鄭 娟

(山東淄博實驗中學)

1 知識要點拓展

1.1 定積分

設函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干個分點

把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間,各小區(qū)間的長度為Δxi＝xi-xi-1(i＝1,2,…,n),作和得

記λ＝max{Δx1,Δx2,…,Δxn},如果當λ→0時,S趨于確定的極限I,我們稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記為

1.2 定積分存在定理

1)當函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)時,f(x)在區(qū)間[a,b]上可積;

2)設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,且只有有限個間斷點,則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.

1.3 定積分的幾何意義

1.4 微積分基本定理:牛頓—萊布尼茨公式

若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且存在原函數(shù),即F′(x)＝f(x),則f(x)在[a,b]上可積,且

上式稱為牛頓—萊布尼茨公式,它也常寫成

牛頓—萊布尼茨公式溝通了導數(shù)與積分之間的關系,故求定積分問題可轉化為找導函數(shù)的原函數(shù)問題.

1.5 二次曲線在某點處的切線方程

1)設P(x0,y0)是圓x2＋y2＝R2上一點,則過P(x0,y0)的該圓切線方程為x0x＋y0y＝R2;

4)設P(x0,y0)是拋物線y2＝2px上一點,則過P(x0,y0)的該拋物線切線方程為y0y＝p(x＋x0).

1.6 函數(shù)的單調性

若函數(shù)f(x)在(a,b)上可導,則f(x)在(a,b)上單調遞增(或單調遞減)的充要條件是?x∈(a,b),f′(x)≥0(或f′(x)≤0).

1.7 函數(shù)的極值

1)定義:已知函數(shù)y＝f(x)及其定義域內一點x0,對于存在一個包含x0的開區(qū)間內的任意點x,如果都有f(x)＜f(x0),則稱函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極大值,記作y極大值＝f(x0),并把x0稱為函數(shù)y＝f(x)的一個極大值點;如果都有f(x)＞f(x0),則稱函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極小值,記作y極小值＝f(x0),并把x0稱為函數(shù)y＝f(x)的一個極小值點,極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點.

注意 函數(shù)y＝f(x)的最大(或最小)值是函數(shù)在指定區(qū)間內的最大(或最小)值;極值與最值不同,極值只是相對一點附近的局部性質,而最值是相對整個定義域內(或所研究問題)的整體性質.

2)極值的必要條件:若函數(shù)f(x)在x0可導,且在x0處取得極值,則f′(x0)＝0.

1.8 兩個重要的極限

2 典例精講

例1 設a＞0,f(x)＝x3-2ax2＋a2,若f(x)在區(qū)間(0,a)上大于0,則a的取值范圍是( ).

A.(0,1] B.(0,1)

C.(1,＋∞) D.[1,＋∞)

例4 (武漢大學)已知f(x)是定義在區(qū)間(0,＋∞)上的可導函數(shù),滿足f(x)＞0,且f(x)＋f′(x)＜0.

(1)討論函數(shù)F(x)＝exf(x)的單調性;

為此,考慮函數(shù)