廖愛國(guó)

(云和中學(xué)，浙江 云和 323600)

數(shù)學(xué)思維能力，是指人們能夠用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去提出問題、分析問題和解決問題的能力，它是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.教師通過研究新教材、設(shè)計(jì)教學(xué)方法、精選課后作業(yè)及研究試題命制，從而落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培育，促進(jìn)學(xué)生六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.在新一輪高考改革中，面對(duì)新教材(2019年人教A版普通高中《數(shù)學(xué)》)，高中數(shù)學(xué)教師面臨著巨大的挑戰(zhàn)，新教材的編寫處處滲透著新課標(biāo)的育人理念，值得每位教師在教學(xué)中細(xì)細(xì)體會(huì)，真正地把教材用好，避免在教學(xué)中“穿新鞋，走老路”.再則，浙江省將在2023年的高考中使用全國(guó)卷，認(rèn)真研究數(shù)學(xué)高考全國(guó)卷，把握好高考命題方向至關(guān)重要！

下面筆者通過對(duì)一道浙江省麗水市高二數(shù)學(xué)期末試題的探究，分享自己對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一些想法.

1 探析解法，雙重視角培育思維

1.1 試題呈現(xiàn)

圖1

1)求實(shí)數(shù)m的值；

2)求證：點(diǎn)Q是線段MN的中點(diǎn)；

3)求四邊形OQMR面積的最大值.

筆者有幸參加了麗水市2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)期末試題的命制工作.本題為試卷的最后一道解答題，是解析幾何中有關(guān)直線與橢圓位置關(guān)系的綜合題，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化、邏輯推理、運(yùn)算求解能力.試題背景豐富，起點(diǎn)低,坡度緩,解法多樣，能很好地區(qū)分出學(xué)生不同的數(shù)學(xué)思維水平.本題全市去零平均分為3.78分，難度系數(shù)為0.27，學(xué)生答題情況不盡如人意，充分反映了學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)中的漏洞.

1.2 解法探究

視角1韋達(dá)定理結(jié)合面積公式.

易知m=3,下面分析第2)和第3)小題.

2)證法1若直線MN的斜率不存在，則由橢圓的對(duì)稱性可知點(diǎn)Q必為線段MN的中點(diǎn).若直線MN的斜率存在(設(shè)斜率為k)，則直線MN的方程為y=kx+b，點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0).

(1+2k2)x2+4kbx+2b2-6t=0.

(1)

因?yàn)橹本€MN與橢圓E2相切，所以由韋達(dá)定理得

由Δ=0，得

3t(2k2+1)=b2.

在式(1)中，令t=1，得

從而

即點(diǎn)Q是線段MN的中點(diǎn).

3)解法1若直線MN的斜率不存在，則直線MN的方程為

若直線MN的斜率存在(設(shè)斜率為k)，則

結(jié)合3t(2k2+1)=b2，得

由上可知△MON的面積與直線MN的斜率無(wú)關(guān)，因此S△MOP=S△MON.而Q,R分別為MN,MP的中點(diǎn),故

視角2橢圓仿射變換.

圖2

從而

即點(diǎn)Q是線段MN的中點(diǎn).

從而

評(píng)注本題涉及直線與橢圓相交、相切及四邊形面積問題.視角1按照“設(shè)、聯(lián)、消、韋、面積公式”的常規(guī)思路求解，充分體現(xiàn)了解析幾何用坐標(biāo)法解決幾何問題的核心思想，求解思路清晰，但有一定的運(yùn)算量，對(duì)四邊形面積的合理轉(zhuǎn)化也是本題的難點(diǎn).視角2借助橢圓仿射變換，化“橢”為“圓”，利用圓的性質(zhì)求解，降低了計(jì)算難度，但是對(duì)橢圓仿射變換的性質(zhì)還是需要先證后用，兩個(gè)視角給不同數(shù)學(xué)思維水平的學(xué)生都有發(fā)揮的空間.

2 試題還原，命題點(diǎn)滴提升能力

2.1 試題初稿

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“命題比解題難，命題要測(cè)得出水平，測(cè)得出能力.”[1]因此，題目需如玉石般經(jīng)歷千雕萬(wàn)琢方能成就好題，本道期末試題的命制也是幾經(jīng)修改、精心打磨的.下面選取命題時(shí)的其中一稿與讀者分享.

1)求實(shí)數(shù)m的值.

2)求△OMN面積的最大值.

3)如圖3，橢圓E2的兩條互相垂直的動(dòng)切線l1，l2交于點(diǎn)P.記點(diǎn)P的軌跡為C，曲線C的切線l3與橢圓E1總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B，切點(diǎn)為T，若|TA|·|TB|為定值，求橢圓E2的方程.

圖3

2.2 解法探究

下面僅分析第3)小題.

解法1當(dāng)切線l1，l2的斜率都存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)P(x0,y0)的橢圓E2的切線方程為

y-y0=k(x-x0).

(1+2k2)x2+4k(y-kx0)x+2(y0-kx0)2-6t=0，

由Δ=0，得

因此，動(dòng)切線l1，l2的斜率k1,k2是此方程的兩個(gè)根，故

即

故點(diǎn)P的軌跡C的方程為

x2+y2=9t(其中0

①當(dāng)切線l3的斜率不存在時(shí)，

②當(dāng)切線l3的斜率為0時(shí),

|TA|·|TB|=6-18t.

下面只需證明當(dāng)切線l3的斜率存在且不為0時(shí)，恒有|TA|·|TB|=2成立.

③當(dāng)切線l3的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)切線l3：y=kx+b，點(diǎn)T(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),由相切得

即

b2=2(1+k2).

(1+2k2)x2+4kbx+2b2-6=0，

從而 |TA|·|TB|=(1+k2)|x0-x1|·|x0-x2|

|TA|·|TB|=2=|TO|2.

為此，要證明情形③中的|TA|·|TB|=2恒成立有以下解法：

=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2

得

|TA|·|TB|=|TO|2=2.

下同解法1.

評(píng)注本題是一道直線與橢圓、圓位置關(guān)系的綜合問題，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理素養(yǎng)，涉及解析幾何的分類討論、同構(gòu)式等思想.3個(gè)小題層層遞進(jìn)，能較好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.命題時(shí)，總體感覺本題計(jì)算量過大，涉及結(jié)論性的內(nèi)容較多，試題結(jié)構(gòu)不夠漂亮，為此在后面修改時(shí)，既降低了題目的難度，又力求表述更加簡(jiǎn)潔.

3 背景溯源，高觀點(diǎn)下促進(jìn)素養(yǎng)

羅增儒教授說過：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中真正發(fā)生數(shù)學(xué)的地方都無(wú)一例外地充滿著數(shù)學(xué)解題活動(dòng).”至此，雖然我們已經(jīng)完成了對(duì)例1與例2的解法探究，但是解題活動(dòng)仍然在繼續(xù).對(duì)試題背景溯源，真正明白命題者的出題背景與命制意圖，才能進(jìn)一步拓寬我們的視野，高觀點(diǎn)下思考問題，進(jìn)而指導(dǎo)我們更好地為教學(xué)服務(wù)！

試題命制的背景之一為蒙日?qǐng)A，例2第3)小題中點(diǎn)的軌跡即為蒙日?qǐng)A，它交匯了橢圓、切線、圓等重點(diǎn)內(nèi)容，是命題者的重要素材.蒙日?qǐng)A又能延伸出許多重要的性質(zhì)和結(jié)論.

相似橢圓是例1與例2的另一重要背景，例1中第2)和第3)小題正是相似橢圓的兩個(gè)重要性質(zhì).而相似橢圓在2015年山東省數(shù)學(xué)高考理科卷中也出現(xiàn)過，與相似三角形類似，若兩個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸與短軸對(duì)應(yīng)成比例，則稱兩個(gè)橢圓相似[2].根據(jù)定義可以得到相似橢圓有如下優(yōu)美性質(zhì)：

2)過橢圓C1上一點(diǎn)P引橢圓C2的兩條切線PA,PB，分別交C1于點(diǎn)A,B，切點(diǎn)分別為M,N，則直線OP平分橢圓C2的弦MN;

以上定理1與性質(zhì)1的證明不再贅述，留給讀者思考.

4 基于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力培育的探究啟示

數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科，在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中明確提出：要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.而學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力并不是一朝一夕養(yǎng)成的，它需要數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中慢慢滲透、耐心培養(yǎng)，通過對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培育，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.經(jīng)歷了前面的試題命制與探究的整個(gè)過程，筆者有以下幾點(diǎn)啟示：

1)重視三基，落實(shí)通法，夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)性.

學(xué)生扎實(shí)掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的基本思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的核心.縱觀整個(gè)探究過程，雖然問題解決不乏好的方法，但是其最根本的方法始終圍繞著解析幾何的本質(zhì)，即用代數(shù)方法研究幾何問題[3].在教學(xué)中，我們應(yīng)更加重視學(xué)生對(duì)基本概念的理解和基本方法的訓(xùn)練，抓常規(guī)、重落實(shí)，打好培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)性.

2)勤于探究，拓寬視野，助力學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性.

“教而不研則淺，研而不教則空”.作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的引路人，教師只有不斷地學(xué)習(xí)與積累，才能成就自身更扎實(shí)的專業(yè)素養(yǎng)，特別是對(duì)一些好的試題，它是一個(gè)命題者甚至是整個(gè)命題團(tuán)隊(duì)的智慧結(jié)晶，更加值得我們學(xué)習(xí).通過試題研究，挖掘試題的本質(zhì)，看透其數(shù)學(xué)背景，我們才能在高觀點(diǎn)的指引下，助力學(xué)生培育數(shù)學(xué)發(fā)散思維，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3)激發(fā)興趣，培養(yǎng)意志，培育學(xué)生數(shù)學(xué)思維的堅(jiān)韌性.

一題一世界，數(shù)學(xué)中的難題往往都是一個(gè)個(gè)小題組成的，由淺入深，因此學(xué)生在解題時(shí)，要樹立解題信心，遇到思維與運(yùn)算困難，要有堅(jiān)定的意志力.教師在教學(xué)中不僅需要傳授知識(shí)與技巧，更要多采用啟發(fā)式教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng).