林碧鳳

（南安市洪新中學(xué)，福建 南安 362300）

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾提出，幾何直觀可以告訴我們哪些屬于可能重要及有意義或者是可接近的，并能夠讓我們在課題、概念及方法的荒原上不必陷于歧途。而希爾伯特在其所著《直觀幾何》里面提到：依靠直觀想象，我們可以闡述幾何中的各類事實與問題，且在許多情況下可用幾何輪廓描述相關(guān)研究，而避免對嚴(yán)格定義實際計算的累贅闡述?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版》也提到：幾何直觀重點借助圖形描述和分析問題，它能夠讓原本復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明而形象，幫助學(xué)習(xí)者探索解決問題的理想思路，并對結(jié)果加以預(yù)測。

一、幾何直觀的定義及價值

（一）幾何直觀的定義

幾何直觀指的是利用圖形，以及圖形的關(guān)系、變化、運動軌跡等，比較直接地理解問題本質(zhì)，并得到解決問題的解決思路，產(chǎn)生推斷問題結(jié)論的直觀性較強的感覺及思維方式，通常其為依托與利用圖形所進行數(shù)學(xué)各項內(nèi)容的思考和想象。

（二）幾何直觀的價值

數(shù)學(xué)內(nèi)容普遍具有雙重性，既具有數(shù)的特征，又具有形的特征。從雙重性視角去客觀而全面地認(rèn)知數(shù)學(xué)能增進學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)意義的理解。在這方面，幾何直觀能力有著獨特優(yōu)勢，它能夠幫助揭示研究對象的性質(zhì)與關(guān)系，讓科學(xué)正確的世界觀與方法論被學(xué)生所認(rèn)可與接受。幾何直觀的價值可總結(jié)為下述四點：

1.理解價值。理解價值，即借助幾何直觀實現(xiàn)對抽象數(shù)學(xué)概念、定義、定理、公式等的直觀化與可視化轉(zhuǎn)化，使他們能明確數(shù)學(xué)概念、定義等的內(nèi)涵、外延，并了解相關(guān)概念的異同點，且對定理、公式由來、推斷過程以及適用范圍等加以理解。

2.發(fā)現(xiàn)價值。可借助幾何直觀發(fā)展觀察力與分析力，有助于學(xué)習(xí)者直接發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、新思路、新方法等。

3.解決價值?？赏ㄟ^幾何直觀整合數(shù)學(xué)問題有效信息、將其中的數(shù)學(xué)模型抽象出來，繼而找到處理問題的思路。

4.創(chuàng)新價值。創(chuàng)新價值，即在幾何直觀的幫助下，讓學(xué)生擁有創(chuàng)新機會，在提升抽象力的前提下發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造性思維［1］。

二、試題命制角度的幾何直觀能力培養(yǎng)

（一）幾何問題原型

案例1.如圖1 所示，現(xiàn)在已經(jīng)知道AB=12，AB⊥BC 于點B 位置，AB⊥AD 于點A 位置，且AD=5，BC=10，CD 中點是E，那么AE 長度是多少？

圖1

【解法分析】該題的命制從學(xué)生幾何直觀能力形成與應(yīng)用方面提出的。首先，在學(xué)生意識到問題中給出“AD=5”“BC=10”“CD 中點是E”這些條件后，很容易想到中位線定理的知識；其次，題目中的“AB 和BC 在B 點垂直”“AB 和AD 在A 點垂直”則屬于極具典型性的平行線條件，也容易聯(lián)想到平形四邊形相關(guān)知識點。該題考查學(xué)生的幾何直觀能力，若是可以快速找出題圖與平行四邊形的聯(lián)系，如圖2 所示，該題的解答會非常簡單。

圖2

【理論分析】初中生在處理幾何試題時，若遇到稍顯復(fù)雜的問題，一般情況下會利用作輔助線的方法，而簡單輔助線并不足以支撐幾何直觀能力形成，此時教師可嘗試使學(xué)生轉(zhuǎn)換思維，借助基本圖形疊加法，讓原本復(fù)雜的圖形趨于簡單化。幾何直觀需要以特定的幾何背景為條件才能產(chǎn)生效果，即幾何直觀需要以幾何圖形為載體。以本題為例，題目中給出的幾個條件看似簡單，實際上恰可以充當(dāng)展現(xiàn)幾何直觀能力的背景，也就是能夠暗示學(xué)生發(fā)掘“背景”中的內(nèi)在含義、引申含義等。再者，幾何直觀對象普遍具有可視性和層次性，本題的點和線特殊位置關(guān)系巧妙之處在于：學(xué)生可利用已知垂直條件聯(lián)想到平行，再利用連接右上角部分“缺失”的做法，把圖形“補充完整”，整個過程是可視的、有層次的，最終能夠轉(zhuǎn)變?yōu)橛行У摹靶聦ο蟆薄Ｗ詈?，幾何直觀致力于揭示探索對象的性質(zhì)與關(guān)系，在看似簡單的圖形中進行基于幾何直觀的高級、抽象空間形式轉(zhuǎn)化，本題符合這一要求，可讓圖形在重新加工后以新圖形面貌出現(xiàn)，從而讓題目變得直觀易解。

總之，從幾何直觀能力定義的角度看，該問題利用圖形直觀的位置關(guān)系構(gòu)造平行四邊形，從而得到問題的解決思路。從試題命制的角度看，該圖形的直觀性較強，通過對中點與中位線定理之間的聯(lián)系達到對本題涉及的多個數(shù)學(xué)知識點進行合理的思考與想象，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

（二）幾何問題拓展

除了基本問題外，中學(xué)數(shù)學(xué)教師還可以在考核學(xué)生“幾何直觀”能力的試題命制時，注意拓展問題的價值，以便給學(xué)生提供足夠豐富的研究材料。現(xiàn)以兩個問題為例，對幾何直觀能力價值與應(yīng)用進行分析。

案例2.如圖3 所示，在矩形ABCD 中，以BC 為直徑，繪制半圓O，OE⊥OA 于點E，對角線AC 同半圓O 另一交點是P，在連接AE 后，請證明AE 為半圓O 切線，另外，若PA=2，PC=4，那么AE 長度是多少。

圖3

【案例分析】對于第一個問題，可基于構(gòu)造不同幾何模型的策略，給出不同解法。例如，學(xué)生可在教師的提示下，先做輔助線OF⊥AE 于F，從“一線三直角”模型，得到△ABO∽△OCE，再引出，繼而得出△ABO∽△AOE，借助角平分線性質(zhì)，便可證明OF=OB，接下來的過程可由學(xué)生自主推導(dǎo)，教師進行從旁的適時提醒。

對于第二個問題，相對而言難度較大，因為已知與所求間關(guān)系不是特別明顯，入手不易，此時建議學(xué)生從已知出發(fā)，考慮到BC 為直徑，P 為圓周上點，所以可以聯(lián)結(jié)BP，產(chǎn)生△ABP∽△ACB 的結(jié)論，順勢求出AB，從而得到BC、BO，再借助△ABO∽△AOE，順利解決問題。讓學(xué)生在此過程中感受幾何直觀能力的應(yīng)用技巧，從而進一步提高學(xué)生的幾何直觀能力。

【策略歸納】本題屬于圓的綜合題，如果站在知識角度分析，可看到它比較直接地考查了切線判定與性質(zhì)、矩形性質(zhì)，以及相似三角形和全等三角形等方面知識，若基于思想方法進行探討，可注意其涉及轉(zhuǎn)化法和截長法、補短法等，而如果從幾何變換、幾何模型角度分析，又有對翻折變換及等腰三角形等知識點。一般而言，有效提高和拓展幾何直觀能力，不僅要從問題中的知識角度進行綜合分析，更要掌握數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。

（三）幾何問題進階

案例3.圖4 中，△ABC 為等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，如果把△ABC 繞點C 進行順時針旋轉(zhuǎn)，可產(chǎn)生△A'B'C，標(biāo)記旋轉(zhuǎn)角α，若90°＜α＜180°，作A'D⊥AC，A'和B'C 相交點E。在∠CA'D=15°時，試作∠A'EC平分線EF，使之交BC 于點F。請寫出旋轉(zhuǎn)角α 是多少度，并嘗試求證EA'+EC=EF。

圖4

【案例分析】在原有條件下，設(shè)P 為直線A'D 上一動點，再將PA 與PF 連接起來，在AB=2 的情況下，得到線段PA+PF 最小值。原問題與拓展問題相結(jié)合，是一道既有較強綜合性，又有較大難度與較高靈活性的幾何試題。

幾何問題進階絕不是簡單直觀就可以捕捉到解題方法。只有從基本幾何模型出發(fā)，基于直觀能力添加模型常用輔助線，并做更進一步的具體分析，才能有效解決問題。

三、啟示

經(jīng)對兩個綜合性較強問題的分析可知，一些試題命制非常注重考查學(xué)生對幾何基本知識與基本技能的掌握。且十分關(guān)注學(xué)生在幾何證明基本方法及對應(yīng)變換方面的能力，包括圖形平移、旋轉(zhuǎn)，以及對軸對稱的利用等，其可給教師培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力進一步啟示［2］。

其一，幾何直觀能力對于描述、分析問題很重要，對于解決問題也很重要。切實加強幾何直觀教學(xué)，可有效增強學(xué)生興趣、提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力。優(yōu)化幾何基本圖形及基本結(jié)論教學(xué)，對于幾何教學(xué)，以及代數(shù)、統(tǒng)計和概率教學(xué)等均可成為基礎(chǔ)與重點，其為培養(yǎng)以幾何為載體解題能力的前提。

其二，幾何變換是圖形關(guān)系研究的重要手段，是初中階段的核心數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容之一。幾何變換包括全等變換與位似變換等幾何變換知識，其中全等變換中包括平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換形式。

其三，在平面幾何中，像各類試題中的平行線內(nèi)的M 角模型、三角形中的中點模型、角平分線中的對稱全等模型等，均可以幫助學(xué)習(xí)者處理綜合問題，快速發(fā)現(xiàn)突破口。因此加強數(shù)學(xué)模型意識，可以讓其幾何直觀、邏輯思維等各項能力得到潛移默化進步［3］。

其四，一題多解、一題多變以及多題一解等解題方法，可培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識.在此過程中，多種數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法將得到應(yīng)用，如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、和差法、割補法等。

四、總結(jié)

幾何直觀能力一方面涉及數(shù)學(xué)知識探究過程，另一方面因其抽象性、動態(tài)性、模型性，有助于學(xué)生將復(fù)雜問題簡單化，促進其學(xué)習(xí)效率的提升。從試題命制角度出發(fā)培養(yǎng)幾何直觀能力，是一種正本清源的做法，希望能夠給相關(guān)教育工作提供一些參考。