袁名揚(yáng)

【摘要】初中階段有關(guān)平行的問(wèn)題一般都涉及到證明兩直線的平行以及平行線的判定與性質(zhì)，尤其是對(duì)于較復(fù)雜的題目，通常是將平行的知識(shí)點(diǎn)與中位線定理等其他知識(shí)點(diǎn)綜合考察.基于此，文中將相關(guān)題目歸納分類(lèi)并根據(jù)題目的命題特點(diǎn)總結(jié)了解決初中平面幾何平行題型的思路與方法.

【關(guān)鍵詞】平面幾何;歸納分類(lèi);解題思路

在初中各種考試命題中，有關(guān)平行的題型靈活多變，應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)也是靈活多樣，下面筆者對(duì)初中平面幾何中涉及到的平行題型進(jìn)行了分類(lèi)探究，將題型按照一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，在應(yīng)用的基礎(chǔ)上進(jìn)行難度提升，加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生在處理平行問(wèn)題時(shí)，建立起一定的體系框架，能將平行題型進(jìn)行分類(lèi)，準(zhǔn)確定位考查的知識(shí)點(diǎn)與技能，并在這一過(guò)程中，不斷提高邏輯思維能力和分析、解決問(wèn)題的能力.

1 平行線的判定

例1 如圖1，過(guò)點(diǎn)P作射線PM和PN分別與⊙O相切于M、N兩點(diǎn)，作直徑MA且延長(zhǎng)MA交射線PN于點(diǎn)B，連接OP、AN，試證明OP∥AN.

分析 由題意可連接ON，欲證OP∥AN，即證∠POM=∠MAN.因?yàn)椤鱉PO≌△NPO，可得∠POM=∠PON.最后又因?yàn)椤螹AN=12∠MON，進(jìn)而可以得到∠POM=∠MAN.

證明 如圖1，連接ON由題意PM、PN分別與⊙O相切于M、N兩點(diǎn)，可得PM=PN，∠MPO=∠NPO.因?yàn)椤鱉PO≌△NPO，所以∠POM=∠PON.又因?yàn)椤螹AN=12∠MON，所以∠POM=∠MAN，所以O(shè)P∥AN.

本題添加了一條輔助線以便于更簡(jiǎn)單的證明結(jié)論，探究了角之間的關(guān)系，利用了“同位角相等，兩直線平行”的判定定理得出OP∥AN的結(jié)論.

例2 如圖2，在△ABC中，點(diǎn)E、M在AB上，點(diǎn)N、F在AC上，且BF∥EN，CE∥FM，試判斷MN與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

分析 利用兩個(gè)平行的條件，根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例，可以得到兩個(gè)關(guān)系式AB·AN=AE·AF和AC·AM=AE·AF.進(jìn)而可以得到比例式ABAM=ACAN，因此MN∥BC.

證明 MN∥BC.因?yàn)锽F∥EN，所以AB·AN=AE·AF.又因?yàn)镃E∥FM，即AC·AM=AE·AF，所以AB·AN=AC·AM，

進(jìn)而ABAM=ACAN，所以MN∥BC.

這道例題典型地運(yùn)用了定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊，使得解題變得簡(jiǎn)單明了.在這里要注意一點(diǎn)，上述定理要求的不是任意對(duì)應(yīng)線段成比例，這是萬(wàn)萬(wàn)不能夠推出來(lái)兩直線平行的.不能對(duì)定理斷章取義，要理解并記憶清楚.

2 與中位線定理相結(jié)合

在同一前提下，梯形或三角形的中位線定理含有兩個(gè)確定的結(jié)論：一個(gè)是位置關(guān)系：即中位線平行于兩底（或第三邊）;另一個(gè)是數(shù)量關(guān)系：即中位線等于兩底和（或第三邊）的一半.由于中位線可以平移、倍分轉(zhuǎn)化，因此這兩個(gè)結(jié)果在試題中的應(yīng)用可謂非常廣泛.如果題目中直接給出條件或者是可以間接的得出中位線定理，那么中位線與第三邊（或兩底）平行的位置關(guān)系是顯而易見(jiàn)的，不需要過(guò)多的證明.但通常與中位線定理相關(guān)的題目不單單是為了證明兩直線平行，更多的是間接利用了中位線定理的位置關(guān)系得出平行，再利用平行的性質(zhì)來(lái)解決其他問(wèn)題.所以當(dāng)遇到線段中點(diǎn)或三角形中位線時(shí)，常?？紤]是否可以利用中位線來(lái)解決問(wèn)題，在解題過(guò)程中往往會(huì)運(yùn)用到有關(guān)平行的知識(shí).

例3 如圖3，E、F分別是梯形ABCD的兩邊AD、BC的中點(diǎn)，MF∥EB交CD于點(diǎn)M，連接EM，求證：EM=BF.

分析 依題意AD、BC的中點(diǎn)分別是E、F，可知BF=12BC.因此，欲證EM=BF，只需證明EM=12BC.根據(jù)三角形中位線定理，考慮延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，構(gòu)造出一個(gè)帶有中位線的三角形，就可以利用三角形中位線定理使問(wèn)題得到解決.

證明 延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.由四邊形ABCD是梯形，可知AB∥CD，所以∠ABP=∠CPB.又因?yàn)椤螦EB=∠DEP且AE=ED，所以△AEB≌△DEP（AAS）.又因?yàn)镕B=FC且MF∥BP，所以PM=MC.所以EM=12BC=BF.

上述例題雖然沒(méi)有直接要求證明兩直線平行，但是我們?cè)谧C明過(guò)程中運(yùn)用到了平行線的性質(zhì)定理，然后再進(jìn)一步地解決問(wèn)題.這說(shuō)明在涉及到四邊形中邊、角相等的證明問(wèn)題時(shí)，把四邊形中的邊、角轉(zhuǎn)化或構(gòu)造成三角形的邊、角更容易解決問(wèn)題.當(dāng)題設(shè)中含有中點(diǎn)的數(shù)量或位置條件時(shí)，比如線段的一半或兩倍關(guān)系或線段平行，則可考慮中位線;而當(dāng)題設(shè)中有中點(diǎn)條件但不完備時(shí)，若想使用中位線定理，我們可以通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造出中位線，從而為使用中位線定理創(chuàng)造條件.

3 與平行四邊形相結(jié)合

平行四邊形是我們熟知的一種特殊的四邊形，其獨(dú)特性表現(xiàn)在對(duì)邊平行且相等、對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)等.所以我們能夠利用平行四邊形的性質(zhì)，也就是平行四邊形的兩組對(duì)邊平行來(lái)解決我們的平行問(wèn)題.

例4 如圖4，點(diǎn)E是ABCD的邊AD的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于F，若CD=6，求BF的長(zhǎng).

分析 求BF的長(zhǎng)其實(shí)就是讓我們?nèi)デ笪粗€段AF的長(zhǎng).這里要結(jié)合圖形特征考慮，四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)觀察，我們可以利用平行四邊形的性質(zhì)得到兩個(gè)三角形△EAF與△EDC全等，進(jìn)而得到FA=CD=6，自然可求出BF的長(zhǎng).

解 已知四邊形ABCD是平行四邊形，且E是ABCD的邊AD的中點(diǎn)，所以BA∥CD且BA=CD，AE=ED.又因?yàn)樵凇鱁AF和△EDC中∠AEF=∠DEC、∠BFC=∠DCF、AE=ED，所以△EAF≌△EDC.故FA=CD=BA=6.所以BF=BA+AF=6+6=12.

上述兩道例題說(shuō)明平行四邊形是個(gè)特別的圖形，有著獨(dú)特的性質(zhì)，利用它我們可以得到對(duì)邊平行的位置關(guān)系，進(jìn)而可以解決很多問(wèn)題.由此可見(jiàn)，平行關(guān)系在各類(lèi)平面幾何題目中都會(huì)借助一些常見(jiàn)的基本圖形為載體而頻繁出現(xiàn)，需要經(jīng)常練習(xí)相關(guān)題目才能熟能生巧，利用圖形的性質(zhì)特點(diǎn)解決問(wèn)題.

4 平行線的性質(zhì)與判定在試題中的綜合應(yīng)用

初中涉及到的平行題型除了證明兩直線平行以外，還有很多題型是利用平行線的性質(zhì)來(lái)解決其他相關(guān)問(wèn)題的.如果更復(fù)雜一點(diǎn)的題目，會(huì)對(duì)平行線的性質(zhì)與判定綜合起來(lái)考察學(xué)生，也可能與中位線或者其他知識(shí)點(diǎn)整合起來(lái)考察.

要想靈活地運(yùn)用平行線的性質(zhì)與判定來(lái)解決問(wèn)題還要先分得清性質(zhì)與判定之間的區(qū)別與聯(lián)系，我們先來(lái)看兩個(gè)簡(jiǎn)單的推理：

如圖5，因?yàn)椤?=∠2（已知），所以AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）.相反地，因?yàn)锳B∥CD（已知），所以∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）.

乍一看，這兩個(gè)推理形式一樣，只是順序不一樣，但卻有著本質(zhì)的區(qū)別：那就是因與果的顛倒.第一個(gè)推理是由“因?yàn)椤?=∠2”為前提，這是因，得到的“所以AB∥CD”這一結(jié)論是果;而第二個(gè)推理恰恰相反，即“因?yàn)锳B∥CD”是前提為因，得到“所以∠1=∠2”的結(jié)論為果.因此，在做題中要尤其注意分辨判定與性質(zhì)的區(qū)別.

接下來(lái)我們來(lái)探討一道有關(guān)平行線判定與性質(zhì)的綜合試題，從而對(duì)此知識(shí)點(diǎn)加深理解.

例5 如圖6，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)G、F分別在CB、AB的延長(zhǎng)線上，BD平分∠CBA交AE于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)D，且∠DHE+∠HAG=180°，∠G=∠F.求證：EF∥DB.

分析 例5的綜合性較強(qiáng)，以一道復(fù)雜的幾何圖形為載體，著重考查了三線八角的知識(shí)以及平行線的判定與性質(zhì).本題思路廣泛，方法多樣.解決這道題的關(guān)鍵在于先證明DB∥AG，再分析角之間的關(guān)系，最后根據(jù)平行線的判定定理使之得證.具體思路證法如下：

根據(jù)題設(shè)給出的條件這是由于∠DHE=∠AHB且∠DHE+∠HAG=180°，所以∠AHB+∠HAG=180°，故DB∥AG.

證法1 （利用“同位角相等，證明兩直線平行”）由已知DB∥AG，可得∠DBE=∠G.又因?yàn)锽D平分∠CBA，所以∠DBE=∠DBA，即∠DBA=∠G.又依題意∠G=∠F，所以∠DBA=∠F，所以DB∥EF.

證法2 （利用平行線的性質(zhì)——傳遞性）根據(jù)已知DB∥AG，可得∠BAG=∠DBA，∠DBE=∠G.又因?yàn)椤螪BE=∠DBA，所以∠BAG=∠G.又∠G=∠F，所以∠BAG=∠F，所以EF∥ AG.又DB∥AG，所以EF∥DB.

證法3 （先作輔助線再利用判定定理）如圖7，延長(zhǎng)DB至I，因?yàn)椤螦BC=∠GBF，線段BD平分∠ABC，所以線段BI平分∠GBF，即∠IBG=∠IBF.由于DB∥AG，可得∠IBG=∠IBF=∠G.又因?yàn)椤螱=∠F，所以∠IBF=∠F，由此得證DB∥EF.可以延長(zhǎng)FE交CA于點(diǎn)K進(jìn)行證明.

綜上所述，例5，本題共有3個(gè)主要證法使得問(wèn)題得到解決.本題的難點(diǎn)是找到合適的角與角之間的關(guān)系進(jìn)而證明兩直線的平行.證法1是結(jié)合本題圖形特點(diǎn)直接探索角與角之間的關(guān)系——再分別利用“同位角相等”、“內(nèi)錯(cuò)角相等”、“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”證明EF∥DB平行;證法2邏輯簡(jiǎn)單明了，只需證明DB和EF都平行于AG，再利用平行線的性質(zhì)——傳遞性證明即可;證法3是適當(dāng)?shù)靥砑右粭l不同的輔助線進(jìn)行證明，眾所周知添加輔助線的題目往往比較難，因?yàn)樾枰紤]圖形特征，故需具備一定的解題技巧和靈活度，對(duì)學(xué)生的解題思維有一定挑戰(zhàn).[3]以上證法思維難度層層遞進(jìn)，對(duì)于初中的學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)鍛煉深度思維，靈活多變的好題，學(xué)生們可以在思考具體問(wèn)題的同時(shí)加深對(duì)三線八角和平行線性質(zhì)與判定的認(rèn)識(shí).

總之，平行題型是平面幾何題型中的重要組成部分，一道復(fù)雜的幾何題目往往需要用到平行的知識(shí)，為此初中學(xué)生要對(duì)三線八角、平行線的性質(zhì)與定理等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)做到爛熟于心，并加強(qiáng)對(duì)相關(guān)題型的訓(xùn)練，對(duì)不同的題目學(xué)會(huì)歸納總結(jié)，提高邏輯思維和推理能力，為今后的平面和立體幾何的學(xué)習(xí)打下夯實(shí)的基礎(chǔ).遇到一些復(fù)雜的尤其是需要添加輔助線的題目，有時(shí)會(huì)讓人摸不著頭腦不知道如何下手，實(shí)際上在日常的做題中通常需要一些基礎(chǔ)圖形作為載體，這些基礎(chǔ)圖形大部分都是從教材中大量的例題和習(xí)題中抽離出來(lái)的，很多復(fù)雜題目中的圖形都是在這些常見(jiàn)基礎(chǔ)圖形上加工、引申、拓展而來(lái)的.在平面幾何的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要熟練掌握常見(jiàn)的基本圖形的主要結(jié)構(gòu)，善于從復(fù)雜的幾何圖形中分離出基本圖形，再結(jié)合相關(guān)基本定理即可得解.

參考文獻(xiàn)：

[1]張巍.說(shuō)明平行的四種常用方法[J].初中生必讀，2014（11）：25-26.

[2]陳永.中位線定理的應(yīng)用技巧[J]. 數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2014（09）：18.

[3]趙毅，劉剛.淺談平行線的判定與性質(zhì)在一道試題中的應(yīng)用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（06）：57-59.