李文東

(廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué) 528454)

函數(shù)的定義域是函數(shù)三大要素之一，而數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此在解決與函數(shù)或數(shù)列問(wèn)題時(shí)我們需要時(shí)刻關(guān)注定義域，如果忽略它，常常會(huì)使解題出現(xiàn)各種不必要的錯(cuò)誤，出現(xiàn)“失之毫厘謬以千里”情況．本文針對(duì)幾種常見(jiàn)忽略定義域的典型問(wèn)題進(jìn)行歸納和總結(jié).

1 求解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性問(wèn)題忽略定義域

判斷函數(shù)的奇偶性不考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

例1 判斷函數(shù)的奇偶性.

正解實(shí)際上，此函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,1)，正確答案為：非奇非偶函數(shù).

(2)錯(cuò)解顯然f(x)滿足f(-x)=f(x)，故函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

正解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧-1,1}，且f(1)=f(-1)=0，故函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

例2 求函數(shù)f(x)=x2-2lnx的單調(diào)區(qū)間.

正解由于f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，故f(x)的遞增區(qū)間為(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

2 求解函數(shù)值域或最值問(wèn)題忽略定義域

A.33 B.22 C.13 D.6

錯(cuò)解y=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3．

因?yàn)?≤x≤9，所以0≤log3x≤2.

所以當(dāng)x=9，即log3x=2時(shí)，ymax=22．

正解因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閇1,9]，

因?yàn)閥=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3，

所以當(dāng)x=3，即log3x=1時(shí)，ymax=13．

3 函數(shù)作圖時(shí)忽略定義域

解析方程f(x)=0解的個(gè)數(shù)

作出f(x)的圖象如圖1所示，由此可知：當(dāng)a∈[0,e)時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)a<0或a=e時(shí)，方程有唯一解； 當(dāng)a>e時(shí)方程有兩解.

圖1

4 求解數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題忽略定義域

數(shù)列是定義域?yàn)镹*或{1,2,…,n}的函數(shù)，因此我們可以利用函數(shù)的思想來(lái)研究數(shù)列{an}問(wèn)題，比如單調(diào)性，但是要注意到數(shù)列的定義域！

例6 已知數(shù)列{an}中，an=n2+λn，且{an}是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

5 求解數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題忽略定義域

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

當(dāng)n=1時(shí),a1=1,

①

②

即bn=2(2n+1).

當(dāng)n=1時(shí)，T1=b1=9，

當(dāng)n=1時(shí)，T1=9也滿足上式，

綜上，Tn=2n+2+2n-1.

③

④

當(dāng)n=1時(shí)，T1=b1=9,

當(dāng)n=2時(shí)，T2=b1+b2=14,

當(dāng)n=2時(shí)，T2=14也滿足上式，