馮 浚

(甘肅省蘭州市稅務(wù)局 730070)

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，對數(shù)的基礎(chǔ)研究始終都沒有停止.對于質(zhì)數(shù)，目前尚無較為簡明的類似偶數(shù),奇數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式.鑒于此，可以從數(shù)最初的狀態(tài)入手，發(fā)現(xiàn)新的特性.

1 質(zhì)數(shù)、積數(shù)

1.1 定義

1.1.1 質(zhì)數(shù)的定義：正整數(shù)中，只能被1和自己整除的數(shù)為質(zhì)數(shù).

為了便于研究，用q表示質(zhì)數(shù).

故，在正整數(shù)中，按由小到大順序排列的質(zhì)數(shù)是：1,2,3,5,7,11,…，對應(yīng)表示為：q1,q2,q3,q4,q5,q6,….

1.1.2 積數(shù)的定義：正整數(shù)中，質(zhì)數(shù)以外的數(shù)為積數(shù).同理，用p表示積數(shù).則p=m1×m2.

(1)

p稱為積數(shù)，m1,m2稱為因數(shù)(m1>1,m2>1)；m1,m2若為質(zhì)數(shù)，則稱為質(zhì)因數(shù)；上式中最小的因數(shù)一定是質(zhì)數(shù)，可稱其為最小質(zhì)因數(shù).如16=4×4=2×8.

則其因數(shù)為4,或2,8；最小因數(shù)為2，也為16的最小質(zhì)因數(shù).

1.2 表達(dá)式

1.2.1 積數(shù)的表達(dá)

根據(jù)質(zhì)數(shù),積數(shù)的特性，經(jīng)邏輯推導(dǎo)，對最小質(zhì)因數(shù)為qn的所有積數(shù)及qn，可用下列式子表示：

(2-1)

式(2-1)中，n=0，±1，±2，±3，…， 1≤n2≤(q2-1)，1≤n3≤(q3-1)，…，1≤nn-1≤(qn-1-1).

由于q2=2，q3=3，q4=5，q5=7，q6=11，…，qn,則n2=1，n3=1，2，n4=1，2，3，4，n5=1，2，3，4，5，6，n6=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…nn-1=1，2，3，…，qn-1-1.

1.2.2 質(zhì)數(shù)的表達(dá)

與(2-1)式同理，對1和所有大于qn的質(zhì)數(shù)，以及最小質(zhì)因數(shù)大于qn的所有積數(shù)，可用下式表示：

(2-2)

式(2-2)中，n=0,±1,±2,±3,… ，1≤n2≤(q2-1),1≤n3≤(q3-1),…,1≤nn≤(qn-1).

由于：q2=2,q3=3,q4=5,q5=7,q6=11,…,qn,則n2=1，n3=1,2，n4=1,2,3,4，n5=1,2,3,4,5,6，n6=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，…nn=1,2,3,…,qn-1.

1.3 負(fù)積數(shù),負(fù)質(zhì)數(shù)

根據(jù)正,負(fù)數(shù)的特點(diǎn)，為了便于研究,計(jì)算等，引入負(fù)積數(shù),負(fù)質(zhì)數(shù)概念.

A,則式(2-1)積數(shù)的表達(dá)為

(2-3)

式(2-3)中，n=0,±1,±2,±3,…，1≤n2≤(q2-1),1≤n3≤(q3-1),…，1≤nn-1≤(qn-1-1).

由于q2=2,q3=3,q4=5,q5=7,q6=11,…,qn,則n2=1，n3=1,2，n4=1,2,3,4，n5=1,2,3,4,5,6，n6=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，…nn-1=1,2,3,…,qn-1-1.

舉例如下：

(1)當(dāng)最小質(zhì)因數(shù)為2時(shí)，即qn=q2=2 ，n1=q1-1=1-1=0 ；則：P2=q2!n

n=0,±1,±2,±3,…，

n=0,±1,±2,±3,…，n2=1.

n=0,±1,±2,±3,…，n2=1，n3=1,2.

n=0,±1,±2,±3,…，n2=1，n3=1,2，n4=1,2,3,4.

n=0,±1,±2,±3,…，n2=1，n3=1,2，n4=1,2,3,4，n5=1,2,3,4,5,6，B,則式(2-2)質(zhì)數(shù)的表達(dá)為

(2-4)

式(2-4)中，n=0,±1,±2,±3,…

1≤n2≤(q2-1),1≤n3≤(q3-1),…,1≤nn≤(qn-1).

由于：q2=2,q3=3,q4=5,q5=7,q6=11,…,qn

則：n2=1，n3=1,2，n4=1,2,3,4，n5=1,2,3,4,5,6，n6=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，…nn=1,2,3,…,qn-1.

舉例如下：

n=0,±1,±2,±3,…，n2=1.

n=0,±1,±2,±3,…，n2=1，n3=1,2.

n=0,±1,±2,±3,…，n2=1，n3=1,2，n4=1,2,3,4.

n=0,±1,±2,±3,…，n2=1，n3=1,2，n4=1,2,3,4，

n5=1,2,3,4,5,6.

n=0,±1,±2,±3,…，n2=1，n3=1,2，n4=1,2,3,4，n5=1,2,3,4,5,6，n6=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

1.4 首數(shù)集

1.4.1 積數(shù)首數(shù)集

分析式(2-3)可得，PN是由若干個(gè)等差數(shù)列組成.而最小質(zhì)因數(shù)的不同，則等差數(shù)列的數(shù)量也不相同.

在式(2-3)中，所有大于0并且小于qn!(即：0∠PN∠qn!)的數(shù)稱之為首數(shù)，并且所有的首數(shù)組成首數(shù)集，用Bn表示.

則式(2-3)可用下式表示：

PN=qn!n+Bn

(3-1)

式(3-1)中，n=0,±1,±2,±3,….

由此可以得出結(jié)論一：qn及最小質(zhì)因數(shù)為qn的所有積數(shù)，可組成若干個(gè)公差為qn!的等差級數(shù).即其可用若干個(gè)公差為qn!的等差級數(shù)表示.

其中，最小數(shù)為qn，次之為(qn)2.

舉例如下：

(1)最小質(zhì)因數(shù)由2開始，當(dāng)最小質(zhì)因數(shù)為2時(shí)，qn=q2=2 ，qn!=q2!=1*2=2，n1=q1-1=1-1=0 ；則：B2=0；P2=q2!+B2=1*2n+0=2n.故q2時(shí)，q2!=2，B2=0，P2=2n.即偶數(shù)表達(dá)式P2=2n，可表述為：其為2及最小質(zhì)因數(shù)為2的所有積數(shù).

P3=q3!n+B3=1*2*3*n+3=6n+3故q3時(shí)，q3!=6，B3為：3，P3=6n+3

由于q4!為30，即公差為30；故調(diào)整后B4為：5,25,故q4時(shí)，q4!= 30，B4為：5, 25 (即B4=5,25)

P4=30n+5,30n+25

由于q5!為210，即公差為210；故調(diào)整后B4為：203,161,119,77,133,91,49,7，即7,49,77,91,119,133,161,203.故q5時(shí)，q5!= 210，B5為：7,49,77,91,119,133,161,203，P5=210n+7,210n+49,210n+77,210n+91,210n+119,210n+133,210n+161,210n+203，即P5=210n+{7,49,77,91,119,133,161,203}.

1.4.2 質(zhì)數(shù)首數(shù)集

同理，在式(2-4)中，所有大于0并且小于qn!(即：0∠QN∠qn!)的數(shù)稱之為首數(shù)，并且所有的首數(shù)組成首數(shù)集，用An表示.

則式(2-4)可用下式表示：

QN=qn!n+An

(3-2)

式(3-2)中，n=0,±1,±2,±3,….

由此可以得出結(jié)論二：1和所有大于qn的質(zhì)數(shù)，以及最小質(zhì)因數(shù)大于qn的所有積數(shù)，可組成若干個(gè)公差為qn!的等差級數(shù).即其可用若干個(gè)公差為qn!的等差級數(shù)表示.

其中，最小數(shù)為1，次之為qn+1；最小積數(shù)p為(qn+1)2.

舉例如下：

(1)當(dāng)q2時(shí)，即qn=q2=2時(shí)，

對1和所有大于2的質(zhì)數(shù)，以及最小質(zhì)因數(shù)大于2的所有積數(shù)如下：

qn=q2=2，qn!=q2!=1*2=2，n2=q2-1=2-1=1；

Q2=q2!n+A2=1*2n+1=2n+1

故q2時(shí)，q2!=2，A2=1，Q2=2n+1.

即奇數(shù)表達(dá)式Q2=2n+1，可表述為：其為1和大于2的所有質(zhì)數(shù)，以及最小質(zhì)因數(shù)大于2的所有積數(shù)的總和.

(2)q3時(shí)，即qn=q3=3時(shí)，

對1和所有大于3的質(zhì)數(shù)，以及最小質(zhì)因數(shù)大于3的所有積數(shù)如下：

qn=q3=3，qn!=q3!=1*2*3=6，n2=1，n3=1,2；

由于q3!為6，即公差為6；故調(diào)整后A3為：1, 5；故：q3時(shí)，q3!=1*2*3=6，A3為：1, 5(即A3=1, 5)Q3=6n+1,6n+5

(3)q4時(shí)，即qn=q4=5時(shí)，對1和所有大于5的質(zhì)數(shù)，以及最小質(zhì)因數(shù)大于5的所有積數(shù)如下：

及：15+10*2+6*3

=53(n3=2,n4=3時(shí))

=47(n3=2,n4=3時(shí))

=41(n3=2,n4=1時(shí))

=49(n3=1,n4=4時(shí))

=43(n3=1,n4=3時(shí))

=37(n3=1,n4=2時(shí))

=31(n3=1,n4=1時(shí))

由于q4!為30，即公差為30；

故調(diào)整后A4為：1,7,11,13,17,19,23,29

故：q4時(shí)，q4！=1*2*3*5=30，

A4為：1,7,11,13,17,19,23,29

Q4=30n+1,30n+7,30n+11,30n+13,30n+17,30n+19,30n+23,30n+29

即Q4=30n+{1,7,11,13,17,19,23,29}

(4)q5時(shí)，即qn=q5=7時(shí)，

對1和所有大于7的質(zhì)數(shù)，以及最小質(zhì)因數(shù)大于7的所有積數(shù)如下：

qn=q5=7，qn!=q5！=1*2*3*5*7=210，

n2=1，n3=1,2，n4=1,2,3,4，n5=1,2,3,4,5,6；

=105n2+70n3+42n4+30n5=105*1+70*2+42*4+30*6=105+140+168+180

=593(n3=2,n4=4,n5=6時(shí))

及.….…(分別帶入具體數(shù)值，此處略)

由于q5!為210，即公差為210；

故調(diào)整后A5為1,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,121,127,131,137,139,143,149,151,157,163,167,169,173,179,181,187,191,193,197,199,209.

故q5時(shí)，q5！=1*2*3*5*7=210，

A5為：1,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,121,127,131,137,139,143,149,151,157,163,167,169,173,179,181,187,191,193,197,199,209.

Q5=q5！n+A5=210n+{1,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,121,127,131,137,139,143,149,151,157,163,167,169,173,179,181,187,191,193,197,199,209.}

1.4.3 質(zhì)數(shù)首數(shù)集與積數(shù)首數(shù)集之間的邏輯關(guān)系

在QN中，對于An，其開始連續(xù)qn+1級的等差數(shù)列，為An+1和Bn+1.

舉例如下：

q3時(shí)，即qn=q3=3，qn+1=q4=5，q3!=6；B3為：3；P3=6n+3；A3為：1,5；

Q3=6n+1,6n+5

A3開始連續(xù)q4級(即5級)的等差數(shù)列具體為：

1,7,11,13,19,25

5,11,17,23,25,29，

則A4為：1,7,11,13,17,19,23,29；

B4為：5,25.

2 質(zhì)數(shù)、積數(shù)的有關(guān)特性和規(guī)律

之前，對于質(zhì)數(shù)做了基本的分類.即：在正整數(shù)中，按由小到大順序排列的質(zhì)數(shù)是：1,2,3,5,7,11,…，對應(yīng)表示為：q1,q2,q3,q4,q5,q6,…qn….

將具體相關(guān)數(shù)值帶入各表達(dá)式中，分析研究可初步得到一些規(guī)律和特性，即積數(shù)表達(dá)式與質(zhì)數(shù)表達(dá)式的邏輯關(guān)系等等.特別是首數(shù)集非常重要，其為質(zhì)數(shù),積數(shù)的重要基礎(chǔ)和內(nèi)容，其特性和規(guī)律在某種意義上也是質(zhì)數(shù),積數(shù)的特性和規(guī)律.

在此，可將質(zhì)數(shù)等做進(jìn)一步分類.

2.1 初步分類及基本特性

2.1.1 常質(zhì)數(shù)：數(shù)值1存在于任意An中，可將1稱為常質(zhì)數(shù).

2.1.2 基楚質(zhì)數(shù)：分析表達(dá)式(3-2)等，可將q1,q2,q3,q4,q5,q6,…qn稱為基楚質(zhì)數(shù).

并且，通過已知的基楚質(zhì)數(shù)，應(yīng)用式(3-2)等可以求出更大更多的基楚質(zhì)數(shù).

結(jié)論三：通過已得出的基楚質(zhì)數(shù)，可求出小于任意一個(gè)數(shù)的所有質(zhì)數(shù).即：可以求出任意大的所有質(zhì)數(shù).

2.1.3 對稱分布情況：

(1),Pn,Bn,Qn,An相對于0對稱分布.

2.2 質(zhì)數(shù),積數(shù)的有關(guān)特性和規(guī)律

2.2.1 以上表達(dá)式帶入具體數(shù)值后如下：

(1)q1時(shí)，即qn=q1=1時(shí)，為常質(zhì)數(shù).Pn及Qn相同，為：n.

(2)q2時(shí)，即qn=q2=2時(shí)，q2!=2，

B2為0，P2=2n；其為偶數(shù)表達(dá)式.

A2為1，Q2=2n+1；其為奇數(shù)表達(dá)式.

則此時(shí)，基楚質(zhì)數(shù)為2，

(3)q3時(shí)，即qn=q3=3時(shí)，q3!=6，B3為：3，

P3=6n+3

A3為1,5

Q3=6n+1,6n+5

具體為1,7,11,13,19,25,︱31,…6n+1

5,11,17,23,25,29,︱35,…6n+5

則此時(shí)，基楚質(zhì)數(shù)為2,3，

(4)q4時(shí)，即qn=q4=5時(shí)，q4!=30，B4為：5,25

P4=30n+5,30n+25

具體為5,35,65,95,125,…30n+5

25,55,85,115,145,…30n+25

A4為：1,7,11,13,17,19,23,29

Q4=30n+{1,7,11,13,17,19,23,29}

具體為：

則此時(shí)，基楚質(zhì)數(shù)為2,3,5，(qn+1)2=(q5)2=49

故：7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47均為質(zhì)數(shù)(結(jié)論二).

(5)q5時(shí)，即qn=q5=7時(shí)，q5!=210，

B5為：7,49,77,91,119,133,161,203，

P5=210n+{7,49,77,91,119,133,161,203}

具體為：

A5為：1,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,121,127,131,137,139,143,149,151,157,163,167,169,173,179,181,187,191,193,197,199,209.

Q5=q5！n+A5=210n+{1,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,121,127,131,137,139,143,149,151,157,163,167,169,173,179,181,187,191,193,197,199,209.}

具體為：

則此時(shí)，基楚質(zhì)數(shù)為2,3,5,7，(qn+1)2=(q6)2=121

故：11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113均為質(zhì)數(shù)(結(jié)論二).

2.2.2 有關(guān)特性和規(guī)律

(1)在QN中，設(shè)任意一個(gè)數(shù)Qm；則Qm=qn!nm+Am,若Qm為因數(shù)是qm的積數(shù)，則Qm一定能被qm整除；并且，在QN中，存在Qm+n，nm+n=(nm+nn).即Qm+n=qn!nm+n+Am=qn!(nm+nn)+Am=qn!nm+Am+qn!nn

當(dāng)nn是qm的倍數(shù)時(shí)，Qm+n也一定是因數(shù)為qm的積數(shù).

結(jié)論四：在QN中，對于任意一個(gè)因數(shù)為qm的積數(shù)Qm，在其所在的等差數(shù)列中，相對于Qm其等差數(shù)是其qm的整數(shù)倍時(shí)，其一定是因數(shù)為qm的積數(shù)，并且只有其是因數(shù)為qm的積數(shù).當(dāng)qm為qn+1時(shí)，其一定是最小質(zhì)因數(shù)為qn+1的積數(shù).

由于在QN中，所有積數(shù)的最小質(zhì)因數(shù)是qn+1，故：在QN中，任一公差為qn！的等差數(shù)列，在連續(xù)qn+1項(xiàng)中只有一個(gè)最小質(zhì)因數(shù)為qn+1的積數(shù).

(2),對于QN，可進(jìn)一步分為QN+1和PN+1.

即：對1和所有大于qn的質(zhì)數(shù)，以及最小質(zhì)因數(shù)大于qn的所有積數(shù)，可進(jìn)一步分為：1和所有大于qn+1的質(zhì)數(shù)，以及最小質(zhì)因數(shù)大于qn+1的所有積數(shù)，即：QN+1；和最小質(zhì)因數(shù)為qn+1的所有積數(shù)(含qn+1)，及PN+1.即：QN=QN+1+PN+1

(3),在QN中，最小質(zhì)因數(shù)為qn+1的所有積數(shù)在QN中占比最大，占QN全體的qn+1分之一；所占比例遞減的積數(shù)分別是最小質(zhì)因數(shù)為qn+2,qn+3,qn+4,…的積數(shù).

并且，在QN中，

…

結(jié)論五：qn越大，其積數(shù)在QN中所占比例越小.

3 關(guān)于“哥德巴赫猜想”

哥德巴赫1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想:任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和.但是一直無法證明.

現(xiàn)就質(zhì)數(shù),積數(shù)和偶數(shù)等進(jìn)一步分析研究如下.

3.1 偶數(shù)與兩個(gè)質(zhì)數(shù)之差

由以上可得：

3.1.1 在QN中，對于任意兩個(gè)數(shù)Ax,Ay；此兩數(shù)之差為Xn，在其所在的等差數(shù)列中，此兩數(shù)同時(shí)加,減相同數(shù)量的公差，其相對應(yīng)的兩數(shù)之差均滿足此條件，即兩數(shù)之差同樣為Xn；所以在QN中有無數(shù)組數(shù)滿足此條件.

即Xn=Ax-Ay=qn!nAx-qn!nAy

舉例如下：

(1),q3時(shí)，即qn=q3=3時(shí)，q3!=6，基楚質(zhì)數(shù)為2,3；

B3為：3，P3=6n+3

A3為：1,5

Q3=6n+1,6n+5

具體為：1,7,11,13,19,25,︱31,…6n+1

5,11,17,23,25,29,︱35,…6n+5

設(shè)：Ax=23，Ay=7；

則：X3=23-7=16

X3=16=qn!nAx-qn!nAy=n6*23-n6*7

即：Q3中，17-1,及23-13,35-19,41-25…均為16.

(2)q4時(shí)，即qn=q4=5時(shí)，q4!=30，基楚質(zhì)數(shù)為2,3,5，

B4為：5,25

P4=30n+5,30n+25

A4為：1,7,11,13,17,19,23,29

Q4=30n+{1,7,11,13,17,19,23,29}

具體為：

設(shè)Ax=23，Ay=11；

則X4=23-11=12

X4=12=qn!nAx-qn!nAy=n30*23-n30*11

即Q4中，23-11,53-41,83-71,113-101…均為12.

3.1.2 在QN中，對于任意兩個(gè)數(shù)Ax,Ay；此兩數(shù)之差為Xn，在其同時(shí)連續(xù)qn+1級的等差數(shù)列中，其相對應(yīng)的在QN+1中，有(qn+1-2)組滿足此條件，另外2組分別是：Ax為最小質(zhì)因數(shù)是qn+1的積數(shù)和Ay為最小質(zhì)因數(shù)是qn+1的積數(shù)的一組.

舉例如下：

q3時(shí)，即qn=q3=3時(shí)，q3!=6，基楚質(zhì)數(shù)為2,3；qn+1=q4=5；B3為：3，P3=6n+3

A3為：1,5

Q3=6n+1,6n+5

設(shè)：Ax=23，Ay=7；

則：X3=23-7=16

X3=16=qn!nAx-qn!nAy=n6*23-n6*7

即：Q3中，其同時(shí)連續(xù)5級的等差數(shù)列為：(23,7),(29,13),(35,19),(41,25),(47,31).

其相對應(yīng)的在Q4中，有3組滿足此條件，分別是(23,7),(29,13),(47,31).另外兩組不在Q4中的是Ax為最小質(zhì)因數(shù)是5的積數(shù)，即積數(shù)為35的一組(35,19)和Ay最小質(zhì)因數(shù)是5的積數(shù)，即積數(shù)為25的一組(41,25).

3.1.3 在QN中，對于任意兩個(gè)數(shù)Ax,Ay；此兩數(shù)之差為Xn.

(1),當(dāng)QN大于等于Q2時(shí)，由于其中所有的數(shù)均為奇數(shù)，故Xn一定是偶數(shù).

(2),當(dāng)：q3時(shí)，即qn=q3=3時(shí)，q3!=6，基楚質(zhì)數(shù)為2,3；B3為：3，P3=6n+3

A3為：1,5

Q3=6n+1,6n+5

具體為：1,7,11,13,19,25,︱31,…6n+1

5,11,17,23,25,29,︱35,…6n+5

在Q3中，對于任意兩個(gè)數(shù)Ax,Ay；此兩數(shù)之差為偶數(shù)X3，在其同時(shí)連續(xù)q4級(即5級)的等差數(shù)列中，對于Ax-Ay(即X3大于0小于等于6，即0

滿足X3為2的有5組.

即X3=Ax-Ay=2時(shí)，有5組，

如(5,7),(11,13),(17,19),(23,25),(29,31)；

滿足X3為4的有5組.

即X3=Ax-Ay=4時(shí)，有5組，

如(1,5),(7,11),(13,17),(19,23),(25,29)；

滿足X3為6的有10組.

即X3=Ax-Ay=6時(shí)，有10組，

如(1,7),(7,13),(13,19),(19,25),(25,31),(5,11),(11,17),(17,23),(23,29),(29,35)；

對于Ax-Ay(即X3)大于6，即6

由于任意一個(gè)大于6的偶數(shù)，均可用：6n+2,6n+4,6n，這三種情況之一表示；

故在Q3中，對于兩個(gè)數(shù)Ax,Ay；此兩數(shù)之差可為任意一個(gè)偶數(shù)X3，同理，在其同時(shí)連續(xù)q4級(即5級)的等差數(shù)列中，至少有5組滿足此條件.當(dāng)X3為6n+2或6n+4時(shí)，有5組；當(dāng)X3為6n時(shí)，有10組.

例如：滿足X3為8的有5組.

即X3=Ax-Ay=8=6+2時(shí)，有5組，

為(5,13),(11,19),(17,25),(23,31),(29,37)；

滿足X3為10的有5組.

即X3=Ax-Ay=10=6+4時(shí)，有5組，

為(1,11),(7,17),(13,23),(19,29),(25,35)；

滿足X3為12的有10組.

即X3=Ax-Ay=12=6+6=2*6時(shí)，有10組，

為(1,13),(7,19),(13,25),(19,31),(25,37),(5,17),(11,23),(17,29),(23,35),(29,41)；

(3),q4時(shí)，即qn=q4=5時(shí)，q4!=30，基楚質(zhì)數(shù)為2,3,5，

B4為：5,25；P4=30n+5,30n+25

A4為：1,7,11,13,17,19,23,29

Q4=30n+{1,7,11,13,17,19,23,29}

由于在Q3中，對于任意兩個(gè)數(shù)Ax,Ay；此兩數(shù)之差X3可以是任意一個(gè)偶數(shù).同時(shí)，由于在Q3中，在其同時(shí)連續(xù)q4級(即5級)的等差數(shù)列中，其相對應(yīng)的在Q4中，至少有3組滿足此條件.

故在Q4中，對于兩個(gè)數(shù)Ax,Ay；此兩數(shù)之差同樣可以是任意一個(gè)偶數(shù).同時(shí)，在其同時(shí)連續(xù)q5級(即7級)的等差數(shù)列中，至少有7組滿足此條件.其相對應(yīng)的在Q5中，至少有5組滿足此條件.

以此類推，可以得出結(jié)論六：在QN中，對于兩個(gè)數(shù)Ax,Ay；此兩數(shù)之差Xn可以是任意一個(gè)偶數(shù).即：對于任意一個(gè)偶數(shù)，可以由無數(shù)組QN中的兩數(shù)之差表示.

3.1.4 對于任意一個(gè)偶數(shù)，在QN中，有無數(shù)組兩個(gè)數(shù)之差滿足此條件(結(jié)論六).而QN越大，

在QN中，質(zhì)數(shù)占比越小(結(jié)論五).則在QN中無數(shù)組兩個(gè)數(shù)之差滿足此條件的，并且同為質(zhì)數(shù)的比例越大.

所以可以得出結(jié)論七：對于任意一個(gè)偶數(shù)，可以由無數(shù)組兩個(gè)質(zhì)數(shù)相減表示.

3.2 偶數(shù)與兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和

3.2.1 在QN及An中，質(zhì)數(shù)和積數(shù)的有關(guān)情況一

(1)對于Qx，Ax的前qx+1項(xiàng)的總和為Ax+1+Bx+1.

例如，對于Q5，A5的前q6項(xiàng)的總和為A6+B6.

(2)對于Qx中，所有積數(shù)的最小質(zhì)因數(shù)為qx+1.

…

舉例如下：

對于Q5中，所有積數(shù)的最小質(zhì)因數(shù)為q6.

…

(3)在Qx中，由于在以上積數(shù)占比的計(jì)算中都包含最小質(zhì)因數(shù)，并且各積數(shù)均大于或等于其最小質(zhì)因數(shù)的平方.所以，在Qx中，Ax的前qx+1項(xiàng)的總和中，同一最小質(zhì)因數(shù)的積數(shù)在其中的實(shí)際占比小于或等于其算數(shù)平均占比.

對于Qx，在Ax的前qx+1項(xiàng)的總和中，

…

3.2.2 在QN及An中，質(zhì)數(shù)和積數(shù)的有關(guān)情況二

(1)對于式(3-2)，即QN=qn!n+An；具體為：Q3=q3!n+A3，即Q3=6n+A3

Q4=q4!n+A4，即Q4=30n+A4

Q5=q5!n+A5，即Q5=210n+A5

Q6=q6!n+A6，即Q6=2310n+A6

Q7=q7!n+A7，即Q7=30030n+A7

Q8=q8!n+A8，即Q8=510510n+A8

對于式(3-1)，即PN=qn!n+Bn；具體為：P3=q3!n+B3，即P3=6n+B3

P4=q4!n+B4，即P5=30n+B4

P5=q5!n+B5，即P5=210n+B5

P6=q6!n+B6，即P6=2310n+B6

P7=q7!n+B7，即P7=30030n+B7

P8=q8!n+B8，即P8=510510n+B8

…

(2)按照以上算式進(jìn)行計(jì)算得出如下：

對于Q3，Q3=q3!n+A3，即Q3=6n+A3；在A3的前q4項(xiàng)的總和中，積數(shù)只有最小質(zhì)因數(shù)為q4的積數(shù).其占比用Z3表示為：0.2.

對于Q4，Q4=q4!n+A4，即Q4=30n+A4；在A4的前q5項(xiàng)的總和中，積數(shù)為最小質(zhì)因數(shù)為q5到q7的積數(shù).積數(shù)算數(shù)平均占比(總和)用Z4表示約為：0.23836.

對于Q5，Q4=q5!n+A5，即Q5=210n+A5；在A5的前q6項(xiàng)的總和中，積數(shù)為最小質(zhì)因數(shù)為q6到q16的積數(shù).積數(shù)算數(shù)平均占比(總和)用Z5表示約為：0.27186.

對于Q6，Q6=q6!n+A6，即Q6=2310n+A6；在A6的前q7項(xiàng)的總和中，積數(shù)為最小質(zhì)因數(shù)為q7到q41的積數(shù).積數(shù)算數(shù)平均占比(總和)用Z6表示約為：0.25060.

對于Q7，Q7=q7!n+A7，即Q7=30030n+A7；在A7的前q8項(xiàng)的總和中，積數(shù)為最小質(zhì)因數(shù)為q8到q128的積數(shù).積數(shù)算數(shù)平均占比(總和)用Z7表示約為：0.24440.

對于Qn，在An的前qn+1項(xiàng)的總和中，積數(shù)算數(shù)平均占比(總和)用Zn表示；若以Y軸為Zn，X軸為Qn，則其關(guān)系如下：

由此具體分析如下：

對于Q3和Q4，其屬于開始階段，在Ax的前qx+1項(xiàng)的總和中，由于部分因素未出現(xiàn)，其不能完全吻合總體特性和規(guī)律.但自Q5后，各種因素的出現(xiàn)，故其可顯示總體特性和規(guī)律.即：對于Qx，在Ax的前qx+1項(xiàng)的總和中，所有積數(shù)算數(shù)平均占比(總和)在出現(xiàn)峰值0.27186后，其趨勢為逐漸緩慢下降.

并且，由此可得推斷一：對于Qx，在Ax的前qx+1項(xiàng)的總和中，所有積數(shù)算數(shù)平均占比(總和)均處于較低的占比，且遠(yuǎn)低于50%.

3.2.3 證明

由結(jié)論七可得：任意一偶數(shù)Xn，則在QN中，存在Ax,Ay，滿足：Xn=Ax-Ay(0

當(dāng)qn！

對于Xn,Ax,Ay，也滿足：Xn=(Ax-mqn-1！)-(Ay-mqn-1！)；(m=1,2,3,…)

當(dāng)m1qn-1！開始大于Ay起，(Ay-m1qn-1！)<0，此時(shí)，Xn實(shí)際為兩數(shù)相加.并且自此起到(m2+1)qn-1！開始大于Ax起的前1級，即0<(Ax-m2qn-1！),{Ax-(m2+1)qn-1！}<0時(shí)，至少有qn組滿足此(由于qn！

例如：Xn=104，則q4！

m1=4,m2=21，

即Xn=(127-4*6)-(23-4*6)=103+1

Xn=(127-5*6)-(23-5*6)=97+7

Xn=(127-6*6)-(23-6*6)=91+13

…

Xn=(127-20*6)-(23-20*6)=7+97

Xn=(127-21*6)-(23-21*6)=1+103 共18組.

(1)當(dāng)Xn≤q4！，即Xn≤30時(shí)，

可代入具體數(shù)值計(jì)算證明：Xn均可由一組以上兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加表示.

即：Xn=qx+qy

(2)當(dāng)q4！

存在Xn=(Ax-mq3！)-(Ay-mq3！)=(Ax-m*6)-(Ay-m*6)(m=1,2,3,…)

即Xn=(Ax-m1*6)-(Ay-m1*6)=(Ax-m1*6)+(m1*6-Ay)

Xn={Ax-(m1+1)6}+{(m1+1)6-Ay}

Xn={Ax-(m1+2)6}+{(m1+2)6-Ay}

…

Xn=(Ax-m2*6)+(m2*6-Ay)

滿足等式，并且等式右邊兩數(shù)均大于0的至少有q4組，即至少有5組.

而在這些組中，包含q4分之一的為最小質(zhì)因數(shù)是q4的積數(shù)；故在這些組中，即：在此至少5組中，包含5分之一的為最小質(zhì)因數(shù)是5的積數(shù)；所以在這些組中，至少有3組為：“在A4的前7項(xiàng)的總和”中的數(shù).由于其積數(shù)算數(shù)平均占比(總和)小于50%(Z4約為：0.23836)；所以其中至少有一組兩數(shù)均為質(zhì)數(shù).并且具體計(jì)算也可證明.

例如，例如Xn=32，則q4！

也滿足：Xn=(Ax-mq3)-(Ay-mq3)=(43-m*6)-(11-m*6)

m1=2,m2=7，

即Xn=(43-2*6)-(11-2*6)=31+1

Xn=(43-3*6)-(11-3*6)=25+7

Xn=(43-4*6)-(11-4*6)=19+13

Xn=(43-5*6)-(11-5*6)=13+19

Xn=(43-6*6)-(11-6*6)=7+25

Xn=(43-7*6)-(11-7*6)=1+31 共6組.

最小質(zhì)因數(shù)是5的積數(shù)的組為：(25,7)和(7,25)；在A4的前7項(xiàng)的總和中的數(shù)有4組，為(31,1),(19,13),(13,19),(1,31)；并且均為質(zhì)數(shù).

(3)當(dāng)q5！

存在Xn=(Ax-mq4！)-(Ay-mq4！)=(Ax-m*30)-(Ay-m*30)(m=1,2,3,…)

即Xn=(Ax-m1*30)-(Ay-m1*30)=(Ax-m1*30)+(m1*30-Ay)

Xn={Ax-(m1+1)30}+{(m1+1)30-Ay}

Xn={Ax-(m1+2)30}+{(m1+2)30-Ay}…

Xn=(Ax-m2*30)+(m2*30-Ay)

滿足等式，并且等式右邊兩數(shù)均大于0的至少有q5組，即7組.

而在這些組中，包含q5分之一的為最小質(zhì)因數(shù)是q5的積數(shù)；故在這些組中，即：在而此至少7組中，包含7分之一的為最小質(zhì)因數(shù)是7的積數(shù)；所以在這些組中，至少有5組為：“在A5的前11項(xiàng)的總和”中的數(shù).由于其積數(shù)算數(shù)平均占比(總和)小于50%(Z5約為：0.27186)；所以其中至少有一組兩數(shù)均為質(zhì)數(shù).

例如，例如：Xn=210，則q5！

也滿足：Xn=(Ax-mq4)-(Ay-mq4)=(212-m*30)-(11-m*30)

m1=1,m2=7，

即Xn=(223-1*30)-(11-1*30)=193+19

Xn=(223-2*30)-(11-2*30)=163+49

Xn=(223-3*30)-(11-3*30)=133+79

Xn=(223-4*30)-(11-4*30)=103+109

Xn=(223-5*30)-(11-5*30)=73+139

Xn=(223-6*30)-(11-6*30)=43+169

Xn=(223-7*30)-(11-7*30)=13+199 共7組.

最小質(zhì)因數(shù)是7的積數(shù)的組為：(163,49)和(133,79)；在A5的前11項(xiàng)的總和中的數(shù)有5組，為(193,19),(103,109),(73,139),(43,169),(13,199)；并且兩數(shù)均為質(zhì)數(shù)的有4組，為(193,19),(103,109),(73,139),(13,199).

(4)當(dāng)qn！

存在Xn=(Ax-mqn-1！)-(Ay-mqn-1！) (m=1,2,3,…)

即Xn=(Ax-m1qn-1！)-(Ay-m1qn-1！)

Xn=(Ax-m1qn-1！)+(m1qn-1！-Ay)

Xn={Ax-(m1+1)qn-1！}+{(m1+1)qn-1！-Ay}

Xn={Ax-(m1+2)qn-1！}+{(m1+2)qn-1！-Ay}

…

Xn=(Ax-m2qn-1！)+(m2qn-1！-Ay)

注：m1,m2滿足：0<{Ay-(m1-1)qn-1！},(Ay-m1qn-1！)<0；

并且0<(Ax-m2qn-1！),{Ax-(m2+1)qn-1！}<0.

滿足等式右邊兩數(shù)均大于0的至少有qn組.

而在這些組中，包含qn分之一的為最小質(zhì)因數(shù)是qn的積數(shù)；故在這些組中，至少有其總組數(shù)減二組(最少是q4！

所以可以得出結(jié)論八：對于任意一個(gè)偶數(shù)，可以由一組以上兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加表示.

3.3 綜合以上可歸納如下

3.3.1 在正整數(shù)的范圍內(nèi)：

對于任意一個(gè)偶數(shù)，可以由無數(shù)組兩個(gè)質(zhì)數(shù)相減表示；并且也可以由一組以上兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加表示.

3.3.2 引入負(fù)質(zhì)數(shù)概念后，為：

對于任意一個(gè)大于零的偶數(shù)，可以由無數(shù)組兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加表示；其中兩個(gè)質(zhì)數(shù)均大于零情況至少有一組.