呂增鋒

(浙江省象山縣第二中學(xué)， 浙江 寧波 315731)

MPCK，即數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)(Mathematical Pedagogical Content Knowledge簡稱)，其意義在于回答了數(shù)學(xué)教師需要具備什么樣的知識(shí)，才能夠把數(shù)學(xué)知識(shí)的理論形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，從而達(dá)到幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的目的[1]。MPCK數(shù)學(xué)教師特有的、影響其專業(yè)成長的關(guān)鍵因素，是數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的新的生長點(diǎn)，其豐富程度可以作為教師教學(xué)是否走向成熟的重要標(biāo)志?！白陨淼慕虒W(xué)經(jīng)驗(yàn)反思”“教材”“和同事的交流”“在職培訓(xùn)”“課堂聽課與教研活動(dòng)”“教學(xué)參考資料”等是學(xué)術(shù)界公認(rèn)的中小學(xué)教師MPCK的幾個(gè)來源，但研究表明，除了“自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)反思”與“教材”對(duì)MPCK的發(fā)展具有顯著意義外，其他的幾個(gè)來源對(duì)發(fā)展MPCK的作用并不太大[2]。也就是說，對(duì)中小學(xué)教師來說，MPCK主要來源就是“自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)反思”與“教材”，因此，尋找MPCK新的來源具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

一、什么是大概念

大概念，并非學(xué)科課程的某一具體知識(shí)性概念或名詞，而是集中反映學(xué)科本質(zhì)，具有相對(duì)穩(wěn)定性、共識(shí)性、統(tǒng)領(lǐng)性等共性，能將離散或瑣碎的不同主題和知識(shí)實(shí)現(xiàn)“有意義”地“黏連”，從而幫助學(xué)生以“專家式思維”闡釋和預(yù)測較大范圍物體、事件或現(xiàn)象的某種有組織、有結(jié)構(gòu)的“核心概念”“知識(shí)模型”或“學(xué)科大圖景”[3]。大概念的“大”不是指“龐大”，指的是“核心”“高位”或“上位”，即學(xué)科領(lǐng)域中最精華、最有價(jià)值的核心內(nèi)容；大概念也并不僅僅指的是概念，通?？梢员憩F(xiàn)為概念、觀念與論題等三種形式，例如，“函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的重要模型”，此時(shí)大概念就表現(xiàn)為“概念”的形式；“數(shù)學(xué)教學(xué)要遵循自然”，這個(gè)大概念指向的就是一種教學(xué)“觀念”；“數(shù)學(xué)有趣”這個(gè)大概念呈現(xiàn)出來就是一個(gè)“論題”，很難斷定它的真假。

大概念可以分為學(xué)科大概念與跨學(xué)科大概念。學(xué)科大概念指向的是學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，不但具備了大概念本身的中心性、網(wǎng)絡(luò)狀等特征，同時(shí)具有鮮明的學(xué)科特性，在落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)的過程中扮演著關(guān)鍵性角色；跨學(xué)科大概念涉及了學(xué)科間的交匯與融合，顯然比學(xué)科大概念更加宏觀，它指出不同學(xué)科領(lǐng)域統(tǒng)一的思維方式，能夠?qū)⒉煌瑢W(xué)科領(lǐng)域中相互關(guān)聯(lián)的知識(shí)組織成連貫條理的客觀世界，例如，“數(shù)學(xué)是一種文化”“數(shù)學(xué)是抽象藝術(shù)”“數(shù)學(xué)源于生活”等，都屬于跨學(xué)科大概念的范疇。

同時(shí)，大概念也是有層級(jí)的，從高到低可以被細(xì)分為課程大概念、單元大概念、課時(shí)大概念。課程大概念處頂尖位置，其下面的兩個(gè)“大概念”相對(duì)于它來說就成了“小概念”或者“次要概念”；同樣，課時(shí)大概念、相對(duì)于單元大概念來說，也是“小概念”“次要概念”，這也說明了大概念的“大”具有相對(duì)性，在每個(gè)層級(jí)中都有處于統(tǒng)攝地位的“大”概念。例如，對(duì)于“平面向量”這個(gè)單元來說，它所指向的課程大概念有“用聯(lián)系的觀點(diǎn)看數(shù)學(xué)”“數(shù)學(xué)源于生活”“數(shù)學(xué)是一種運(yùn)算”等；單元大概念有“向量具有數(shù)與形的特征”“向量是語言”“向量是運(yùn)算”“向量是工具”等；課時(shí)大概念就更多了“向量自由移動(dòng)”“向量用有向線段表示”“向量加法滿足三角形與平行四邊法則”“數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量”等。不難發(fā)現(xiàn)，所在層級(jí)高的大概念所呈現(xiàn)的內(nèi)容往往比較抽象，而所在層級(jí)低的大概念就相對(duì)比較具體。因此，大概念往往無法直接交給學(xué)生，而是先要具化為層級(jí)較低的次要概念、小概念，然后才能付諸課堂教學(xué)實(shí)踐。

二、為什么大概念能夠促進(jìn)教師MPCK的發(fā)展

大概念源于學(xué)科中的各種概念、理論、原理和解釋體系，事實(shí)性知識(shí)或技能的抽象與提煉，是核心思想的整合與核心素養(yǎng)的重要表征，是學(xué)生在遺忘大部分細(xì)節(jié)后仍然能保留下來的重要理解[4]。由此可見，大概念實(shí)際上就是構(gòu)成MPCK的主體。

(一)大概念促進(jìn)了對(duì)教材的理解

教材是教師專業(yè)發(fā)展助推器，教材是教師專業(yè)發(fā)展的有效載體，毫不夸張地說教師的教書生涯就從理解教材開始，只有在充分理解教材思想意圖和內(nèi)容價(jià)值的基礎(chǔ)上才能開展更有效的教學(xué)。教師對(duì)教材的理解依賴于前見，即對(duì)教材籌劃最初意義的認(rèn)識(shí)，前見越豐富，理解教材的速度與準(zhǔn)度就越高。大概念是教材知識(shí)的高度凝練，通過教材中大概念的提取與理解，有助于教師豐富前見，擴(kuò)大教材理解的視域。比如，對(duì)于高中數(shù)學(xué)新教材人教A版(2019)的“主編寄語”，通過提取，就可以獲得“數(shù)學(xué)是有用的”“數(shù)學(xué)是自然的”“多樣化的學(xué)習(xí)方式”“學(xué)習(xí)貴在創(chuàng)新”等一系列大概念，在這些大概念的引領(lǐng)下來解讀教材，就越容易與教材的編寫者產(chǎn)生共鳴，也就越能夠理解：教材中知識(shí)這樣呈現(xiàn)是不是更加“自然”、教材中的問題為何如此關(guān)注“應(yīng)用”、教材為何提倡“數(shù)學(xué)建模與探究活動(dòng)”……又比如，在獲取“向量是一種運(yùn)算”這個(gè)大概念后，再來審視“平面向量”，會(huì)發(fā)現(xiàn)這章的所有內(nèi)容都是按照“運(yùn)算背景—運(yùn)算規(guī)則—運(yùn)算性質(zhì)—運(yùn)算的幾何意義”展開。顯然，教材也是以大概念為基本框架構(gòu)建而成的，教師理解大概念，也就理解了教材，MPCK自然得到發(fā)展。

(二)大概念闡明了教法與學(xué)法

大概念一般可以從課程標(biāo)準(zhǔn)、核心素養(yǎng)、專家思維、概念派生、生活價(jià)值、知能目標(biāo)、學(xué)習(xí)難點(diǎn)、評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)等八條路徑提取，并且很多大概念的獲得是綜合多條路徑提取的結(jié)果。因此，大概念覆蓋了教學(xué)的方方面面，直指數(shù)學(xué)“學(xué)什么”“如何學(xué)”“學(xué)得如何”的核心中樞。對(duì)教師而言，眾多的大概念就構(gòu)成了數(shù)學(xué)教學(xué)的說明書、指導(dǎo)手冊(cè)。比如，大概念“數(shù)學(xué)是自然的”，不僅解釋了“數(shù)學(xué)自然的屬性”，而且表明“數(shù)學(xué)教學(xué)的過程要自然”，只有“自然生成的數(shù)學(xué)課才是好的數(shù)學(xué)課”；又比如，大概念“函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)思想”，不僅解釋了“函數(shù)是什么”，而且表明了要把“函數(shù)思想貫穿于教學(xué)過程”，以期達(dá)到“掌握函數(shù)思想”這一教學(xué)目標(biāo)。因此，大概念可以為教師的數(shù)學(xué)教學(xué)提供間接經(jīng)驗(yàn)與付諸實(shí)踐的標(biāo)準(zhǔn)，從而使MPCK得到豐富與完善。

三、如何借助大概念發(fā)展教師的MPCK

MPCK一般由數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)(Mathematics Knowledge，簡稱MK)、一般教學(xué)法知識(shí)(Pedagogical Knowledge，簡稱PK)、有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)(Content Knowledge，簡稱CK)這三部分內(nèi)容組成。通過對(duì)大概念的梳理及教學(xué)實(shí)踐，圍繞這三部分內(nèi)容，來構(gòu)建發(fā)展教師MPCK的實(shí)施路徑。

(一)梳理教材提取大概念

雖然大概念的提取路徑有很多，但教材是大概念的最主要來源。教師先研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，從中獲得 “核心素養(yǎng)”“四基四能”“三會(huì)”“立德樹人”“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)”等一系列的課程大概念；然后，在課程大概念的引領(lǐng)下研讀數(shù)學(xué)教材，把教材中的大概念按照從高到低的層級(jí)依次梳理出來。當(dāng)然，對(duì)很多教師而言，很難做到一次性、準(zhǔn)確地提取這么多大概念，這需要教師在反復(fù)研讀教材的基礎(chǔ)上逐步領(lǐng)悟大概念，通過對(duì)大概念優(yōu)化表達(dá)與重組來實(shí)現(xiàn)對(duì)大概念準(zhǔn)確把握。比如，有教師可能會(huì)這樣表述大概念：“函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)內(nèi)容在更高層次的抽象、概括與提煉，在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等其他內(nèi)容時(shí)，起著重要作用?！边@種表達(dá)方式既啰唆又模糊，可以優(yōu)化分解為“函數(shù)是思想”“函數(shù)是工具”這兩個(gè)大概念。最后，按照“學(xué)什么”“如何學(xué)”“學(xué)得如何”的教學(xué)功能對(duì)大概念進(jìn)行分類，從而在頭腦中建立起豐富的大概念體系，表1是函數(shù)與平面向量兩個(gè)模塊的部分大概念。在系統(tǒng)梳理大概念的過程中，至少在理論層面教師的MK、PK、CK得到了協(xié)同發(fā)展。

表1 高中數(shù)學(xué)大概念

(二)利用大概念形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)

在明確各個(gè)層級(jí)的大概念后，接下去就要以大概念為主線對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行梳理，調(diào)整前后順序，打破原有的知識(shí)邊界，結(jié)合教師對(duì)學(xué)生知識(shí)學(xué)習(xí)、思維發(fā)展和能力提升的系統(tǒng)考慮和期待，再根據(jù)知識(shí)間的關(guān)系以及知識(shí)與現(xiàn)象、與情境的關(guān)聯(lián)程度，把知識(shí)有序地“安放”在大概念的結(jié)構(gòu)框架中，從而將數(shù)學(xué)知識(shí)打造成一個(gè)聯(lián)系緊密的結(jié)構(gòu)化整體。當(dāng)然，在這個(gè)過程中涉及的大概念往往比較多，并非所有的大概念都能作為主線，實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)知識(shí)、促進(jìn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化的目的，這需要結(jié)合教學(xué)主題與教學(xué)目標(biāo)，選擇一個(gè)大概念作為主線，若干個(gè)大概念作為知識(shí)節(jié)點(diǎn)。例如，對(duì)于“平面向量”模塊，可以選擇“向量是運(yùn)算”這個(gè)大概念作為主線，然后以“運(yùn)算背景”“運(yùn)算規(guī)則”“運(yùn)算性質(zhì)”“運(yùn)算的幾何意義”等大概念為節(jié)點(diǎn)，從而形成“平面向量”模塊的結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系，具體如圖1所示。結(jié)構(gòu)化知識(shí)的形成也就意味著教師的MK、PK、CK體系構(gòu)建完成。

圖1 “平面向量”模塊的結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系

(三)利用大概念來改進(jìn)傳統(tǒng)教學(xué)

傳統(tǒng)教學(xué)是以知識(shí)點(diǎn)為單位，按照其內(nèi)在邏輯關(guān)系逐個(gè)實(shí)施的一種教學(xué)方式。從短期看，知識(shí)點(diǎn)教學(xué)對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的掌握、數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟具有積極的作用，但從長遠(yuǎn)看，知識(shí)點(diǎn)教學(xué)普遍存在著認(rèn)知碎片化、思維淺層化、效果短期化等諸多弊端，而大概念可以改進(jìn)傳統(tǒng)教學(xué)的這些不足。具體做法是：先從學(xué)科知識(shí)體系和邏輯結(jié)構(gòu)出發(fā)，提取學(xué)科大概念；然后，圍繞大概念搭建核心觀點(diǎn)框架；最后，將學(xué)科大概念細(xì)化為一個(gè)次級(jí)概念，成為課時(shí)教學(xué)的立意或者主題來統(tǒng)攝整節(jié)課的教學(xué)，從而實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生的能力與素養(yǎng)的目的。

例如，對(duì)于“平面向量基本定理”這一課，傳統(tǒng)教學(xué)一般采用是圖2的教學(xué)流程。不難看出，在此教學(xué)流程中，知識(shí)的前后聯(lián)系被人為割裂、平面向量的本質(zhì)屬性沒有得到充分揭示，學(xué)生的學(xué)習(xí)更多地是停留在掌握現(xiàn)成的數(shù)學(xué)結(jié)論上，而沒有深入到數(shù)學(xué)思想與核心素養(yǎng)層面。

圖2 “平面向量基本定理”傳統(tǒng)教學(xué)流程

由“向量是運(yùn)算”這個(gè)大概念出發(fā)，自然衍生出“平面向量基本定理也是一種運(yùn)算”，然后就立足這個(gè)大概念對(duì)上述教學(xué)進(jìn)行改進(jìn)，具體如圖3所示。

圖3 “平面向量基本定理”改進(jìn)后的教學(xué)流程

改進(jìn)后的教學(xué)凸顯了平面向量的單元教學(xué)主題，揭示了知識(shí)之間的聯(lián)系；在教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)上，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，步步深入，可以有效地驅(qū)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程。同時(shí)，在利用大概念改進(jìn)傳統(tǒng)教學(xué)的過程中，教師的MK、PK、CK也在實(shí)踐層面中得到了檢驗(yàn)。

通過對(duì)大概念本身的研究，教師可以透徹地理解教材；通過把大概念付諸教學(xué)實(shí)踐，教師可以收獲更多的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。因此，大概念之所以能夠?qū)處煹腗PCK的發(fā)展產(chǎn)生促進(jìn)作用，其根本原因就是大概念與“自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)反思”“教材”這兩大MPCK的主要來源直接相關(guān)，并且兩個(gè)源頭的作用在大概念的助力下被成倍地放大。