張文莉

［摘 要］教師只有挖掘教材中蘊含的數(shù)學(xué)思想，并在課堂教學(xué)中不著痕跡地滲透，學(xué)生才能真切地感悟數(shù)學(xué)思想。以“找次品”示范課為例，論述如何在數(shù)學(xué)課堂中滲透化繁為簡、化歸、優(yōu)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，真正落實課程標準要求的“四基”。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)思想；找次品；活動經(jīng)驗；案例分析

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2022）26-0060-03

數(shù)學(xué)課程標準在“實施建議”中指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計形式多樣的數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生通過實踐、思考、探索、交流等獲得數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。在實際教學(xué)中，挖掘教材中蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法并不是件容易的事，更別提在課堂教學(xué)中不著痕跡地滲透數(shù)學(xué)思想和方法了。那么，如何挖掘？如何運用？又如何滲透才能使學(xué)生體會到基本的數(shù)學(xué)思想和方法？筆者在觀摩了楊宏老師執(zhí)教的“找次品”示范課后深受啟發(fā)，感悟頗深。

【案例賞析】

一、引出問題

師（出示圖1）：世界著名的微軟公司在招聘時曾出了這樣一道題。

師：最少稱幾次？你打算怎么稱？保證能找到嗎？

生1：10次。

生2：6次。

……

師：看來大家有不同的看法。如何才能做到“保證找到”，又能知道“最少稱幾次”？這就是今天我們要研究的問題。

【分析：教師在教學(xué)伊始沒有過多的論述，而是語言簡練，直奔主題。這樣既激起了學(xué)生探究新知的好奇心，又提高了課堂效率?！?/p>

二、探究解決問題的策略

活動1：從2個小球中找次品

師：這道題中有81個小球，數(shù)量太多了。遇到比較大的數(shù)，一時難以解決，我們可以怎樣入手？（簡單的數(shù)據(jù)）那從2個小球中找次品，最少要稱幾次呢？

生1：1次。

（教師用天平演示，板書：最少稱1次）

活動2：從3個小球中找次品

師：如果是3個小球呢？

生2：1次。

生3：2次。

（學(xué)生操作：先取2個小球放在天平的兩端。如果天平平衡，那么次品就是沒有放在天平上的小球；如果不平衡，那么次品就是向上傾斜的那一端的小球）

（板書：最少稱1次）

【分析： “天下難事始于易。”對于比較大的數(shù)“81”，學(xué)生感到茫然，教師引導(dǎo)學(xué)生從“小的數(shù)”開始研究，就是滲透了“化繁為簡”的數(shù)學(xué)思想。這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要策略?！?/p>

活動3：從4個小球中找次品

師：有4個小球，最少要稱幾次？ （學(xué)生上臺演示，教師畫圖表示學(xué)生稱的過程）

稱法1：把4個小球平均分成2份，先是2個2個地稱1次，再將輕的這2個小球稱1次，總共稱了2次。

板書：

稱法2：隨意稱2個小球，如果平衡了，就稱剩下的2個小球。保證能找到需要稱2次。

板書：

師：要保證找到，就要從最不利的情況考慮。4個小球至少稱2次，才能保證找到次品。

活動4：從8個、9個小球中找次品

師：如果有8個、9個小球，最少稱幾次才能找到次品？用棋子代表小球在紙上擺一擺，擺好后將你們想到的稱法清楚、簡潔地記錄下來。

（學(xué)生合作探究，用統(tǒng)一的符號記錄）

（1） 出示學(xué)生的記錄表：

稱法1：把小球先分成2份，4個4個地稱，叫作二分法。

稱法2：把小球分成3份，先把3個與3個進行比較，叫作三分法。最不利的情況是次品在3個中，還要再稱1次，一共稱2次。

稱法3：把小球分成4份，2個2個地稱，叫作四分法。最不利的情況是第1次稱，天平是平衡的，那么次品在外面的4個小球中，還要稱2次，一共要稱3次。

（學(xué)生比較后發(fā)現(xiàn)：稱法2只需要稱2次就能找到次品）

師：如果第一次稱時天平不平衡，第二次就從較輕的3個里面找，稱的方法與前面稱3個的一樣，只要再稱1次，總共稱2次；如果天平平衡，第二次就從2個里面找，稱的方法與前面稱2個的方法一樣，也只要再稱1次，總共也是稱2次。

師：為什么三分法只需要稱2次，其他2種稱法都比三分法稱的次數(shù)多呢？

生4：采用三分法，稱1次后，次品只要從3個或者2個里面找；采用二分法，次品要從4個里面找……

師：采用二分法，稱1次之后，要從輕的4個里面找；采用三分法，稱1次后，從最不利的情況考慮，只需要從3個里面找……你發(fā)現(xiàn)了什么？

生5：剩下的球越少，稱的次數(shù)就越少。

生6：分成3份比較好。

師：我們接著看有9個小球的情況下如何找1個次品吧。

（2）出示學(xué)生的記錄表：

師：研究9個很有意思。同樣分成3組，為什么第四種方法稱的次數(shù)最少呢？

生7：要從最不利的情況考慮，（4，4，1）就要從4個里面找，（1，1，7）要從7個里面找，（2，2，5）要從5個里面找。

師（用紅筆圈出4、7、5）：比較一下，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生8：剩下的小球個數(shù)要盡可能少。

生9：采用第4種方法，稱1次之后只要從3個里面找，而其他方法稱1次之后剩下的都不止3個。

師：你有什么好的建議？

生9：3個數(shù)相差得越小，稱的次數(shù)就可能越少。

師：就是要盡可能平均分。（板書：平均分3份）

活動5：驗證最優(yōu)策略

師：這樣的猜想是否正確呢？我們來驗證一下。有26個小球的情況下怎么稱才能找到1個次品？請在練習(xí)本上畫一畫。

師：26個小球不能平均分成3份，怎么辦呢？

生10：盡量平均分，分成（9，9，8）。

師：從最不利的情況考慮，稱1次后要從幾個里去找呀？

生11： 9個和9個小球如果相等的話，那么只剩下8個小球，我們已經(jīng)求出8個小球只要稱2次，那稱（1+2）次就可以了。9個和9個小球如果不相等，就從輕的9個小球里找，也只稱（1+2）次就夠了。

師：這位同學(xué)說得很好！我們用圖形來驗證。

（用多媒體演示“從1個1個地稱到9個9個地稱”，尋找最佳策略）

三、解決問題

師：回頭想想看，微軟公司出的題目你會做了嗎？有81個小球，需要稱幾次才能找到次品？

生：只要4次就夠了。

師：沒想到吧？剛才大家說最少需要10次、6次，實際上只需要4次就夠了。

四、發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：現(xiàn)在請同學(xué)們?nèi)我膺x自己喜歡的兩個數(shù)挑戰(zhàn)一下，想一想，算一算，看看各要稱幾次才能找出次品。

師（把在2～81個小球中找1個次品的表內(nèi)數(shù)據(jù)依次補充完整，表略）：仔細觀察表格，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生： 有2個或3個小球的時候只需要稱1次，有4～9個小球的時候要稱2次，有10～81個小球的時候要稱3次。

師：2～3是1次，4～9是2次，10～81是3次，那么82到某個數(shù)是4次嗎？有興趣的同學(xué)下課后可以繼續(xù)研究。

五、小結(jié)（略）

【分析與感悟】

數(shù)學(xué)課程標準強調(diào)，在課堂教學(xué)中要落實“四基”，而“找次品”這類課型的教學(xué)重點就是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想。楊老師在本課中十分重視數(shù)學(xué)思想的滲透與運用，注重讓學(xué)生在知識學(xué)習(xí)和活動操作中領(lǐng)悟相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，并用學(xué)到的數(shù)學(xué)思想解決更多的數(shù)學(xué)問題。

一、化繁為簡思想

課始，楊老師設(shè)計了一個“找次品”的問題，讓學(xué)生猜想答案，然后適時介入，提醒學(xué)生要解決這個難題，可以先從較小的數(shù)開始研究；接著分別帶領(lǐng)學(xué)生研究2個、3個、4個小球的情況，逐步尋找“找次品”的規(guī)律和方法；在學(xué)生發(fā)現(xiàn)“平均分成3份來稱，所需的次數(shù)最少，而且保證能找到”后，要求學(xué)生用三分法來解決從26個、81個小球中找次品的問題。在探究過程中，學(xué)生感受到了化繁為簡思想的魅力。

二、化歸思想

在驗證平均分成3份是最優(yōu)策略時，學(xué)生自主探索從26個小球中找次品，楊老師提示“并非都要稱，可以利用從8個、9個小球中找次品的結(jié)論。比如，先把27平均分成3份（9，9，9），接下去的9個球就不用再稱了，可以直接通過計算得到“（1+2）次”。把新問題轉(zhuǎn)化到已有的知識經(jīng)驗中，學(xué)生從中就體會到了化歸思想。

三、猜想與驗證

弗賴登塔爾曾說：“真正的數(shù)學(xué)家常常憑借數(shù)學(xué)的直覺思維做出各種猜想，然后加以證實?！痹诒菊n教學(xué)活動中，楊老師讓學(xué)生經(jīng)歷了“猜想→驗證→運用”的過程：首先對比從8個小球中找次品的幾種方法，從中發(fā)現(xiàn)三分法所需的次數(shù)最少，再通過從9個球中找次品，感悟到要“平均分”，由此引發(fā)學(xué)生猜想“無論在多少個物品中找1個次品，三分法所用的次數(shù)都是最少的”。為了驗證這一猜想，又讓學(xué)生自主選擇一個數(shù)去驗證，然后歸納得出結(jié)論。學(xué)生在“猜想→驗證”的數(shù)學(xué)活動過程中，不僅積累了活動經(jīng)驗，獲得了數(shù)學(xué)結(jié)論，更重要的是逐步掌握了數(shù)學(xué)思想，提高了主動探索、獲取知識的能力，增強了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

四、優(yōu)化思想

楊老師首先給學(xué)生充分的自主探究空間，讓學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，獲得自己獨特的體驗和發(fā)現(xiàn)，掌握多種解決問題的方法和策略；接著，通過有效的交流，讓學(xué)生明確稱1次后“要從哪里找”是關(guān)鍵，要使稱的次數(shù)少，就要“剩下”的少，由此認識到“盡可能平均分”的優(yōu)越性，從而感受到優(yōu)化的數(shù)學(xué)思想。

綜上，教師只有挖掘出隱含在教材中的數(shù)學(xué)思想和方法，設(shè)計適時的數(shù)學(xué)活動，才能將數(shù)學(xué)思想有機地融合在數(shù)學(xué)知識中，使教材呈現(xiàn)的知識技能這條明線與教材隱含的思想方法這條暗線同時延展，進而幫助學(xué)生積累活動經(jīng)驗，感悟思想方法。唯此，才能真正落實數(shù)學(xué)課程標準要求的“四基”。

［ 參 考 文 獻 ］

劉加霞.小學(xué)數(shù)學(xué)有效學(xué)習(xí)評價 [M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2015.

（責(zé)編 金 鈴）