虞哲駿, 馮 斌

(1.寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)，浙江 寧波 315200；2.寧波市教育局教研室，浙江 寧波 315100)

“本手、妙手、俗手”是圍棋的3個(gè)術(shù)語(yǔ).對(duì)于數(shù)學(xué)而言，筆者認(rèn)為“本手”是基礎(chǔ)知識(shí)與通性通法，“妙手”是靈感乍現(xiàn)的“秒殺”與“創(chuàng)造”，“俗手”是死記硬背的“模型”和“套路”.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該立足“本手”，只有“本手”的功夫扎實(shí)了，理解深刻了，數(shù)學(xué)能力水平與素養(yǎng)才會(huì)提高，才有可能出現(xiàn)“妙手”.在高三復(fù)習(xí)中，我們有大量的題目要做要講，但筆者認(rèn)為真正要用好的題目是高考真題.挖掘高考真題的本質(zhì)內(nèi)涵才是正道，才能引導(dǎo)學(xué)生從“本手”走向“妙手”.自2004年起，浙江省數(shù)學(xué)高考自主命題形成了自己的特點(diǎn)和風(fēng)格，它始終遵循有利于學(xué)生、有利于高中數(shù)學(xué)教學(xué)、有利于高校選拔人才的原則，在堅(jiān)持考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重考查思維能力[1].2022年是浙江省自主命題的最后一年，下面筆者從2022年浙江省數(shù)學(xué)高考第22題入手，分析第2)小題第②問(wèn)的3種解法，嘗試從本質(zhì)上探究該題的背景，以期為平時(shí)的復(fù)習(xí)和教學(xué)提供參考.

1 真題呈現(xiàn)

1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

2)已知a,b∈R，曲線y=f(x)上不同的3個(gè)點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),(x3,f(x3))處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a,b).證明：

②若0

(注：e=2.718 28……是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).)

(2022年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第22題)

該題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、精煉，但所蘊(yùn)涵的思想?yún)s很豐富，求解難度也極大.主要考查導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)切線方程、判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)與不等式的綜合問(wèn)題中的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、化歸與轉(zhuǎn)化的思想，貫穿了數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).

2 解法探究

第1)小題難度不大，主要考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，此處不再討論.第2)小題的第①問(wèn)主要考查切線方程，從方程有3個(gè)不同的解的角度入手，證明不等式，難度適中.第②問(wèn)看上去結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，涉及的變量較多，主要考查零點(diǎn)范圍估計(jì)問(wèn)題，難度較大.以下筆者將從減元的視角出發(fā)，介紹第②問(wèn)的3種解法.

分析由x1,x2,x3滿足y=f′(xi)(x-xi)+f(xi),知x1,x2,x3是f′(x)(x-a)-f(x)+b=0的3個(gè)正實(shí)數(shù)根，即

因?yàn)閍

0

于是

上式等價(jià)于

由g(t1)=g(t3)=0,得

且

t1>t3,

即

從而φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，于是

可知h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,故h(x)

兩式相減,得

化簡(jiǎn)得

要證

只需證

故只需證

從而

(1)

分析y=g(t)的圖像可知：對(duì)于給定的m∈(0,1)，當(dāng)b增大時(shí)，g(t)圖像下移，t1,t3均減小；反之當(dāng)b減小時(shí)，g(t)圖像上移，t1,t3均增大.

從而φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又φ(0)=0，故引理得證.

m(t1-1)2=2(t1-1-lnt1),

由引理1可知

解得

從而

再證明式(1)的左邊：只需證明極端情況，此時(shí)

只需證

由引理1可知

1)當(dāng)0

2)當(dāng)x>1時(shí)，

解法3是本題的“妙手”，可遇不可求.要想下出真正的“妙手”，必須在平日有一定的經(jīng)驗(yàn)積累和反思總結(jié)，形成較為完善的知識(shí)體系，唯有這樣，才有可能完成真正卓越的“妙手”.

3 試題探源

“問(wèn)渠哪得清如許，為有源頭活水來(lái)”.原題源于何處，翻翻我們學(xué)的教材、做做歷年高考真題就知道了.事實(shí)上，教材和歷年高考真題是高考試題的重要來(lái)源，是數(shù)學(xué)知識(shí)的“生長(zhǎng)地”，是高考復(fù)習(xí)的“根據(jù)地”，是高考試題的“策源地”.筆者查閱了相關(guān)資料，發(fā)現(xiàn)本題和2014年全國(guó)數(shù)學(xué)高考Ⅱ卷理科第21題有異曲同工之妙.

例2已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x.

1)討論f(x)的單調(diào)性；

2)設(shè)g(x)=f(2x)-4bf(x)，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0，求b的最大值；

(2014年全國(guó)數(shù)學(xué)高考Ⅱ卷理科試題第21題)

在例1第②問(wèn)的證明過(guò)程中，涉及對(duì)lnx的有理形式的刻畫，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=lnx在x=0處無(wú)意義，所以轉(zhuǎn)而研究g(x)=ln(x+1)的性質(zhì).在高等數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)借助泰勒展開(kāi)，得到麥克勞林公式

經(jīng)計(jì)算可得:

1)當(dāng)λ≤0時(shí)，恒有

即

即

令a=x2，b=1,則

(2)

可以看出不等式結(jié)構(gòu)變得比較復(fù)雜了，因此我們的討論停留于此.

即

則

2λ2-4λm(m+2)+m(3m2+4m-1)≥0.

令φ(m)=2λ2-4λm(m+2)+m(3m2+4m-1)，則

φ′(m)=(m+1)(9m-8λ-1).

φ′(m)=(m+1)(9m-8λ-1)<0,

至此，我們完成了命題意圖的深度挖掘.

4 教學(xué)啟示

高考以“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”為考查要求，評(píng)價(jià)學(xué)生素養(yǎng)的達(dá)成程度[3].例1作為2022年浙江省數(shù)學(xué)高考試題的壓軸題，以高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的函數(shù)為素材，以常用的方法為手段構(gòu)造函數(shù)，并利用這些函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)進(jìn)一步研究問(wèn)題.將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)有機(jī)結(jié)合，考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)解決復(fù)雜問(wèn)題的能力，對(duì)邏輯推理能力、運(yùn)算能力有較高的要求，有效區(qū)分考生的思維層次，為高校選拔優(yōu)秀人才服務(wù).縱觀歷年高考?jí)狠S題，從來(lái)不是偏深的難題、怪題，而是體現(xiàn)觸類旁通的靈活性和變通性.基于高考的教學(xué)導(dǎo)向，我們?cè)谄綍r(shí)的解題教學(xué)中也要更新理念，努力尋求合理的教學(xué)策略，即夯實(shí)雙基，引導(dǎo)思考，培養(yǎng)能力，提升素養(yǎng).