余繼光, 張小娟

(柯橋中學(xué),浙江 紹興 312030)

數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)之一是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、創(chuàng)新性、選擇性，因此需要尋找一個(gè)可行的教學(xué)(作業(yè))途徑，變“課前預(yù)習(xí)”的模糊性作業(yè)為“前置作業(yè)”的可操作性、可視性、可匹配性的創(chuàng)新實(shí)踐.當(dāng)然要始終關(guān)注前置作業(yè)的課堂關(guān)聯(lián)度水平和探究水平，為此數(shù)學(xué)前置作業(yè)設(shè)計(jì)實(shí)踐要達(dá)到三匹配和四原則.本文在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行前置作業(yè)的設(shè)計(jì)，積累前置作業(yè)設(shè)計(jì)的經(jīng)驗(yàn)，修正教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)踐中的不足，拋磚引玉.

1 數(shù)學(xué)前置作業(yè)設(shè)計(jì)實(shí)踐中的三匹配

1.1 前置作業(yè)要跟教學(xué)目標(biāo)相匹配

數(shù)學(xué)前置作業(yè)設(shè)計(jì)要考慮“哪些作業(yè)”“針對(duì)哪個(gè)教學(xué)目標(biāo)”，始終堅(jiān)持為落實(shí)教學(xué)目標(biāo)服務(wù)；前置作業(yè)設(shè)計(jì)要緊緊抓住教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)與難點(diǎn)，為可能的數(shù)學(xué)思維痛點(diǎn)打“預(yù)防針”.

1.2 前置作業(yè)要與教學(xué)內(nèi)容相匹配

數(shù)學(xué)前置作業(yè)不能出現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容沒(méi)有針對(duì)性的作業(yè)，或超出教學(xué)內(nèi)容的要求，或與教學(xué)內(nèi)容無(wú)關(guān)的知識(shí)要求，應(yīng)由淺入深、由宏觀到微觀.

1.3 前置作業(yè)要與學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)儲(chǔ)備和能力水平匹配

數(shù)學(xué)前置作業(yè)的難易程度把握要得當(dāng)，作業(yè)量控制在合理水平，要考慮不同數(shù)學(xué)思維層次學(xué)生的不同需求，避免學(xué)生厭學(xué)、自卑，使前置作業(yè)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的必要補(bǔ)充.

數(shù)學(xué)前置作業(yè)的三匹配是教學(xué)設(shè)計(jì)的基本點(diǎn)，只有在深入理解《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)與新課程數(shù)學(xué)教材的基礎(chǔ)上，才能有所創(chuàng)作，才能形成教學(xué)匹配，因此要先學(xué)習(xí)《課標(biāo)》并深入鉆研數(shù)學(xué)教材.

2 數(shù)學(xué)前置作業(yè)設(shè)計(jì)實(shí)踐中的四原則

2.1 科學(xué)性原則

數(shù)學(xué)前置作業(yè)的每一個(gè)設(shè)計(jì)必須概念正確，方法科學(xué)，內(nèi)容及情境符合實(shí)際，表述科學(xué)準(zhǔn)確，答案合理正確且符合邏輯.

2.2 循序漸進(jìn)原則

數(shù)學(xué)前置作業(yè)設(shè)計(jì)要按照學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)理論，規(guī)劃好學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)階的路線圖，將終結(jié)性目標(biāo)分解為幾個(gè)適當(dāng)?shù)碾A段性目標(biāo).前置作業(yè)內(nèi)容不代替教學(xué)內(nèi)容，從認(rèn)知角度來(lái)看是粗線條、潛意識(shí)的，為進(jìn)入教學(xué)內(nèi)容做鋪墊與銜接，突出學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣性、自主性.

2.3 分層原則

前置作業(yè)要尊重學(xué)生數(shù)學(xué)思維的差異性，給學(xué)生選擇的機(jī)會(huì)，符合分層、彈性、個(gè)性化要求.數(shù)學(xué)前置作業(yè)設(shè)計(jì)的量要少而精，比如大單元前置作業(yè)、核心概念前置作業(yè)等.

2.4 多樣化原則

數(shù)學(xué)前置作業(yè)既要有對(duì)已學(xué)內(nèi)容鞏固類的，又要有診斷類的、建構(gòu)類的；既要有紙筆作業(yè)，也要有觀察、體驗(yàn)、制作、測(cè)量、探究、調(diào)查、閱讀等多種形式的作業(yè).

3 大單元前置作業(yè)設(shè)計(jì)具體實(shí)踐案例——空間直線、平面的垂直

3.1 教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容

1)單元教學(xué)目標(biāo).

“借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的垂直關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路”[1]的總目標(biāo)可細(xì)化為：

第一，從生活環(huán)境中的“直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直”，過(guò)渡到數(shù)學(xué)情境下的“直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直”概念形成；

第二，從直觀觀察到語(yǔ)言描述“直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直”；

第三，了解異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的概念.

2)單元教學(xué)內(nèi)容.

借助幾何體，通過(guò)直觀感知了解空間直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的關(guān)系，歸納出以下的判定定理：

定理1如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.

定理2如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.

以上可細(xì)化為：

第一，空間兩直線垂直、一直線與一平面垂直、平面與平面垂直的關(guān)系描述；

第二，空間兩直線垂直、一直線與一平面垂直、平面與平面垂直的關(guān)系判斷；

第三，異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的定義描述.

3.2 前置作業(yè)

前置作業(yè)布置時(shí)機(jī)：此單元教學(xué)前的周末.

前置作業(yè)完成量：學(xué)生可以選擇并完成其中的一部分作業(yè).

1)閱讀：閱讀人教A版《數(shù)學(xué)(必修2)》第8.6節(jié)“空間直線、平面的垂直”.

2)制作：用簡(jiǎn)易材料(鐵絲或細(xì)木棍)制作一個(gè)正方體框架、一個(gè)正三棱柱框架、一個(gè)正四面體框架，準(zhǔn)備一些有色棉線或細(xì)鐵絲.

3)觀察：畫出所制作的正方體框架、正三棱柱框架、正四面體框架的直觀圖.

4)思考問(wèn)題：

①在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與棱AA1異面垂直的棱有哪些？你能寫出與AC1垂直的平面嗎？你能寫出與平面AB1C1垂直的平面嗎？

②在正三棱柱ABC-A1B1C1和正四面體A-BCD中，你能提出類似的“異面垂直直線”“直線與平面垂直”“平面與平面垂直”的問(wèn)題嗎？

5)文本作業(yè)：

問(wèn)題1如圖1，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，

圖1 圖2 圖3

①BD1與B1C的位置關(guān)系是什么？

②BD1與平面AB1C的位置關(guān)系是什么？

③平面AB1C與平面BB1D1D的位置關(guān)系是什么？

以上你所判斷的位置關(guān)系是根據(jù)教材中的哪些定義與定理判斷的？

問(wèn)題2如圖2，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，A1A=2，D為C1C的中點(diǎn).

①過(guò)點(diǎn)C1，D分別作平面ABB1A1的垂線，垂足分別為H，G；

②分別指出直線BC1，BD與平面ABB1A1所成的角.

問(wèn)題3如圖3，在正四面體D-ABC中，棱長(zhǎng)為1.

①過(guò)點(diǎn)D作底面ABC的垂線，垂足為O，聯(lián)結(jié)AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H，你能說(shuō)明∠DAH，∠DHA分別是“異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角”中的哪一個(gè)？

②求sin∠DAH和cos∠DHA的值.

問(wèn)題4在上述3個(gè)幾何體中，你能分別提出(舉出)下列具體問(wèn)題的實(shí)例嗎？

①異面垂直的兩條直線；

②某直線與某平面垂直；

③某平面與某平面垂直；

④異面直線所成角；

⑤直線與平面所成角；

⑥平面與平面所成角.

6)作業(yè)評(píng)價(jià)：

①通過(guò)學(xué)生的前置作業(yè)完成情況，了解學(xué)生對(duì)于這一單元閱讀了什么？知道了什么？

②根據(jù)學(xué)生的前置作業(yè)完成情況，了解哪幾個(gè)概念在學(xué)生腦海中有了潛意識(shí)？

③哪些具體內(nèi)容還不太理解？為后續(xù)的教學(xué)重點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整與修改.

3.3 設(shè)計(jì)意圖

1)在整個(gè)前置作業(yè)中，學(xué)生在動(dòng)手制作、動(dòng)腦思考、動(dòng)筆描述中度過(guò)，將本大單元中6個(gè)核心問(wèn)題淺淺地貼近學(xué)生腦海，展示在學(xué)生面前，將生活中經(jīng)常見到的幾何體——正方體、正三棱柱、正四面體，轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幾何體中；

2)前置作業(yè)中的4個(gè)問(wèn)題構(gòu)成問(wèn)題串，前3個(gè)為封閉性的，第4個(gè)問(wèn)題為開放性的，不同數(shù)學(xué)思維水平的學(xué)生可以從中有所選擇，前置作業(yè)量是適當(dāng)?shù)模?/p>

3)學(xué)生在自主學(xué)習(xí)過(guò)程中，一定存在問(wèn)題與思維痛點(diǎn)，通過(guò)前置作業(yè)將其暴露出來(lái)，是一個(gè)不可多得的素材；

4)“直線、平面的垂直”是一個(gè)大單元，概念集中，聯(lián)系緊密，在前置作業(yè)中，主要是為學(xué)生提供一個(gè)比較宏觀的認(rèn)知，為后續(xù)逐個(gè)擊破打下基礎(chǔ)；

5)前置作業(yè)是一個(gè)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)，要根據(jù)不同學(xué)生的數(shù)學(xué)思維層次，在緊抓教材重點(diǎn)難點(diǎn)的基礎(chǔ)上，不斷地改變作業(yè)設(shè)計(jì)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性；

6)以上前置作業(yè)是在“三匹配”“四原則”指導(dǎo)下創(chuàng)作實(shí)踐探索，一定有不足之處，不斷實(shí)踐，積極改進(jìn).

4 核心概念前置作業(yè)設(shè)計(jì)具體實(shí)踐案例——基本不等式

4.1 教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容

1)教學(xué)目標(biāo)：

基本不等式“能夠在現(xiàn)實(shí)情境或數(shù)學(xué)情境中，概括出數(shù)學(xué)對(duì)象的一般特征，初步學(xué)會(huì)用3種語(yǔ)言(自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言)表達(dá)數(shù)學(xué)研究對(duì)象，并能進(jìn)行轉(zhuǎn)換”[1],總目標(biāo)可細(xì)化為：

①學(xué)會(huì)由圖形中線段或面積關(guān)系寫出不等式，學(xué)會(huì)由“形”抽象到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化；

②借助作差比較方法，探究并了解基本不等式的證明過(guò)程；

③理解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾何解釋；

④掌握基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題的基本方法.

2)教學(xué)內(nèi)容：

第一，介紹二元的算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)之間的不等關(guān)系，突出了解基本不等式的代數(shù)、幾何背景；

第二，用基本不等式解決問(wèn)題的基本方法和簡(jiǎn)單的應(yīng)用；

第三，不等式證明(要求較低).

4.2 前置作業(yè)

前置作業(yè)布置時(shí)機(jī)：基本不等式內(nèi)容教學(xué)前的一天，最佳是周末.

前置作業(yè)完成量：學(xué)生可以選擇完成其中的一部分作業(yè)：

1)回顧：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)概念、算術(shù)平方根概念、一個(gè)數(shù)的完全平方為非負(fù)數(shù)的概念、兩個(gè)數(shù)的大小比較方法.

2)閱讀：閱讀人教A版《數(shù)學(xué)(必修1)》中的基本不等式.

3)觀察圖形：

①如圖4，設(shè)AE=a，BE=b，寫出圖形中的正方形面積與4個(gè)直角三角形面積的不等關(guān)系式;

圖4 圖5 圖6

②如圖5，設(shè)AC=a，BC=b，根據(jù)圓中半弦不大于半徑原理寫出圖形的不等關(guān)系式;

③如圖6，正方形的邊長(zhǎng)為a+b，請(qǐng)你利用AC+BC≥AB，寫出一個(gè)含有a,b的不等式，說(shuō)明等號(hào)何時(shí)成立.

4)思考問(wèn)題：

對(duì)于圖4～6中的不等式，你會(huì)證明嗎？

5)文本作業(yè)：

圖7

①試寫出經(jīng)過(guò)觀測(cè)點(diǎn)A的每?jī)奢v車之間的時(shí)間間隔T與速度v的函數(shù)關(guān)系式；

②(借助圖5中的不等式)問(wèn)v為多少時(shí)，經(jīng)過(guò)觀測(cè)點(diǎn)A的車流量(即單位時(shí)間通過(guò)的汽車數(shù)量)最大？

②經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的車流量最大，即每?jī)奢v車之間的時(shí)間間隔T最小，故

設(shè)計(jì)意圖交通安全隨著汽車的不斷增加，愈來(lái)愈成為人們關(guān)注的一個(gè)問(wèn)題.通過(guò)此題的求解，學(xué)生可以從理性上了解這方面的知識(shí).從目標(biāo)匹配角度來(lái)看，也是基本不等式的數(shù)學(xué)模型思想的預(yù)演，是問(wèn)題解決能力的一次檢驗(yàn)，將前置作業(yè)與課程目標(biāo)相匹配.

問(wèn)題2設(shè)a,b,c∈R+.

①在電腦幾何畫板上，圖形以a,b為直角邊長(zhǎng)的Rt△AMD、b,c為直角邊長(zhǎng)的Rt△MNE、c,a為直角邊長(zhǎng)的Rt△NBF順次拼接而構(gòu)成，改變a,b,c的數(shù)值，顯示AM+MN+NB與AB的大小，得到各式各樣的圖案，如圖8～11，觀察其中的規(guī)律；

圖8 圖9

圖10 圖11

②根據(jù)圖8～11中呈現(xiàn)的“AM+MN+NB與AB的大小關(guān)系”的數(shù)量規(guī)律，寫出一個(gè)關(guān)于a,b,c的不等式.

學(xué)生展示①觀察發(fā)現(xiàn)不論a，b，c大小如何變化，AM+MN+NB≥AB，只有當(dāng)a=b=c時(shí)，AM+MN+NB=AB.

設(shè)計(jì)意圖為了鞏固學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的“形”與“數(shù)”的轉(zhuǎn)化能力，讓學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)腦與實(shí)踐的過(guò)程中真正體悟不等式的使用價(jià)值，設(shè)計(jì)這樣一個(gè)前置作業(yè).

問(wèn)題3如圖12，以AB為直徑作半圓O，作CD⊥AB交AB于點(diǎn)C，在此基礎(chǔ)上，作OE⊥AB交半圓于點(diǎn)E，且CF⊥OD交OD于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CE，OD，設(shè)BC=a，AC=b.

圖12

①說(shuō)一說(shuō)線段OE，CD，CE，DF分別與a,b的數(shù)量關(guān)系;

②由OE，CD，CE，DF的大小關(guān)系，寫出不等式.

又

所以

從而

在Rt△OCD中，由CF⊥OD，CD2=DF·OD，得

在Rt△OEC中，

CE>OE，

在Rt△OCD中，

OD>CD，

又

OE=OD，

從而

OE>CD.

在Rt△FDC中，

CD>DF,

從而

CE>OE>CD>DF，

因此

由圖12可知，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合，即a=b時(shí)，有

CE=OE=CD=DF=a，

即

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取到等號(hào).

設(shè)計(jì)意圖不等式由形而來(lái)，抽象為數(shù)的表達(dá)，然后再回到形，讓學(xué)生感悟數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合.

6)作業(yè)評(píng)價(jià)：

①通過(guò)學(xué)生前置作業(yè)的完成情況，了解學(xué)生對(duì)于這一核心知識(shí)點(diǎn)讀了什么？知道了什么？

②通過(guò)學(xué)生前置作業(yè)的完成情況，了解學(xué)生對(duì)于由形抽象到數(shù)所達(dá)到的理解水平；

③在不等式的表達(dá)過(guò)程中，了解學(xué)生還有哪些不理解之處？主要的思維痛點(diǎn)在哪里？

4.3 設(shè)計(jì)意圖

1)進(jìn)入高一階段后，學(xué)生對(duì)平面幾何圖形較熟悉，通過(guò)觀察圖形，寫出不等式，體現(xiàn)由形到數(shù)思想的應(yīng)用，貼近學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展區(qū)，由直觀朝著抽象伸展，觀察圖形寫不等式，可以檢測(cè)學(xué)生是否閱讀教材；

2)通過(guò)現(xiàn)實(shí)情境，觀察學(xué)生的函數(shù)建模能力，為基本不等式的應(yīng)用打下基礎(chǔ)；

3)基本不等式前置作業(yè)淡化不等式的變形技巧，突出幾何直觀，使學(xué)生對(duì)基本不等式有一個(gè)初步的了解，與基本不等式的教學(xué)目標(biāo)匹配.

5 前置作業(yè)設(shè)計(jì)具體實(shí)踐反思

1)前置作業(yè)起著課堂教學(xué)前的預(yù)習(xí)作用，把握好設(shè)計(jì)的“度”最關(guān)鍵，也是最難的，特別是針對(duì)不同數(shù)學(xué)思維水平的學(xué)生.在實(shí)踐中，數(shù)學(xué)思維能力強(qiáng)者往往完成量多，完成質(zhì)量相對(duì)較高；數(shù)學(xué)思維能力較弱者往往完成量少，完成質(zhì)量也相對(duì)較差.

2)大單元的前置作業(yè)與單一核心知識(shí)點(diǎn)前置作業(yè)，在設(shè)計(jì)重點(diǎn)方面，前者線條要粗一點(diǎn)、宏觀一點(diǎn)，整體把握住即可；后者線條要精一點(diǎn)、微觀一點(diǎn)、深入一點(diǎn).

3)前置作業(yè)不同于鞏固性作業(yè)，前置作業(yè)需要提供一些探究性、興趣性的內(nèi)容，吸引學(xué)生，促使學(xué)生去動(dòng)手做、動(dòng)腦思、動(dòng)筆寫，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力.

4)前置作業(yè)設(shè)計(jì)成問(wèn)題串形式，給學(xué)生提供選擇性，其中的開放性問(wèn)題，給學(xué)生提供創(chuàng)新性思考平臺(tái).