嚴(yán)麗香

(莆田市第四中學(xué),福建 莆田 351100)

所謂深度學(xué)習(xí)，指的是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)內(nèi)容，深度參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，從中體驗(yàn)與分享成功，從而獲得發(fā)展的一種有意義的學(xué)習(xí)[1].由于學(xué)習(xí)的真正發(fā)生必須在個(gè)體已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上生發(fā)出新的認(rèn)知，即“生成知識(shí)”，因此基于深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，是在教師精心預(yù)設(shè)前提下的動(dòng)態(tài)生成過程，是學(xué)生由未知走向成熟的過程.然而，在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，由于“生成教學(xué)”耗時(shí)長(zhǎng)，不少教師常常選擇回避，仍使用“灌輸式”教學(xué)，直拋概念、結(jié)論，然后讓學(xué)生進(jìn)行大量的訓(xùn)練.“灌輸式”教學(xué)表面上看似乎大大節(jié)約了課堂教學(xué)的時(shí)間，卻忽視了學(xué)生思維成長(zhǎng)中最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)留下了隱患，導(dǎo)致事倍功半.學(xué)生只有“生成”自己的理解，才能養(yǎng)成從數(shù)學(xué)的視角深層次地思考問題、解決問題的習(xí)慣，使體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)、滲透數(shù)學(xué)思想、富有深度思維價(jià)值的課堂活動(dòng)真正發(fā)生[2]，從而提升學(xué)生的關(guān)鍵能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根.

1 激活教材，在體驗(yàn)中生成

數(shù)學(xué)概念在其冰冷的形式化知識(shí)背后，隱含著生動(dòng)活潑的、火熱的數(shù)學(xué)思維.深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生親歷概念的發(fā)生、發(fā)展過程，使學(xué)生真切體驗(yàn)新知的來龍去脈.因此教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與概念形成過程的觀察分析、操作確認(rèn)、抽象概括等一系列學(xué)習(xí)活動(dòng)，把原本冰冷的靜態(tài)的概念轉(zhuǎn)化為學(xué)生火熱的動(dòng)態(tài)思考，促進(jìn)學(xué)生的自主建構(gòu)，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

案例1人教A版高中《數(shù)學(xué)(必修2)》(新教材)“二面角”概念教學(xué)片段.

師：初中階段我們學(xué)習(xí)了角的概念，它是如何定義的？

生1：從一點(diǎn)引出的兩條射線所組成的圖形稱為角.

師：請(qǐng)類比角的概念來定義“二面角”.

生2:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面組成的圖形稱做二面角.

師:很好！類比平面幾何中角的記法∠AOB,我們應(yīng)如何表示“二面角”？大家能舉例說一說生活中存在的二面角模型嗎？

生3：翻開的課本、打開的筆記本電腦等.

師:平時(shí)大家經(jīng)常說“把門開大一點(diǎn)”,說明了二面角可以度量.我們應(yīng)如何度量其大小呢？請(qǐng)回顧我們是如何刻畫異面直線所成角、直線與平面所成角的？

生4：將“空間角”轉(zhuǎn)化成“平面角”.

師：應(yīng)該用什么樣的“平面角”才能刻畫二面角的大小呢？我們規(guī)定：如果兩個(gè)半平面重合,那么二面角的大小是0°；如果兩個(gè)半平面變成一個(gè)平面，那么二面角的大小是180°.請(qǐng)大家用卡片做個(gè)二面角,嘗試畫圖找出刻畫二面角大小的方法，并分組討論.

(學(xué)生動(dòng)手操作、討論，教師選出小組代表進(jìn)行多媒體展示，限于篇幅，圖形略).

組1：過棱上任意一點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)任作一條射線.

組2:我們?cè)诶鈒上取一點(diǎn)O，在半平面α,β內(nèi)分別作射線OA,OB，使它們與直線l所成的角均為60°.

組3：在棱l上取一點(diǎn)O，在半平面α,β內(nèi)分別作射線OA,OB，使它們與直線l都垂直.

師:以上作法可以嗎？

(大家思考、交流.)

生5:若按第一組的作法,則角的大小會(huì)隨著所作的射線位置不同而大小不等，不滿足“唯一性”.

生6:若按第二組作法,則所作的角也不唯一.當(dāng)兩個(gè)半平面重合時(shí)，出現(xiàn)平面角與0°矛盾的情形(如圖1)；當(dāng)兩個(gè)半平面展開成一個(gè)平面時(shí),出現(xiàn)平面角與180°矛盾的情形(如圖2).

圖1 圖2 圖3

生7:如圖3，角的兩邊OA,OB都與棱l垂直,當(dāng)二面角展開成平面時(shí),射線OA,OB所成的角∠AOB為180°；當(dāng)兩個(gè)半平面重合時(shí)，平面角為0°.改變點(diǎn)O的位置時(shí),由等角定理可知角的大小不變，具備唯一性，可以用來刻畫“二面角”的大小.

師：分析得很到位！

教師利用多媒體展示二面角的平面角隨二面角張開幅度變化的過程，讓學(xué)生歸納概括“二面角的平面角”的定義.

如何度量二面角的大小是本節(jié)課的難點(diǎn)，突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),用“平面化”的思想來刻畫“二面角”.在案例1中，教師引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)“直觀感知—操作確認(rèn)—抽象概括”的研究問題的一般方法，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作、思維，并滲透類比、聯(lián)想、化歸等數(shù)學(xué)思想方法，啟迪學(xué)生給出二面角的定義，并讓學(xué)生親身經(jīng)歷“二面角的平面角”的自然生成過程，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正建立在學(xué)生自主探究的基礎(chǔ)上，從而不斷提升直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，達(dá)成深度學(xué)習(xí).

2 善待偏差，在追問中生成

由于學(xué)生認(rèn)知水平的局限，課堂生成難免存在一定的偏差.對(duì)于學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，很多教師常常直接告知學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因與注意點(diǎn).學(xué)生表面聽懂了，但遇到類似情形，又會(huì)重復(fù)出現(xiàn)這種錯(cuò)誤.究其原因，是這種“沒有經(jīng)過學(xué)生思考的直接告知”的方式，使他們對(duì)問題的認(rèn)識(shí)處于淺層階段，沒有留下深刻的印象.因此教師應(yīng)該把“告訴”改為“探究”，有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生在各種解法的分析比較中，暴露出可能存在的知識(shí)、能力等缺陷，并從差錯(cuò)中獲得啟迪，實(shí)現(xiàn)思維水平的進(jìn)階，從而讓“錯(cuò)誤”變得美麗，使課堂生成更具價(jià)值.

案例2已知二次函數(shù)f(x)=-x2+kx-1的圖像與兩端點(diǎn)分別為A(0,3),B(3,0)的線段有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

(教師用多媒體展示學(xué)生的一種典型錯(cuò)解，讓學(xué)生思考.)

圖4 圖5 圖6

師：上面的解法對(duì)嗎？

有的學(xué)生認(rèn)為是對(duì)的，有的認(rèn)為不對(duì)，但又說不出原因.教師沒有直接指出錯(cuò)誤，而是通過有針對(duì)性的點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)因.學(xué)生們畫圖、思考，但不少學(xué)生仍沒有找出錯(cuò)誤原因.教師利用幾何畫板演示，學(xué)生終于發(fā)現(xiàn)以上方法以偏概全，忽視了圖像的頂點(diǎn)在線段AB上或在AB下方的情況(如圖5、圖6).

師(追問)：本題是否可以換一個(gè)角度進(jìn)行思考呢？

生1：本題可化歸為方程-x2+kx-1=3-x,即x2-(k+1)x+4=0在區(qū)間[0,3]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.設(shè)x1,x2為方程的兩個(gè)根，由于x1x2=4>0,只需0

生2：不對(duì).如果取x1=2,x2=4,就能滿足生1所說的條件，但x2=4>3.

師(追問)：很好!生2運(yùn)用特殊值對(duì)答案的正確性進(jìn)行了檢驗(yàn).那么，方程在[0,3]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的等價(jià)條件該如何用不等式進(jìn)行表達(dá)呢？

生3：我認(rèn)為應(yīng)該等價(jià)于

即

師(追問):對(duì)！應(yīng)該與0進(jìn)行比較,才能找到等價(jià)條件,這是解題的關(guān)鍵.還有其他想法嗎？

生4：可利用零點(diǎn)問題解決.設(shè)g(x)=x2-(k+1)x+4,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，3]上有兩個(gè)零點(diǎn)，由此得

師：生4將問題轉(zhuǎn)化為g(x)在區(qū)間[0，3]上有兩個(gè)零點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，很簡(jiǎn)潔.

師(追問)：是否可以對(duì)方程x2-(k+1)x+4=0進(jìn)行變形，構(gòu)造新的函數(shù)解決本題？

生6：當(dāng)x≠0時(shí)，x2-(k+1)x+4=0,可化為

師：太棒了!生5和生6為大家提供了一種解決此類問題的簡(jiǎn)潔方法.若將方程x2-(k+1)x+4=0在[0,3]上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根變?yōu)椴坏仁絰2-(k+1)x+4>0在[0,3]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.你們能否類比以上方法求解嗎？

引導(dǎo)學(xué)生從“合理性”的錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)，是促進(jìn)課堂生成的一種藝術(shù).一道“平凡”的習(xí)題，通過去偽存真、緊追不舍，啟發(fā)學(xué)生探尋合理簡(jiǎn)便的解題途徑，讓學(xué)生從開始的迷茫到“懂得”，再到“精彩生成”，從而讓學(xué)生對(duì)此類問題有了深度理解.實(shí)際上，學(xué)生認(rèn)識(shí)上的偏差并不可怕，關(guān)鍵是教師要善于運(yùn)用“合理性”的錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生展開辨析、討論.通過合作交流引發(fā)學(xué)生識(shí)錯(cuò)、糾錯(cuò)，這樣不僅深化了學(xué)生對(duì)問題本質(zhì)的理解，而且完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，由“不識(shí)廬山真面目”向“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的境界升華，提升了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3].

3 反思感悟，在探究中生成

由于高中數(shù)學(xué)具有較強(qiáng)的抽象性、邏輯性等特點(diǎn)，許多學(xué)生的解題還僅僅停留在“模仿+練習(xí)”階段，思維能力得不到應(yīng)有的提高.因此解決問題之后，教師應(yīng)留給學(xué)生體驗(yàn)與反思的時(shí)間，留給學(xué)生“頓悟”的機(jī)會(huì)，引領(lǐng)學(xué)生通過再思考、再認(rèn)識(shí)，迸發(fā)出思維的靈性，深刻理解問題的內(nèi)涵,促進(jìn)課堂由“淺層生成”進(jìn)入“深層生成”，使課堂教學(xué)取得事半功倍的效果[4].

1)求C的方程；

2)設(shè)C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M為線段AF2的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AF1T.

為了提升問題的教育價(jià)值，當(dāng)學(xué)生完成了本題之后,教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思.

反思1第2)小題中∠ATM=∠AF1T是巧合，還是有規(guī)律可循？

學(xué)生思考并討論，教師請(qǐng)學(xué)生代表發(fā)言.

師：生1很善于思考，我們一起來驗(yàn)證此猜想.

分析設(shè)T(x0,y0)，則切線l的方程為

可得

故

△TAM∽△F1AT，

即

∠ATM=∠AF1T.

反思2由上面的證明過程，有沒有新的發(fā)現(xiàn)？

生2：我發(fā)現(xiàn)切點(diǎn)T是線段AB的中點(diǎn)，因此TM∥BF2，從而∠ATM=∠ABF2(如圖7).又∠ATM=∠AF1T，由此我猜想點(diǎn)F1,F2,T,B共圓.

圖7

師：生2思維敏銳，大家來驗(yàn)證一下他的結(jié)論是否成立.

學(xué)生經(jīng)過證明，得到如下結(jié)論：

教師繼續(xù)引領(lǐng)學(xué)生反思：

反思3橢圓有以上性質(zhì),雙曲線是否有相似的結(jié)論呢？

課堂氣氛非?；钴S，學(xué)生們躍躍欲試,經(jīng)過探究，得到如下結(jié)論：

圖8

師：太好了！類比橢圓與雙曲線之間的相似性質(zhì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要策略.

這種自省形式的反思一旦成為解題之后的自覺行動(dòng)，就能促使學(xué)生以高遠(yuǎn)的觀點(diǎn)、寬廣的視野、理性的眼光去思考問題、解決問題，從思維、結(jié)構(gòu)等方面尋求“生長(zhǎng)點(diǎn)”，從而使數(shù)學(xué)課堂不斷出新、出彩，在深度學(xué)習(xí)中讓有限的數(shù)學(xué)課堂“生長(zhǎng)”出無限的能力.