張 豪， 張維忠

(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院，浙江 金華 321004)

《普通數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》強(qiáng)調(diào)：導(dǎo)數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念，蘊(yùn)涵微積分的基本思想.不僅如此，還在“內(nèi)容要求”中具體地指出了“體會(huì)極限思想”“通過(guò)函數(shù)圖像直觀(guān)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義”的期望目標(biāo).由于導(dǎo)數(shù)涉及極限思想，在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用受到廣泛關(guān)注的趨勢(shì)下，“無(wú)窮小”“極限”這些珍貴的思想寶藏容易被大部分教師“理所當(dāng)然”地忽視，因此需要加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)教學(xué)，為學(xué)生進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下良好基礎(chǔ).

學(xué)生從初中掌握的圓的切線(xiàn)定義過(guò)渡到一般曲線(xiàn)的切線(xiàn)定義“切線(xiàn)是割線(xiàn)的極限位置”時(shí)存在與歷史上切線(xiàn)認(rèn)識(shí)論發(fā)展相似的認(rèn)知障礙，具體表現(xiàn)為大多數(shù)學(xué)生仍持有“圓的切線(xiàn)”或“與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)”這一表象，甚至只是根據(jù)“公共點(diǎn)個(gè)數(shù)”“是否位于曲線(xiàn)同側(cè)”等條件來(lái)判定該直線(xiàn)是否為切線(xiàn).究其原因在于國(guó)內(nèi)現(xiàn)行教科書(shū)過(guò)分重視切線(xiàn)斜率的形式化公式，忽略了切線(xiàn)的歷史，沒(méi)有揭示出切線(xiàn)概念的本質(zhì)，由此可見(jiàn)數(shù)學(xué)史在“導(dǎo)數(shù)幾何意義”一課融入的重要性與必要性[1].

曲線(xiàn)切線(xiàn)問(wèn)題是微積分的經(jīng)典問(wèn)題，在歷史上，笛卡爾的“圓法”和費(fèi)馬的“虛擬等式法”首先提供了極限定義的切線(xiàn)的代數(shù)求法，為巴羅、萊布尼茨、洛必達(dá)等人的多元闡釋奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).其中，笛卡爾圓法不涉及極限的概念，給出了用代數(shù)法求切線(xiàn)的方法.其作為數(shù)學(xué)史上切線(xiàn)概念創(chuàng)新的傳承結(jié)晶，使得切線(xiàn)作為“割線(xiàn)的極限位置”的概念首次出現(xiàn)在印刷品中[2].其求法不僅與初中階段我們熟知的圓的切線(xiàn)相關(guān)，在高中階段教學(xué)中起到一個(gè)很好的銜接作用，更是在本質(zhì)上將切線(xiàn)視為割線(xiàn)的極限位置，能夠突破任意曲線(xiàn)的切線(xiàn)極限定義，與教材上的定義相符合.筆者嘗試將笛卡爾圓法融入導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)與具體教學(xué)過(guò)程，從學(xué)生熟知的圓的切線(xiàn)出發(fā)，通過(guò)笛卡爾圓法用代數(shù)方法確定切線(xiàn)位置的復(fù)雜性，與極限定義的切線(xiàn)求法形成鮮明對(duì)比，讓學(xué)生理解切線(xiàn)用極限定義的合理性與簡(jiǎn)潔性.

1 教學(xué)設(shè)計(jì)要點(diǎn)

1.1 教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)內(nèi)容選自人教A版普通高中《數(shù)學(xué)(選修2)》第5.1節(jié)“導(dǎo)數(shù)的概念及其意義”第二課時(shí).在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義之前，學(xué)生接觸了平均變化率和瞬時(shí)變化率，并且由瞬時(shí)變化率得到了導(dǎo)數(shù)的定義，這是從“數(shù)”方面的刻畫(huà).而導(dǎo)數(shù)的幾何意義從“形”方面進(jìn)行研究，不僅再次滲透極限思想求得了切線(xiàn)的極限定義，更是以此完善和促進(jìn)了對(duì)導(dǎo)數(shù)定義、“以直代曲”思想方法的深層理解.

從知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程、數(shù)學(xué)思想方法的角度對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行深度剖析，強(qiáng)調(diào)需要以“形”助“數(shù)”、以“數(shù)”論“形”來(lái)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，將曲線(xiàn)的切線(xiàn)上升到一個(gè)新的思維層面，同時(shí)還需注意滲透極限思想、以直代曲思想教學(xué)[3].笛卡爾圓法就從“數(shù)”“形”這兩個(gè)方面很好地突破了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，其具體做法如下：

如圖1，CP是曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)P處的法線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)C(v,0)作半徑為r=CP的圓，此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為方程[f(x)]2+(v-x)2=r2的重根.當(dāng)y=f(x)是多項(xiàng)式型函數(shù)時(shí)，相當(dāng)于方程[f(x)]2+(v-x)2=r2以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x為重根，具有重根x=c的多項(xiàng)式的形式必須是(x-c)2∑cixi.笛卡爾把其有重根的條件寫(xiě)成

圖1

[f(x)]2+(v-x)2-r2=(x-c)2∑cixi，

1.2 學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對(duì)象為高二學(xué)生.在知識(shí)層面，學(xué)生在初中階段已經(jīng)比較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了圓的切線(xiàn)、直線(xiàn)斜率與方程等相關(guān)知識(shí)，有了切線(xiàn)靜態(tài)定義的認(rèn)知基礎(chǔ)；在技能層面，學(xué)生在初中階段接觸了用逐步逼近的方法探索圓面積的問(wèn)題，在高中階段經(jīng)歷了用單調(diào)性定性研究函數(shù)的變化趨勢(shì)，積累了相關(guān)研究的經(jīng)驗(yàn).

本節(jié)內(nèi)容從極限角度動(dòng)態(tài)地定義切線(xiàn)，進(jìn)而得出導(dǎo)數(shù)的幾何意義，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是陌生的概念，是極大的挑戰(zhàn).

1.3 重難點(diǎn)突破

不論是定義、性質(zhì)和求法，還是與曲線(xiàn)的位置關(guān)系，極限定義角度下的切線(xiàn)與圓的切線(xiàn)都發(fā)生了翻天覆地的變化.笛卡爾圓法提供了突破這一認(rèn)知難點(diǎn)的有效途徑，通過(guò)圖像找切線(xiàn)與代數(shù)法求切線(xiàn),從“數(shù)”與“形”的兩個(gè)角度強(qiáng)調(diào)用極限定義切線(xiàn)的重要性，更能夠提供遷移、類(lèi)比的方法強(qiáng)調(diào)應(yīng)將切線(xiàn)視為割線(xiàn)的極限位置，進(jìn)而體現(xiàn)“以直代曲”的思想方法.但笛卡爾圓法融入導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)也面臨著極大挑戰(zhàn).

第一，笛卡爾圓法中重根的計(jì)算量大.取y=x2時(shí)，用比較系數(shù)法求得v與c的關(guān)系要涉及4次方程的運(yùn)算；若取更加復(fù)雜的多項(xiàng)式型函數(shù)，則計(jì)算量激增，學(xué)生可能要花費(fèi)許久的時(shí)間在計(jì)算上.因此，在教學(xué)中可以取簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y=x2為例，以介紹的方式將笛卡爾圓法講授給學(xué)生，在探究中讓學(xué)生直觀(guān)感受到笛卡爾圓法計(jì)算的復(fù)雜性，從側(cè)面突破教材中切線(xiàn)極限定義的合理性與簡(jiǎn)潔性.

第二，笛卡爾圓法中重根的計(jì)算方法涉及高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)，很難直接在課堂上傳遞給學(xué)生.但學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，對(duì)重根和比較系數(shù)法有一定的基礎(chǔ)，因此可以采用類(lèi)比的方式，從二次函數(shù)的重根入手，將笛卡爾圓法講授給學(xué)生.

第三，笛卡爾圓法將切線(xiàn)視為割線(xiàn)的極限位置，本質(zhì)上與教材定義一致.但如何讓學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)到笛卡爾圓法本質(zhì)上與極限定義的等同性，進(jìn)而讓學(xué)生認(rèn)同和欣賞到極限定義的切線(xiàn)美，是一大難點(diǎn).可以通過(guò)笛卡爾圓法中重根產(chǎn)生過(guò)程的動(dòng)態(tài)化展示讓學(xué)生感受到兩種做法在定義上的等同性，進(jìn)而感悟切線(xiàn)美.

2 具體教學(xué)過(guò)程

2.1 溫習(xí)舊知，導(dǎo)入新課

師：圓是一種特殊的曲線(xiàn)，我們?cè)谥暗膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，用哪幾種方式來(lái)定義圓的切線(xiàn)？

生1：與圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線(xiàn).

生2：到圓心的距離等于半徑的直線(xiàn).

生3：過(guò)圓半徑的外端點(diǎn)并垂直于半徑的直線(xiàn).

師：對(duì)的，我們可以看到圓的切線(xiàn)有許多表達(dá)方式，也正如數(shù)學(xué)史料記載的一樣，切線(xiàn)概念發(fā)展經(jīng)歷了3個(gè)階段：第一個(gè)階段就是歐幾里得提出的“在平面內(nèi)，與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)”的定義，與生1所表達(dá)的一樣.阿波羅尼奧斯在此基礎(chǔ)上提出了與生3類(lèi)似的“與圓錐曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)且全部在圓錐曲線(xiàn)之外的直線(xiàn)”的第二階段切線(xiàn)定義.那么同學(xué)們思考一下，這些定義切線(xiàn)的方法對(duì)于我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的一些曲線(xiàn)都適用嗎？以三角函數(shù)y=sinx為例試試看.

生4：不適用.

師：大家一起和老師用幾何畫(huà)板探索一下，已經(jīng)畫(huà)出了函數(shù)y=sinx在任意點(diǎn)P處的切線(xiàn)，我們一起來(lái)看看，在移動(dòng)點(diǎn)P的過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)是否滿(mǎn)足第一和第二階段切線(xiàn)的定義.如圖2，切線(xiàn)可以與這條曲線(xiàn)有多個(gè)交點(diǎn)；如圖3，切線(xiàn)可以“穿過(guò)”這條曲線(xiàn)，可以看到第一和第二階段的定義均不太適合現(xiàn)有的一些曲線(xiàn)的切線(xiàn)定義.那現(xiàn)在就讓我們一起來(lái)探索一下第三階段的定義吧！

圖2 圖3

2.2 新知探索，建立聯(lián)系

師：以上節(jié)課“如何定義拋物線(xiàn)y=x2在點(diǎn)P(1,1)處的切線(xiàn)”為例，我們能否用已知的知識(shí)(圓的切線(xiàn))用幾何法找到這條切線(xiàn)的位置？

師：其實(shí)在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，笛卡爾已經(jīng)為我們提供了這樣的一種方法.我們選取x軸上一點(diǎn)C為圓心，過(guò)點(diǎn)P作圓.可以看到⊙C在從左往右移動(dòng)的過(guò)程中與曲線(xiàn)交點(diǎn)數(shù)由2變?yōu)?再變?yōu)?(如圖4)，當(dāng)⊙C與y=x2僅僅相交于點(diǎn)P(如圖5)時(shí)，我們就可以用幾何法確定這條切線(xiàn)的位置.

圖4 圖5

師：同學(xué)們想一想，我們能求出這條切線(xiàn)在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式嗎？

生5：可以設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(v,0)，圓的半徑為r，從Rt△CPM和Rt△CQP出發(fā)我們可以得到切線(xiàn)斜率

因此只需求出v的坐標(biāo)即可.

師：非常好!這樣我們就給出了切線(xiàn)斜率的表達(dá)式.我們想一想還有其他條件可以解出未知量v嗎？

生6：好像沒(méi)有了.

師：其實(shí)啊，在歷史上笛卡爾給我們進(jìn)行了詳細(xì)的介紹.以y=x2為例，看一看如何用代數(shù)的方法確定在點(diǎn)P(x,x2)處的切線(xiàn).笛卡爾指出，過(guò)點(diǎn)C(v,0)作半徑為r=CP的圓，CP是曲線(xiàn)y=x2在點(diǎn)P處的法線(xiàn)，此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是[f(x)]2+(v-x)2=r2的重根.同學(xué)們，對(duì)于重根我們?cè)谥暗膶W(xué)習(xí)中有接觸嗎？

生7：在之前的二次函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中有接觸類(lèi)似的情況，例如(x-1)2=0就有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根x=1，即x=1是重根.

師：非常好！讓我們來(lái)類(lèi)比一下.笛卡爾告訴我們，方程[f(x)]2+(v-x)2=r2具有重根一定可以寫(xiě)成

[f(x)]2+(v-x)2-r2=(x-c)2∑cixi.

其中，c是指一個(gè)未知的重根.具體來(lái)看，對(duì)于y=x2，式子就可以表示成

x4+(v-x)2-r2=(x-c)2(x2+ax+b)

x4+v2-2vx+x2-r2=x4+(a-2c)x3+(b-2ac+c2)x2+(ac2-2cb)x+c2b.

利用同次冪系數(shù)相等,可得

a=2c,

1=b-2ac+c2=b-3c2，即b=3c2+1，

-2v=-2cb+ac2=-2cb+2c3

=-2c(3c2+1)+2c3

=-6c3-2c+2c3=-4c3-2c,

從而

v=2x3+x，

即

v-x=2x3.

師：同學(xué)們，經(jīng)過(guò)重重計(jì)算我們得出在點(diǎn)P(x,x2)處的切線(xiàn)斜率為

從而探究題中拋物線(xiàn)y=x2在點(diǎn)P(1,1)處的切線(xiàn)為y=2x-1.回想一下剛剛的計(jì)算過(guò)程我們得出v-x的結(jié)果是否花費(fèi)了很多時(shí)間？

生8：是的，計(jì)算很費(fèi)時(shí)間.

師：而且我們求出來(lái)的這個(gè)v還與x有關(guān)，十分復(fù)雜.那我們來(lái)思考一下，有沒(méi)有更好的方法可以來(lái)確定切線(xiàn)在坐標(biāo)系中的表達(dá)式.

設(shè)計(jì)解讀這一環(huán)節(jié)主要介紹笛卡爾圓法在“形”和“數(shù)”上確定切線(xiàn)的做法.首先，利用幾何畫(huà)板直觀(guān)展示笛卡爾圓法在“形”上確定切線(xiàn)位置的容易性.其次，通過(guò)與已學(xué)的二次函數(shù)知識(shí)的類(lèi)比，讓學(xué)生在教師引導(dǎo)的探究下真切感受笛卡爾圓法的復(fù)雜計(jì)算，完成數(shù)學(xué)新史料笛卡爾圓法的融入講解.最后，為下一環(huán)節(jié)笛卡爾圓法與教材做法兩種方法在“數(shù)”與“形”的對(duì)比突破和等價(jià)論述、從而突破切線(xiàn)極限定義的合理性與簡(jiǎn)潔性做好了鋪墊.

2.3 動(dòng)態(tài)定義，突破極限

師：教材上我們是如何來(lái)定義切線(xiàn)的？這種切線(xiàn)定義與我們剛剛學(xué)習(xí)的笛卡爾圓法有沒(méi)有聯(lián)系？大家可以通過(guò)小組討論，來(lái)談?wù)勀愕南敕?

生9：教材中先是通過(guò)我們之前學(xué)習(xí)的平均變化率來(lái)表示曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)P(x,f(x))處的割線(xiàn)PP0，然后用割線(xiàn)PP0無(wú)限趨近的一個(gè)確定位置來(lái)定義切線(xiàn).

師：很好，其實(shí)這就是數(shù)學(xué)史上對(duì)切線(xiàn)概念的第三階段定義，由笛沙格提出的把切線(xiàn)明確地看做是割線(xiàn)的極限.我們以?huà)佄锞€(xiàn)y=x2在點(diǎn)P0(1,1)處的切線(xiàn)為y=2x-1為例，來(lái)展現(xiàn)一下這個(gè)動(dòng)態(tài)演示過(guò)程(如圖6).

圖6 圖7

師：我們可以看到，這條切線(xiàn)y=2x-1確實(shí)可以理解成一個(gè)無(wú)限趨近的確定位置.那么緊接著提出第二個(gè)問(wèn)題——這與笛卡爾圓法有沒(méi)有聯(lián)系？

生10：從笛卡爾圓法確定這條切線(xiàn)的位置來(lái)看，圓在從左往右移動(dòng)的過(guò)程與拋物線(xiàn)交點(diǎn)數(shù)由2變?yōu)?再變?yōu)?，其實(shí)也等同于在點(diǎn)P0(1,1)兩側(cè)不同的兩條割線(xiàn)無(wú)限逼近這個(gè)確定的直線(xiàn)的過(guò)程.

師：講得太好了！我們來(lái)動(dòng)態(tài)地演示一下這個(gè)過(guò)程(如圖7).看一看按照書(shū)本上的定義來(lái)計(jì)算這個(gè)切線(xiàn)斜率，是否也會(huì)像我們之前的那么復(fù)雜？

師：以上計(jì)算簡(jiǎn)單多了！從這個(gè)角度上來(lái)看，我們可以把現(xiàn)有的切線(xiàn)定義看成是一種圓的切線(xiàn)定義的“升級(jí)”.這樣，我們不僅可以掌握?qǐng)A的切線(xiàn)帶來(lái)的“形”的直觀(guān)，而且通過(guò)極限的求法我們能夠更好地從“數(shù)”上來(lái)確定切線(xiàn)的位置.

設(shè)計(jì)解讀首先設(shè)置探究讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)變化中認(rèn)可教材做法與笛卡爾圓法在“形”上的等同性，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到極限定義的切線(xiàn)其實(shí)隱含著“形”的特征，并不是抽象的，從而突破切線(xiàn)極限定義的簡(jiǎn)潔性.其次，極限定義下切線(xiàn)斜率計(jì)算的簡(jiǎn)便性能夠與笛卡爾圓法形成鮮明對(duì)比，帶來(lái)極大的視覺(jué)沖擊，從而進(jìn)一步讓學(xué)生感悟切線(xiàn)極限定義的合理性.最后，注重總結(jié)切線(xiàn)極限定義與圓的切線(xiàn)的聯(lián)系與區(qū)別，有效地突破學(xué)生的認(rèn)知障礙.

2.4 以直代曲，突破定義

師：同學(xué)們?cè)賮?lái)思考一下，切線(xiàn)的斜率為2與上節(jié)課學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)的概念有何聯(lián)系？

生12：函數(shù)f(x)=x2在點(diǎn)P0(1,1)處的導(dǎo)數(shù)f′(1)=2就是曲線(xiàn)在點(diǎn)P0(1,1)處切線(xiàn)的斜率大小.

師：非常好！這位同學(xué)將上節(jié)課我們學(xué)習(xí)過(guò)的導(dǎo)數(shù)的定義與“形”聯(lián)系了起來(lái).讓我們來(lái)具體看看，是不是所有的函數(shù)都有這樣的相等關(guān)系呢？對(duì)于任意的函數(shù)y=f(x)，在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與切線(xiàn)有什么聯(lián)系？

生13：對(duì)于函數(shù)y=f(x)上一點(diǎn)P0(x0,f(x0))，切線(xiàn)斜率

函數(shù)y=f(x)在P0(x0,f(x0))處切線(xiàn)的斜率就是f′(x0).

師：這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義！我們可以看到，越靠近點(diǎn)P0(x0,f(x0))，這條切線(xiàn)就越靠近這個(gè)函數(shù)原來(lái)的圖像.這給了我們一些啟示——有時(shí)我們難以直接畫(huà)出函數(shù)y=f(x)的圖像，但是若可以求出f′(x)，則可以用這條切線(xiàn)來(lái)確定在這個(gè)點(diǎn)附近函數(shù)的變化趨勢(shì).

3 進(jìn)一步的思考

選取數(shù)學(xué)史中笛卡爾圓法融入導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)，旨在通過(guò)“形”上圓的切線(xiàn)與一般曲線(xiàn)的切線(xiàn)是割線(xiàn)的極限位置建立聯(lián)系，與“數(shù)”上計(jì)算的困難性對(duì)比，直接突破一般曲線(xiàn)切線(xiàn)的極限定義和學(xué)生固有的切線(xiàn)認(rèn)知障礙.

3.1 融合數(shù)學(xué)史料教學(xué)，靈活滲透數(shù)學(xué)文化

值得強(qiáng)調(diào)的是，學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)不僅能夠承擔(dān)歷史責(zé)任感，而且能夠產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)敏銳的理解與鑒賞.運(yùn)用數(shù)學(xué)史知識(shí)進(jìn)行切線(xiàn)概念教學(xué)，不僅能夠幫助學(xué)生理解切線(xiàn)定義演變的來(lái)龍去脈，突破固有的切線(xiàn)定義，將學(xué)生的思維從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)進(jìn)行發(fā)展，更是能夠通過(guò)3個(gè)不同階段切線(xiàn)的概念，將數(shù)學(xué)概念的擴(kuò)張化、一般化通過(guò)實(shí)例具體展現(xiàn)，從而滲透數(shù)學(xué)文化.

3.2 精選新穎史料講解，潤(rùn)色課堂別樣色彩

不應(yīng)局限于歷史，應(yīng)著眼于思考與創(chuàng)新.現(xiàn)有的數(shù)學(xué)史融入導(dǎo)數(shù)幾何意義教學(xué)的素材還有許多的“滄海遺珠”.以笛卡爾圓法為例，其蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是寶貴的核心素養(yǎng)培養(yǎng)資源，但是其涉及的高等數(shù)學(xué)知識(shí)難以真正落實(shí)和下放到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中.教師在加強(qiáng)理解的基礎(chǔ)上，可以對(duì)此精心設(shè)計(jì)，通過(guò)類(lèi)比學(xué)生已有的知識(shí)，以講授的形式帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行體驗(yàn)，增添教學(xué)趣味，潤(rùn)色課堂，充分挖掘其育人價(jià)值.

3.3 巧設(shè)笛卡爾圓突破，肯定切線(xiàn)極限定義

學(xué)生在初中階段接觸過(guò)圓的切線(xiàn)的定義，但這并不適用于高中階段一般的曲線(xiàn).為了讓學(xué)生感受到用“割線(xiàn)的極限位置”來(lái)定義切線(xiàn)的合理性與簡(jiǎn)潔性，筆者精心設(shè)置了笛卡爾圓法來(lái)進(jìn)行突破.首先，笛卡爾圓法確定切線(xiàn)的過(guò)程與學(xué)生初中已經(jīng)學(xué)過(guò)的圓的切線(xiàn)緊密相連.其次，笛卡爾圓法從“形”上鮮明地給學(xué)生帶來(lái)了直觀(guān)感受——切線(xiàn)的位置是容易確定的.通過(guò)笛卡爾圓法從代數(shù)角度確定切線(xiàn)斜率上的困難，很容易地引出了尋求更好定義的疑問(wèn)，即現(xiàn)有教材定義的合理性.最后，通過(guò)笛卡爾圓法與教材方法的等價(jià)定義論述，計(jì)算切線(xiàn)斜率的難度對(duì)比，自然地突出了現(xiàn)有切線(xiàn)定義的簡(jiǎn)潔性，讓學(xué)生對(duì)切線(xiàn)的極限定義方式具有一個(gè)對(duì)比的認(rèn)識(shí)，突破切線(xiàn)的表象定義.