王黎強(qiáng)

(排嶺初級(jí)中學(xué)，浙江 淳安 311700)

雙減背景下，在堅(jiān)持做好“壓總量、控時(shí)間”的基礎(chǔ)上，更加注重“調(diào)結(jié)構(gòu)、提質(zhì)量”[1]，把學(xué)生從繁重的課業(yè)負(fù)擔(dān)中解放出來(lái)，關(guān)鍵是提升課堂效率.復(fù)習(xí)課作為一種常見(jiàn)課型，在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位不容忽視.筆者結(jié)合平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐，分享一點(diǎn)幾何復(fù)習(xí)教學(xué)的認(rèn)識(shí).

1 注重聯(lián)系，著眼整體，優(yōu)化思維方式

數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體，它的生命力在于各部分之間的聯(lián)系.為了便于學(xué)生學(xué)習(xí)，我們的學(xué)科知識(shí)不得不被分成條塊，變成細(xì)小的局部[2]，因此，復(fù)習(xí)課應(yīng)該從系統(tǒng)思維出發(fā)，著眼于知識(shí)之間的聯(lián)系和建構(gòu)，聚焦于揭示問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律，用新的視角把知識(shí)重新組織起來(lái)，形成一個(gè)系統(tǒng)化的整體.

例如“軸對(duì)稱視角下的等腰三角形復(fù)習(xí)”的部分教學(xué)設(shè)計(jì)：

引入如圖1，在等腰△ABC中，AB=AC≠BC，請(qǐng)用尺規(guī)作出△ABC的對(duì)稱軸(方法盡可能多).

圖1 圖2 圖3

分析1)根據(jù)等腰三角形的對(duì)稱軸是頂角平分線，即底邊上的中線和高線所在直線，得圖2和圖3.

2)根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，只需再確定對(duì)稱軸上的另一點(diǎn)便可畫出，這個(gè)點(diǎn)可以由兩條直線相交得到.如圖4，在邊AB,AC上取一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)D，E；如圖5，在邊AB,AC上取兩對(duì)對(duì)稱點(diǎn)D，E和G，H.兩種作法本質(zhì)相同，其中，圖4中B，C也是對(duì)稱點(diǎn)，且作法更簡(jiǎn)潔.

圖4 圖5

設(shè)計(jì)意圖等腰三角形是刻畫平面對(duì)稱性的模型，等腰三角形的性質(zhì)也是基于對(duì)稱性而來(lái).用對(duì)稱的視角研究等腰三角形的問(wèn)題，有助于我們更好地認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題，這也是本題的價(jià)值所在.

例1如圖6，在△ABC中，AB=AC=8，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，BE=CD.若BD=3，CE=1，求BE的長(zhǎng).

圖6 圖7

分析1)等腰△ABC是軸對(duì)稱圖形，一切居于對(duì)稱位置的元素或三角形都是可證相等或全等的；2)所給條件比較分散，可以考慮通過(guò)軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化幾何元素的位置，使條件相對(duì)集中，再運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決問(wèn)題.

解如圖7所示添加輔助線BF,BG,其中BF=CD=BE，BG⊥AC于點(diǎn)G.在Rt△AGB中,利用勾股定理可得

在Rt△BGE中,利用勾股定理可得

設(shè)計(jì)意圖在解決等腰三角形問(wèn)題時(shí)，利用軸對(duì)稱改變線段的位置，使兩條線段由異側(cè)變?yōu)橥瑐?cè)，從而解決問(wèn)題.這也是等腰三角形添加輔助線的規(guī)律之一.

練習(xí)1如圖8，在△ABC中，D，E分別為邊AC，AB上的點(diǎn)，AD=AB，BE=CD，∠BED=120°.若DE=6，BC=14，求線段BD的長(zhǎng).

圖8 圖9

如圖9所示添加輔助線BF,BG,其中BF=DE,BG⊥AC于點(diǎn)G,可得BD的長(zhǎng)(過(guò)程略).

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生再次體驗(yàn)添加輔助線，積累經(jīng)驗(yàn)，鞏固利用等腰三角形的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化幾何元素位置的方法.

例2如圖10，△ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E，使AE=BD，聯(lián)結(jié)CE，DE.求證：CE=DE.

圖10 圖11

分析本題所給圖形并不是完備的軸對(duì)稱圖形，但存在軸對(duì)稱因素CE=DE.此時(shí)，可從軸對(duì)稱的觀點(diǎn)補(bǔ)所缺的圖形(圖11)，從而得證.

設(shè)計(jì)意圖這是一道有一定難度的題目，通過(guò)對(duì)本題的分析，可進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生添加輔助線的基本規(guī)律：1)已知和結(jié)論之間思路受阻時(shí)才添加輔助線；2)自然原則，順著思考方向分析時(shí)，水到渠成地添上一筆；3)添加輔助線的基本規(guī)律需要不斷總結(jié)[3].

圖12 圖13

設(shè)計(jì)意圖鞏固利用軸對(duì)稱的觀點(diǎn)補(bǔ)形的規(guī)律.

顯然，本節(jié)課抓住了等腰三角形對(duì)稱這一本質(zhì)屬性，把等腰三角形的相關(guān)知識(shí)融合在一起，構(gòu)成了一個(gè)渾然一體的系統(tǒng)，這不僅豐富了學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而且讓學(xué)生獲得了新的見(jiàn)解，同時(shí)簡(jiǎn)化了記憶.更重要的是運(yùn)用等腰三角形的軸對(duì)稱性添加輔助線，或補(bǔ)全對(duì)稱圖形，引導(dǎo)學(xué)生從等腰三角形的軸對(duì)稱性出發(fā)構(gòu)建整體圖形結(jié)構(gòu)，讓添加輔助線這個(gè)難點(diǎn)順利地轉(zhuǎn)化為補(bǔ)全軸對(duì)稱圖形.對(duì)于今后學(xué)生尋找、運(yùn)用、構(gòu)建軸對(duì)稱都有著積極的意義.

2 立足結(jié)構(gòu)，著眼能力，提高解題效率

基本幾何圖形是簡(jiǎn)潔、有用和美麗的，在幾何教學(xué)中需要去認(rèn)識(shí)、積累并應(yīng)用這些基本圖形的幾何結(jié)構(gòu)，在新課的教學(xué)中要關(guān)聯(lián)這些圖形結(jié)構(gòu)背后的代數(shù)結(jié)構(gòu)，在復(fù)習(xí)教學(xué)中則要幫助學(xué)生在復(fù)雜的圖形環(huán)境中探尋到這些結(jié)構(gòu)和它們之間的聯(lián)系，并快速找到解題的路徑.

例如，某教師在教學(xué)“圓的基本性質(zhì)復(fù)習(xí)——圓中的角”時(shí)，先前測(cè)，后對(duì)第3題進(jìn)行了分析.在例題環(huán)節(jié)，多位學(xué)生展示了不同的解法，教師并未分析；在評(píng)估練習(xí)環(huán)節(jié)，學(xué)生獨(dú)立完成，未及時(shí)反饋.

在評(píng)課環(huán)節(jié)，筆者肯定了這位教師對(duì)展示課所做的種種努力，把這些具有共同特征的問(wèn)題收集在一起，但沒(méi)有歸納出解決這類問(wèn)題背后的基本圖形的幾何結(jié)構(gòu)，略顯遺憾.

現(xiàn)將部分教學(xué)設(shè)計(jì)和筆者評(píng)課展示如下：

環(huán)節(jié)1基礎(chǔ)前測(cè).

1.如圖14，△ABC內(nèi)接于⊙O，聯(lián)結(jié)OA，OB，若∠ABO=25°，則∠C=

圖14 圖15

( )

A.55° B.60° C.65° D.70°

2.如圖15，在⊙O中，OA⊥BC，∠CDA=25°，則∠AOB=______.

3.如圖16，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥AC于點(diǎn)D，OM⊥AB于點(diǎn)M，且OM=3，CD=4，BD=12，則⊙O的半徑為______.

圖16 圖17

評(píng)注這3道題除了同弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)圓心角這一結(jié)構(gòu)外，還可以歸納出如圖17所示的基本結(jié)構(gòu)(即多題歸一)，明確這個(gè)幾何圖形結(jié)構(gòu)將圓周角與圓心角有機(jī)地聯(lián)系在一起，同時(shí)還有垂徑定理的“影子”.這三者的結(jié)合使得圓周角與圓心角倍半關(guān)系順利地轉(zhuǎn)化為∠C=∠DOB.教師要將背后的邏輯關(guān)系講清楚，讓學(xué)生理清這個(gè)圖形結(jié)構(gòu)的背后聯(lián)系.

環(huán)節(jié)2例題講解.

例3如圖18，在⊙O中，點(diǎn)G在⊙O上，弦AB的垂直平分線交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，EF交弦BG于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，F(xiàn)，聯(lián)結(jié)OB.求證：∠E=∠OBD.

圖18 圖19

評(píng)注有了前面的引導(dǎo)，學(xué)生在找圓中相等角時(shí)就能很快發(fā)現(xiàn)圖17的這一結(jié)構(gòu).思維的切入點(diǎn)高了，解決問(wèn)題的路徑更容易找到，解題效率明顯提高.

簡(jiǎn)潔的證明如下：從結(jié)構(gòu)可知∠BOF=∠AGB，再由∠GDE=∠ODB，∠BOF=∠ODB+∠DBO，∠AGB=∠E+∠GDE，從而∠E=∠OBD.

環(huán)節(jié)3評(píng)估練習(xí).

1.如圖19，已知銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥BC于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)OA，點(diǎn)E在線段OA上，OE=OD.若∠ABC=40°，∠ACB=70°，則∠ODE=______°.

評(píng)注有了前面的練習(xí)，看到這樣的問(wèn)題，很容易想到聯(lián)結(jié)OB，結(jié)構(gòu)再次出現(xiàn).由∠ABC=40°，∠ACB=70°，可得∠CAB=70°，進(jìn)一步得∠BOD=70°，而∠AOB=2∠ACB=140°，最后求出∠DOE和∠ODE.

本節(jié)課之后，該教師又做了進(jìn)一步的改進(jìn)，通過(guò)前測(cè)在復(fù)習(xí)圓心角定理、圓周角定理、垂徑定理的基礎(chǔ)上歸納得出圖17的結(jié)構(gòu)，再通過(guò)例題分析運(yùn)用這個(gè)結(jié)構(gòu)解決幾何證明問(wèn)題，結(jié)合變式分析，學(xué)會(huì)在不同的背景中分離出這個(gè)基本結(jié)構(gòu)，構(gòu)建這個(gè)圖形結(jié)構(gòu)與之前所學(xué)的其他圖形結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，最后利用評(píng)估練習(xí)檢測(cè)學(xué)生的目標(biāo)達(dá)成情況.立足結(jié)構(gòu)，改變?cè)兄R(shí)的反復(fù)記憶以及練習(xí)后的無(wú)效展示，將幾何知識(shí)賦予的圖形結(jié)構(gòu)進(jìn)行有機(jī)整合，這不僅可以提升解題效率，還便于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)的相互關(guān)聯(lián).當(dāng)然要讓學(xué)生在頭腦中建構(gòu)起這樣的結(jié)構(gòu)，還需作業(yè)、單元練習(xí)和單元測(cè)試的配合使用.

3 立足遷移，著眼通法，提煉數(shù)學(xué)本質(zhì)

復(fù)習(xí)教學(xué)中很多教師慣用一題多解的方式訓(xùn)練學(xué)生的解題技巧，有助于學(xué)生理解問(wèn)題本質(zhì)和解法的內(nèi)涵，有助于加深對(duì)概念、定理、公式及相互聯(lián)系的理解.但教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，要立足通性通法，幫助學(xué)生歸納解法背后的共性，構(gòu)建解法之間的聯(lián)系，提煉解法所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法，促使學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生.

例如“圓的基本性質(zhì)復(fù)習(xí)”的設(shè)計(jì)中，只有一道例題和一道課后作業(yè).

例4如圖20，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，求證:DE=CE.

圖20 圖21

分析此題內(nèi)涵豐富，指向八方，入口很寬，可以用等腰三角形的對(duì)稱性證得(如圖21)；用圓周角與圓心角的關(guān)系證得(如圖22)；用平行弦的關(guān)系證得(圖23)；用圓心角相等關(guān)系證得(圖24)；用垂徑定理的關(guān)系證得(圖25)；利用直角三角形斜中線性質(zhì)證得(圖26)；還可以由圓內(nèi)接四邊形外角性質(zhì)證得.這也給了我們證明圓中有一端點(diǎn)重合的兩條弦長(zhǎng)相等的思路，如圖27.

圖22 圖23

圖24 圖25

圖26 圖27

設(shè)計(jì)意圖利用一道典型的例題，運(yùn)用一題多解激發(fā)學(xué)生的興趣，活躍學(xué)生的思維，講評(píng)過(guò)程中有方法的歸納、關(guān)鍵點(diǎn)的點(diǎn)撥，還有多種解法相互比較，不斷抽象，挖掘本質(zhì).在一題多解的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，在多解歸一抽象出解題規(guī)律和方法的過(guò)程中，感受對(duì)數(shù)學(xué)原理和通性通法的認(rèn)識(shí).

課后練習(xí)如圖28，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點(diǎn)，OD∥AC.求證:CD=BD.

圖28

設(shè)計(jì)意圖教師給予學(xué)生模仿和實(shí)踐的機(jī)會(huì)，鞏固本節(jié)課所學(xué)的方法，培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力.

這樣的一堂課，簡(jiǎn)單、精致而美麗，帶給學(xué)生的沖擊是巨大的.看似簡(jiǎn)單的一道題，卻給了學(xué)生豐富的思考空間，不同層次的學(xué)生有不同的方法.教師不用一味迎合學(xué)生的解法，也不用讓學(xué)生記住不同的解法，而是要讓學(xué)生理解解法背后的數(shù)學(xué)本質(zhì).真正做到“眼中有學(xué)生、腦中有理念”，教師的作用是用心去觀察、捕捉和點(diǎn)贊學(xué)生思維中的動(dòng)態(tài)生成，幫助學(xué)生用精致的語(yǔ)言分享他們的做法.精心設(shè)計(jì)的一道與例題相似度極高的課后練習(xí)，有助于降低學(xué)生的思考難度，有助于增強(qiáng)學(xué)生知識(shí)的正遷移能力和對(duì)新知的掌握，達(dá)到減負(fù)增效的作用.

4 關(guān)于幾何復(fù)習(xí)教學(xué)的新樣態(tài)

在“雙減”背景下，傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)方式(即通過(guò)填鴨式的灌輸和課后刷題訓(xùn)練)弊端凸顯，難以讓學(xué)生有良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)興趣的喪失和畏懼心理的產(chǎn)生.對(duì)此，筆者結(jié)合實(shí)踐，提出了幾何復(fù)習(xí)課的新樣態(tài)：大聯(lián)系、小結(jié)構(gòu)、重遷移.

4.1 大聯(lián)系

復(fù)習(xí)課堂不能“只見(jiàn)樹木，不見(jiàn)森林”，不能就事論事、就題論題，只看到單一的知識(shí)點(diǎn)而不顧及其聯(lián)系.教師要注重知識(shí)之間的聯(lián)系，把知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)一在內(nèi)容所內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思想和方法之中，幫助學(xué)生更好地了解知識(shí)的源頭、發(fā)展和去向，更好地理解其本質(zhì)，更好地提升思想和方法的駕馭能力.

4.2 小結(jié)構(gòu)

幾何知識(shí)是有內(nèi)在聯(lián)系的，幾何圖形之間也有內(nèi)在關(guān)聯(lián).幾何圖形的一些小結(jié)構(gòu)，比如角平分線和平行角一邊的直線組合可以得出等腰三角形，圖17中圓周角和圓心角結(jié)合垂徑定理可以得出兩角相等的規(guī)律等，這樣的結(jié)論稱為“一次性推理的結(jié)論”[3].在復(fù)習(xí)教學(xué)中，總結(jié)積累和熟記這樣的小結(jié)構(gòu)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力，有利于提升學(xué)生思考問(wèn)題的起點(diǎn)，有利于學(xué)生快速找到復(fù)雜問(wèn)題的解題路徑，從而提高解題效率.

4.3 重遷移

學(xué)習(xí)的目的是學(xué)會(huì)遷移，利用掌握的方法，通過(guò)聯(lián)想、類比、推理等來(lái)解決相似的問(wèn)題，達(dá)到舉一反三的效果.提升遷移能力的關(guān)鍵是通過(guò)分類把無(wú)限的題目變成有限的題型；通過(guò)總結(jié)，找到解決同一類問(wèn)題的通法.復(fù)習(xí)的意義不是多做題，而是立足一道題，串起一類題；立足一種方法，牽出一類通法；立足一個(gè)圖形，研究一類圖形.

新樣態(tài)的幾何復(fù)習(xí)課，從尋找聯(lián)系入手，幫助學(xué)生用思想方法、通性通法、圖形小結(jié)構(gòu)等建構(gòu)起新的聯(lián)系.它將有助于知識(shí)的融會(huì)貫通，透過(guò)復(fù)雜的現(xiàn)象，抓住本質(zhì)，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.這樣的課堂多一些，喜歡幾何、愛(ài)上幾何的學(xué)生也會(huì)多一點(diǎn).