陳少毅

(寧德市教師進(jìn)修學(xué)院，福建 寧德 352101)

尺規(guī)作圖是數(shù)學(xué)文化中一顆璀璨的明珠，承載著幾何直觀和推理能力培養(yǎng)、數(shù)學(xué)操作性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的功能，在初中幾何教學(xué)中有著重要的地位.相較于過(guò)去的兩版課程標(biāo)準(zhǔn)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》)強(qiáng)化了尺規(guī)作圖的教學(xué)價(jià)值，提出要“通過(guò)尺規(guī)作圖等直觀操作的方法，理解平面圖形的性質(zhì)與關(guān)系”.為引導(dǎo)教師落實(shí)這個(gè)教學(xué)目標(biāo)，具有教學(xué)指揮棒意義的各級(jí)考試應(yīng)設(shè)計(jì)關(guān)注核心素養(yǎng)考查的試題，引領(lǐng)教師關(guān)注課標(biāo)變化，以實(shí)現(xiàn)對(duì)尺規(guī)作圖教學(xué)定位的轉(zhuǎn)變.下面筆者結(jié)合多年的命題實(shí)踐，談?wù)劤咭?guī)作圖的命題策略.

策略1在形式性尺規(guī)作圖中增加理性思考，實(shí)現(xiàn)命題功能轉(zhuǎn)化.

一段時(shí)間以來(lái)，由于受《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡(jiǎn)稱《舊課標(biāo)》)的影響，中考與階段性考試中都鮮有尺規(guī)作圖解答題，為了知識(shí)覆蓋面的需要，很多地方會(huì)在選擇題或填空題中滲透尺規(guī)作圖的考查，或呈現(xiàn)作圖痕跡讓學(xué)生判斷是哪一種基本作圖，或以敘述作圖步驟的形式傳達(dá)已知條件.這樣形式性呈現(xiàn)的尺規(guī)作圖考查，一般指向于對(duì)基本作圖的簡(jiǎn)單識(shí)記，并沒(méi)有太多的理性價(jià)值.實(shí)際上在選填題中考查尺規(guī)作圖，也可以進(jìn)行邏輯推理，將思維引向深度.

例1點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，若要用尺規(guī)在直線l上確定一點(diǎn)P，使得AP+BP最短，則下列作圖正確的是

( )

A. B. C. D.

(2016學(xué)年福建省寧德市初二第二學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試第10題)

本例是一道綜合性很強(qiáng)的選擇題，它雖然沒(méi)有讓學(xué)生進(jìn)行作圖操作，但要學(xué)生通過(guò)作圖痕跡判斷所作的圖形及其對(duì)應(yīng)的性質(zhì).更重要的是，還要通過(guò)圖形性質(zhì)推斷是否滿足題干中的作圖要求“AP+BP最短”，順利完成判斷不僅要會(huì)識(shí)別痕跡，還要有豐富的幾何知識(shí)和較強(qiáng)的推理能力，能契合《新課標(biāo)》的教學(xué)目標(biāo)定位.

指向理性思考的形式性尺規(guī)作圖的試題設(shè)計(jì)，除了讓學(xué)生判斷所作圖形是否符合規(guī)定條件外，也可以從尺規(guī)作圖原理解釋的角度進(jìn)行設(shè)計(jì)，讓學(xué)生運(yùn)用學(xué)過(guò)的幾何知識(shí)闡釋作圖過(guò)程的合理性；還可以用作圖的形式呈現(xiàn)圖形的部分條件，讓學(xué)生判斷屬于哪一種圖形，以不同的視角重新認(rèn)識(shí)圖形，考查圖形的判定條件.

圖1

①到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上；

②線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；

③兩點(diǎn)之間，線段最短；

④兩點(diǎn)確定一條直線.

其中能用來(lái)說(shuō)明CD是AB的垂直平分線的是：________.

(2013學(xué)年福建省寧德市初三數(shù)學(xué)期末考試第6題)

本例以作線段的垂直平分線為背景，考查學(xué)生對(duì)作圖依據(jù)的了解情況，是對(duì)《舊課標(biāo)》提出的“了解作圖的道理”這一教學(xué)目標(biāo)的呼應(yīng).考慮到學(xué)生對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的基本作圖比較熟悉，試題設(shè)計(jì)了上下不對(duì)稱的作圖方法，既向?qū)W生展示了尺規(guī)作圖方法的多樣性，也避免了對(duì)知識(shí)的簡(jiǎn)單記憶，既考查了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，又考查了思維的靈活性.

策略2在程序性尺規(guī)作圖之后增加證明題，對(duì)接推理能力考查.

在《新課標(biāo)》未公布之前，各地的尺規(guī)作圖試題基本上屬于程序性作圖，即按照試題要求完成基本作圖或課標(biāo)規(guī)定的幾種作圖.這些作圖由于流程清晰、模式固化，對(duì)多數(shù)學(xué)生而言是駕輕就熟，缺少思維的含量.為改變尺規(guī)作圖機(jī)械刻板的形象，命題者往往在尺規(guī)作圖后增加圖形證明或幾何求值問(wèn)題，將幾何直觀與邏輯推理相結(jié)合，以彌補(bǔ)作圖問(wèn)題中推理能力考查不足的狀況.

例3如圖2，已知△ABC，點(diǎn)P為BC上一點(diǎn).

圖2

1)尺規(guī)作圖：作直線EF，使得點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于直線EF對(duì)稱，直線EF交直線AC于點(diǎn)E，交直線AB于點(diǎn)F(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)；

2)在第1)小題的條件下，聯(lián)結(jié)PE，AP，若AP平分∠BAC，證明：PE=AF.

(2019學(xué)年福建省寧德市初一第二學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試第21題)

本例以作兩點(diǎn)的對(duì)稱軸為背景，考查學(xué)生對(duì)“作線段的垂直平分線”這個(gè)基本作圖的掌握情況.在達(dá)成尺規(guī)作圖的考查目標(biāo)后，又加入角平分線的元素，將北師版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第五單元中兩個(gè)重要的定理進(jìn)行了串聯(lián)，有機(jī)地整合了文字與圖形、操作與推理，既有效利用了有限的試題空間，也為教師如何在日常生活中融合模塊知識(shí)進(jìn)行教學(xué)提供了示范.

作圖后再證明試題的設(shè)計(jì)，一般是先找到一個(gè)含有垂直、中點(diǎn)或角平分線元素的圖形，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)好證明或計(jì)算的主體結(jié)構(gòu)，然后隱去圖形中上述元素的圖形直觀，要求學(xué)生以尺規(guī)作圖的形式補(bǔ)全圖形.為了不使尺規(guī)作圖部分過(guò)于程序化，命題時(shí)還可以對(duì)基本作圖進(jìn)行適當(dāng)?shù)男揎?，如將作一個(gè)角的角平分線表述為在某直線上找到一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等，讓作圖增添一些推理的成分，以增加試題的新穎度.

策略3把推理性尺規(guī)作圖作為考查的重點(diǎn)，強(qiáng)化理性思維培養(yǎng).

推理性尺規(guī)作圖，是指借助幾何推理設(shè)計(jì)作圖方案，作出滿足給定條件的目標(biāo)圖形的一種尺規(guī)作圖形式.有別于基本作圖等程序性作圖，這種作圖沒(méi)有明確的作圖指令和作圖步驟，而是要考生分析目標(biāo)圖形的特征，找尋到圖形性質(zhì)與已知條件能夠用基本作圖關(guān)聯(lián)的結(jié)合點(diǎn)，從而設(shè)計(jì)出作圖方案和步驟.由于推理性尺規(guī)作圖既能夠考查學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力，又能把學(xué)生的思維狀態(tài)用圖形直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，很好地體現(xiàn)了用直觀操作探索圖形性質(zhì)的課標(biāo)理念，因此在近幾年各地的中考試題中頻頻現(xiàn)身，是考查學(xué)生推理能力和思維水平高低的一大法寶.

例4如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，正方形DECF的3個(gè)頂點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別落在邊AB，AC，BC上.

圖3

1)用尺規(guī)作出正方形DECF；

2)若AC=4，BC=3，求正方形DECF的邊長(zhǎng).

(2020年福建省寧德市數(shù)學(xué)質(zhì)檢試題第20題)

本例將尺規(guī)作圖的考查與正方形的判定與性質(zhì)有機(jī)地融合.正方形判定條件的探索與確定成為尺規(guī)作圖的前提，尺規(guī)作圖后的圖形又為后續(xù)求值創(chuàng)造了直觀感知.由于沒(méi)有明確的作圖方向，解決這類問(wèn)題的通用方法是先作出目標(biāo)圖形的草圖，通過(guò)對(duì)目標(biāo)圖形性質(zhì)的挖掘，尋找尺規(guī)解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，最后從關(guān)鍵點(diǎn)出發(fā)完成其他作圖.本例就是先畫(huà)出滿足條件的正方形草圖DECF，然后結(jié)合性質(zhì)逐一分析點(diǎn)D，E，F(xiàn)中哪一個(gè)點(diǎn)可以用基本作圖確定，最后由正方形對(duì)角線CD與∠ACB的角平分線重合，得出頂點(diǎn)D是作圖的關(guān)鍵點(diǎn)，從而確定作圖方案.

設(shè)計(jì)推理性尺規(guī)作圖，要從圖形性質(zhì)的本質(zhì)上進(jìn)行挖掘，把推理作為試題設(shè)計(jì)的亮點(diǎn).由于尺規(guī)作圖后的圖形往往成為作圖后續(xù)解答的條件，因此要設(shè)計(jì)出一道能自然銜接操作與推理的尺規(guī)作圖實(shí)屬不易.在實(shí)際命題中，我們不妨選擇一些比較經(jīng)典的幾何圖形，從中剝離出一些圖形對(duì)稱或線段相等的成分，設(shè)計(jì)成作圖問(wèn)題.當(dāng)然這里的作圖工具，可以是尺規(guī)，也可以是限定條件的其他工具，只要問(wèn)題需要通過(guò)幾何直觀與邏輯推理加以解決即可.

例如，對(duì)于如圖4所示的平行四邊形，原題是“EG經(jīng)過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)O，且DH=BF，求證：四邊形EFGH是平行四邊形”.本題構(gòu)圖的核心是利用平行四邊形的中心對(duì)稱性，把握了這個(gè)本質(zhì)特征，我們就可以給圖形附加新的條件使它成為矩形、菱形，甚至還可以思考原平行四邊形在滿足什么樣的條件下，四邊形EFGH有可能成為正方形.如果我們把剛才的推理過(guò)程中的條件用操作的形式呈現(xiàn)，就能設(shè)計(jì)出如例5、例6的尺規(guī)作圖題.

圖4 圖5

例5如圖5，已知矩形ABCD，E是AB上一點(diǎn).利用尺規(guī)作一個(gè)特殊的平行四邊形EFGH，使得點(diǎn)F，G，H分別在BC，CD，AD上(提示：①保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法；②只需作出一種情況即可).

(2018年福建省寧德市質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題第21題)

例6如圖6，在ABCD中，E是邊AB邊上一點(diǎn)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺在CD邊上確定點(diǎn)F，使得∠AFC=∠AEC.

圖6

(2017學(xué)年福建省寧德市初二第二學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試第22題)

策略4對(duì)綜合性尺規(guī)作圖進(jìn)行創(chuàng)新性設(shè)計(jì)，促進(jìn)核心素養(yǎng)形成.

與《舊課標(biāo)》一樣，《新課標(biāo)》仍然重視學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，提倡能運(yùn)用幾何直觀、邏輯推理等方法解決問(wèn)題，能在問(wèn)題解決的過(guò)程中進(jìn)行反思，形成批判性思維和創(chuàng)新意識(shí).尺規(guī)作圖因其在思維與實(shí)踐、直觀與邏輯之間能自然銜接，在學(xué)生發(fā)散性思維與創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)和在實(shí)踐能力的形成與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累上有著天然的優(yōu)勢(shì).因此命題者可以依托尺規(guī)作圖，創(chuàng)新性地設(shè)計(jì)一些綜合性、操作性的試題，讓學(xué)生運(yùn)用幾何圖形性質(zhì)，借助數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)直觀聯(lián)想、大膽假設(shè)、嚴(yán)密推理尋求問(wèn)題的解決，以考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成.

例7我們把有一組鄰邊相等、一組對(duì)邊平行但不相等的四邊形稱作“準(zhǔn)菱形”.

1)證明“準(zhǔn)菱形”性質(zhì)：“準(zhǔn)菱形”的一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角.

2)已知在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且四邊形ABDE為“準(zhǔn)菱形”.請(qǐng)?jiān)诮o出的△ABC(如圖7)中作出3種不一樣的“準(zhǔn)菱形”ABDE，并寫(xiě)出所作圖形中DE的長(zhǎng)(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法).

圖7

(2016年福建省寧德市質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題第25題)

本題將新定義問(wèn)題與操作性問(wèn)題結(jié)合在一起，釋放出的導(dǎo)向意義不言而喻，即要引導(dǎo)教師重視數(shù)學(xué)的閱讀與理解，重視綜合與實(shí)踐的教學(xué)與考查.第1)小題考查學(xué)生完整證明幾何命題的能力，即要將文字命題轉(zhuǎn)化成圖形表示和幾何符號(hào)命題，對(duì)學(xué)生的幾何直觀、概念理解和推理能力有較高的要求；第2)小題是在概念與性質(zhì)理解基礎(chǔ)上的作圖與計(jì)算，由于圖形的不確定性，因此問(wèn)題具有一定的開(kāi)放性，指向于推理能力、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)等核心素養(yǎng)的考查.

綜合性尺規(guī)作圖進(jìn)行創(chuàng)新性試題的背景選擇，不僅指向于數(shù)學(xué)內(nèi)部整合，更要著眼于解決實(shí)際問(wèn)題，或解決跨學(xué)科融合的問(wèn)題，以考查學(xué)生學(xué)以致用的意識(shí)和綜合實(shí)踐能力.

例8李大爺承包了一個(gè)四邊形魚(yú)塘，魚(yú)塘4個(gè)角的頂點(diǎn)A，B，C，D上各有一棵大樹(shù).由于養(yǎng)殖效益較好，李大爺想把原來(lái)的魚(yú)塘擴(kuò)建，擴(kuò)建后的魚(yú)塘仍然是一個(gè)四邊形，但受政策影響，4棵大樹(shù)要原地保留，于是只好安排在新建魚(yú)塘的各邊上，圖8是原魚(yú)塘的示意圖.對(duì)于新擴(kuò)建的四邊形魚(yú)塘，李大爺有3種設(shè)計(jì)方案：

圖8

方案1新魚(yú)塘是一個(gè)任意的矩形；

方案2新魚(yú)塘是一個(gè)面積是原來(lái)兩倍的平行四邊形；

方案3新魚(yú)塘是一個(gè)面積是原來(lái)兩倍的菱形.

請(qǐng)你選擇其中一種方案，用尺規(guī)作圖的方法幫助李大爺在圖8的基礎(chǔ)上作出新四邊形魚(yú)塘的示意圖.

特別提醒：由于3種方案的作圖難度逐步加大，完成作圖的得分也隨著難度增加而增加，選擇條件方案1,2,3作圖的滿分分別為6分、8分和10分，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況選擇適當(dāng)?shù)姆桨高M(jìn)行作圖.

(2022年福建省寧德市數(shù)學(xué)模擬卷第22題)

本題脫胎于一道中考試題，但又做了實(shí)際性改造和創(chuàng)新性設(shè)計(jì).問(wèn)題以擴(kuò)建魚(yú)塘為背景，提出3個(gè)由易到難的作圖方案供學(xué)生選擇，讓不同層次的學(xué)生都有發(fā)揮的可能，讓他們?cè)跀?shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.實(shí)際情景的綜合性尺規(guī)作圖問(wèn)題，背景的選取很重要：一方面要符合生產(chǎn)生活實(shí)際，另一方面要便于考生抽象成數(shù)學(xué)模型，能用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)加以解決，實(shí)現(xiàn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的思維解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的課程目標(biāo).

命題無(wú)止境，一紙意難平.值此《新課標(biāo)》頒布之際，把幾年的尺規(guī)作圖心得與大家分享，旨在引起廣大初中數(shù)學(xué)命題人員的共鳴，關(guān)注《新課標(biāo)》對(duì)尺規(guī)作圖教學(xué)意義的新定位，在尺規(guī)作圖命制中多設(shè)置一些理性思維的元素，引領(lǐng)一線教師重視尺規(guī)作圖在探索幾何圖形性質(zhì)上的作用，讓尺規(guī)作圖這朵思維之花綻放新的光彩.