周 寧

(福建師范大學(xué)附屬福清德旺中學(xué),福建 福清 350300)

在數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中，要能夠從題目所給條件的結(jié)構(gòu)聯(lián)想，與已學(xué)的知識(shí)或公式之間建立聯(lián)系，找到求解思路以及拓展解題思路.下面筆者通過(guò)2022年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第18題談?wù)勅绾温?lián)想、構(gòu)造模型，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多種解法的探析，并對(duì)問(wèn)題做進(jìn)一步的思考，與同仁交流.

1 試題呈現(xiàn)

(2022年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第18題)

2 解法探究

2.1 對(duì)題設(shè)條件的探究

即

cosAcosB=sinB+sinAsinB,

亦即

cosAcosB-sinAsinB=sinB,

從而

cos(A+B)=sinB.

又A，B為△ABC的內(nèi)角,且

故

即

評(píng)注探究1注意到題設(shè)恒等式左右兩邊角的差異，對(duì)等號(hào)右邊sin 2B和cos 2B都應(yīng)用了二倍角公式，實(shí)現(xiàn)了等號(hào)左右兩邊角A，B倍數(shù)的一致，進(jìn)一步利用兩角差的余弦公式及誘導(dǎo)公式得出角A與B的關(guān)系式.注意到角的差異及聯(lián)想到二倍角公式是探究1的關(guān)鍵.

即

從而

于是

即

2.2 對(duì)結(jié)論“求的最小值”的探究

評(píng)注最值問(wèn)題的代數(shù)求解思路可以分為兩個(gè)方向：函數(shù)模型與不等式模型.在三角形中求解最值問(wèn)題，若要利用函數(shù)模型求解,則應(yīng)先確定以邊為變量還是以角為變量.第2)小題要求解的是與邊有關(guān)的最值問(wèn)題，可以考慮以邊作為變量，但是題設(shè)條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化是角A和B的關(guān)系式，于是利用正弦定理將邊化為角，以角為變量更為合適，并進(jìn)一步利用角之間的關(guān)系式，將多元轉(zhuǎn)化為一元，用函數(shù)思想或不等式方法求得最值.

圖1

即

2tanAtanB=1-tan2B，

從而

整理得

圖2

設(shè)BD=CD=m，AD=n，則

從而

于是

圖3

即

2tanAtanB=1-tan2B，

從而

3 深入思考

所以

因此，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為與直角三角形中某個(gè)銳角平分線與邊的交點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)之間的距離與斜邊長(zhǎng)度的比值有關(guān).若固定點(diǎn)A，B，則問(wèn)題最終就是與點(diǎn)C的軌跡有關(guān)，也就是解法4的方程(1),即這道高考題的背景是將直角三角形沿著某個(gè)銳角的平分線切掉直角后的那部分剩下圖形進(jìn)行設(shè)問(wèn)(如圖4).

圖4 圖5

同時(shí)，根據(jù)解法4我們還可以得到以下結(jié)論：

結(jié)論1如圖5，已知⊙O：x2+y2=r2，其中點(diǎn)A(-r,0)，B(r,0)，C是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的軌跡方程為

(x+r)(x-r)2-(3r-x)y2=0.

通過(guò)GeoGebra軟件作圖，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)D的軌跡呈現(xiàn)一個(gè)很優(yōu)美的“氣球”圖形.

4 結(jié)語(yǔ)

本題作為數(shù)學(xué)高考解答題，第2)小題難度比以往大得多，突出對(duì)思維品質(zhì)的考查，要求考生具有較高的思維靈活性，具有靈活應(yīng)用函數(shù)、不等式思想解決復(fù)雜問(wèn)題的能力，對(duì)邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)提出較高的要求.這些思維和能力的考查都需要學(xué)生在平時(shí)復(fù)習(xí)時(shí)，不僅要關(guān)注知識(shí)的儲(chǔ)備，更要重視知識(shí)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，建立思想方法的系統(tǒng)化，這樣才能在創(chuàng)新的試題中聯(lián)想相應(yīng)的知識(shí)方法，以“不變的思想”應(yīng)“萬(wàn)變的考題”，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的提升.