，由于開口大小和方向是由a決定，因此，y=ax2向上或向下平移|k|個單位得到y(tǒng)=ax2+k，當(dāng)k＞0時向上平移，當(dāng)k＜0時向下平移，簡記“上加下減變k”。

3.3.2 "探究y=ax2與y=a（x+h）2圖像的位置關(guān)系

1）任務(wù)探究。學(xué)生利用GeoGebra畫出y=2x2、

y=2（x+1）2、y=2（x-1）2的圖像以及y=2（x+h）2的圖像。先觀察前三個具體函數(shù)的圖像，再通過拖動GeoGe-

bra軟件上設(shè)置的參數(shù)h滑動條，改變h的值，觀察函數(shù)表達(dá)式和圖像位置變化，發(fā)現(xiàn)兩者聯(lián)系及其中規(guī)律。

2）學(xué)生實(shí)踐。各小組分組完成任務(wù)操作，如圖2所示，并回答探究問題。

3）探究問題。

D.三個具體函數(shù)圖像有怎樣的位置關(guān)系？拋物線y=2x2與y=2（x+h）2圖像位置有什么關(guān)系？提出猜想。

E.通過拖動滑動條h，是否能直觀地感受到圖像存在左右平移的聯(lián)系？能否從形的角度驗(yàn)證猜想？

F.圖像平移過程中，對應(yīng)點(diǎn)的x值、y值是否變化？能否從代數(shù)的角度驗(yàn)證該平移規(guī)律？

4）小組匯報（同上）。

5）學(xué)生預(yù)設(shè)回答（回答d對應(yīng)上述問題D，以此類推）。

d.先觀察特殊點(diǎn)如頂點(diǎn)的位置變化，函數(shù)圖像的位置變化和頂點(diǎn)的位置變化是一樣的。y=2（x+

1）2、y=2（x-1）2函數(shù)圖像是由y=2x2向左/向右平移2個單位長度得到。提出猜想：圖像y=2（x+h）2可由y=2x2向左或向右平移|h|個單位得到，當(dāng)h＞

0時向左平移，當(dāng)h＜0時向右平移。

e.“形”方面驗(yàn)證該猜想。通過拖動滑動條h，圖像y=2（x+h）2、y=2x2存在左右平移|h|個單位長度的聯(lián)系。

f.“數(shù)”方面驗(yàn)證該猜想。圖像平移過程中，對應(yīng)點(diǎn)的y值不變、x值改變，在y=2x2、y=2（x+h）2

圖像上分別取一般點(diǎn)A（m，2m2）、B（m-h，2m2），

縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)相差|h|個單位。根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律，相當(dāng)于點(diǎn)A向左或向右平移|h|個單位變成點(diǎn)B，所以整個圖像呈左右平移的狀態(tài)。

6）教師小結(jié)。h決定二次函數(shù)圖像的左右位置，由于開口大小和方向是由a決定，因此，y=ax2向左或向右平移|h|個單位得到y(tǒng)=a（x+h）2，當(dāng)h＞0時向左平移，當(dāng)h＜0時向右平移，簡記“左加右減變h”。

7）教師總結(jié)。y=ax2向上（k＞0）或向下

（k＜0）平移|k|個單位得到y(tǒng)=ax2+k，再向左（h＞

0）或向右（h＜0）平移|h|個單位得到y(tǒng)=a（x+h）2+

k。學(xué)生在探究活動中興致很高，表現(xiàn)積極，討論交流中，思維越來越嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯推理能力得到進(jìn)一步發(fā)展。人類勇于探索的精神不斷推動社會的發(fā)展和進(jìn)步，由此引入課程思政。教師要帶領(lǐng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)奧秘，認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值。

4 "結(jié)束語

利用GeoGebra輔助數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)，讓學(xué)生在做中學(xué)，親身經(jīng)歷知識產(chǎn)生、發(fā)展過程，構(gòu)建知識體系。與傳統(tǒng)的教育方式相比，學(xué)生利用Geo-

Gebra展示函數(shù)圖像，使靜態(tài)的函數(shù)圖像有動態(tài)的位置變化，把一些“看不透”“道不明”“想不清”的性質(zhì)通過動態(tài)的形式呈現(xiàn)，可以更直觀地發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律，克服因數(shù)學(xué)高度抽象性所帶來的“只可意會，不可言傳”的困難，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)可視化。

另外，在函數(shù)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，可以增強(qiáng)函數(shù)的直觀性，減少學(xué)生的推導(dǎo)過程，對增強(qiáng)學(xué)生自信有很大幫助。該教學(xué)設(shè)計(jì)具體實(shí)施過程中，學(xué)生對GeoGebra軟件比較感興趣，忽略了知識本身，這就要求教師必須有較強(qiáng)的課堂掌控能力。在小組教學(xué)中，對于多元思維、預(yù)設(shè)問題之外的生成問題、共性問題，教師要及時點(diǎn)評，點(diǎn)撥講解，這對教師提出較高要求。該教學(xué)設(shè)計(jì)是GeoGebra動態(tài)軟件與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合，也是現(xiàn)代信息技術(shù)與教育教學(xué)有機(jī)整合的實(shí)踐，具有很好的參考價值。

參考文獻(xiàn)

[1] 焦建利，鐘洪蕊.技術(shù)—教學(xué)法—內(nèi)容知識（TPACK）

研究議題及其進(jìn)展展[J].遠(yuǎn)程教育雜志，2010，28（1）：39-45.

[2] 李小妮.運(yùn)用GeoGebra軟件輔助初中數(shù)形結(jié)合思想

教學(xué)效果研究[D].湖南：湖南科技大學(xué)，2018.

[3] 華羅庚.談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)數(shù)學(xué)巧題[M].北京：北

京出版社，1979.