陳誼

摘 要：數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學思想，是《普通高中數(shù)學課程標準》要求高中生重點掌握的數(shù)學思想。《普通高中數(shù)學課程標準》要求加強對學生數(shù)學思想方法的理解，對數(shù)形結(jié)合思想蘊含的想象能力提出較高的要求。數(shù)學教育改革要求學生掌握數(shù)學基本思想方法，教學中要將數(shù)學思想方法學習作為教學任務。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學解題的重要思想方法，教師要培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合思想能力，有效提高學生的學習效率。以往數(shù)學教學中很多教師讓學生運用數(shù)形結(jié)合思想，但學生解題思路未達到預期效果，因此，教師需要研究高中數(shù)學數(shù)形結(jié)合解題方法，研究闡述高中數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想方法的作用，分析數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學解題教學中的問題，提出高中數(shù)學解題數(shù)形結(jié)合法的有效教學策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學;數(shù)形結(jié)合;解題法;教學策略

數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學，數(shù)形是數(shù)學學科的重要方面，數(shù)形結(jié)合思想是基本的數(shù)學思想。《普通高中數(shù)學課程標準》提出要幫助學生感悟數(shù)學基本思想，逐步提高解決問題的能力。數(shù)學教學強調(diào)學生對數(shù)學思想方法的感知，《普通高中數(shù)學課程標準》提出數(shù)學核心素養(yǎng)體現(xiàn)對數(shù)形結(jié)合思想的重視，建立代數(shù)幾何的關(guān)系是培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合能力的體現(xiàn)。近年來，我國高考數(shù)學試題日益關(guān)注學生對數(shù)學思想方法的掌握，試卷運用數(shù)形結(jié)合思想命題形式靈活，如果教師在教學中存在重結(jié)果輕過程，就會導致學生對類似題目只能機械模仿，學生運用數(shù)學思想解題存在構(gòu)圖不精確等現(xiàn)象，因此，數(shù)學思想方法解題教學成為數(shù)學教育研究熱點。

一、高中數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想解題教學研究

數(shù)形結(jié)合思想貫穿于高中數(shù)學知識體系中，有利于激發(fā)學生的學習興趣[1]。數(shù)形結(jié)合思想為學生解決數(shù)學問題提供更好的解題思路。隨著高考改革不斷深化，大多數(shù)學生為掌握相關(guān)知識，采取“題?！睉?zhàn)術(shù)，如何提高學生學習效率非常迫切。需要讓學生靈活應用數(shù)學思想解決數(shù)學問題，數(shù)學思想通過數(shù)學知識加工提煉，對學生學習具有重要指導意義。數(shù)形結(jié)合具有很高的教學價值，是高考的重要考點，研究高中數(shù)學數(shù)形結(jié)合解題教學，需要深刻認識數(shù)形結(jié)合思想方法的作用和價值。

（一）數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)形結(jié)合是將抽象的數(shù)與具體的形結(jié)合解決問題的思想[2]?！皵?shù)”是數(shù)學公式等，“形”是幾何圖形等，利用代數(shù)解釋幾何問題，使抽象的數(shù)學問題更加直觀。數(shù)形是數(shù)學研究的重要概念，數(shù)學思想是對數(shù)學知識的本質(zhì)認識，主要包括數(shù)形結(jié)合、化歸分類思想等，教學中應用數(shù)學思想才能內(nèi)化知識，提高數(shù)學知識應用能力。數(shù)形之間相輔相成，相互轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合思想提供解題方法是解題的指導思想，是抽象與形象思維的完美結(jié)合，實現(xiàn)數(shù)學問題解決方法最優(yōu)化[3]。

1964年，我國數(shù)學家華羅庚首次提出數(shù)形結(jié)合概念，定義數(shù)形結(jié)合是富有數(shù)形特點的信息轉(zhuǎn)換，用圖形性質(zhì)說明數(shù)的事實[4]。數(shù)形結(jié)合思想是將數(shù)學語言與直觀圖像結(jié)合，可以使代數(shù)問題幾何化。數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學界得到認可，學者對數(shù)形結(jié)合思想的研究不斷深入。數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)形相互轉(zhuǎn)化，構(gòu)造具體形象的幾何圖形，利用數(shù)的準確嚴謹性解釋圖形信息。數(shù)軸的建立使人們對數(shù)形統(tǒng)一產(chǎn)生新的認識，笛卡爾將數(shù)軸拓展到平面直角坐標系，將坐標系點與有序?qū)崝?shù)對應，坐標系有對應點，代數(shù)中的方程與坐標系曲線有對應關(guān)系，笛卡爾創(chuàng)立解析幾何學科是代數(shù)與幾何結(jié)合的產(chǎn)物，達成數(shù)形的統(tǒng)一。解析幾何出現(xiàn)后數(shù)形關(guān)系密切，產(chǎn)生微積分等學科[5]。

（二）高中數(shù)學數(shù)形結(jié)合解題教學價值

《普通高中數(shù)學課程標準》對高中數(shù)學教學提出新的要求，強調(diào)對基本數(shù)學思想的理解掌握，要求教學中注重引導學生經(jīng)歷從實例中抽象數(shù)學概念[6];重視邏輯運算，處理計算器使用等能力;隨著教育教學改革的深入，要與時俱進改進教學模式，充分體現(xiàn)新課改的理念，新課程將數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學教學重要思想，高中數(shù)學解題教學中應用數(shù)形結(jié)合思想具有重要作用，高中數(shù)學教學中數(shù)形結(jié)合思想具有輔助解題等價值。

數(shù)形結(jié)合教育價值在高中數(shù)學解題中體現(xiàn)突出，圖形整體性特征可以全面把握事物要素，數(shù)形結(jié)合思想具有較強的教學功能，學生處理問題可以將抽象與形象問題轉(zhuǎn)化。推行直觀性，使抽象問題直觀化，數(shù)形結(jié)合使數(shù)學問題數(shù)量關(guān)系與幾何意義溝通轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合溝通高中數(shù)學數(shù)形方面知識聯(lián)系，對提高解題能力具有獨特作用。數(shù)形結(jié)合可以使復雜問題簡化，實現(xiàn)數(shù)形相互滲透[7]。高中數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想具有導向簡化與完善功能，單純利用圖形直觀性不能解決某些問題，需要利用數(shù)的要素解決。數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)學生的思維能力，利用數(shù)形結(jié)合直觀性特點可以啟迪學生思維，使解決問題途徑明朗。

二、高中數(shù)學解題數(shù)形結(jié)合思想教學現(xiàn)狀

數(shù)形結(jié)合法具有直觀形象特點，但其直觀性使學生忽視精確的計算，快速性使學生忽視嚴密性，學生運用數(shù)形結(jié)合法解題表現(xiàn)出數(shù)形分離，數(shù)形轉(zhuǎn)化途徑不恰當，解題轉(zhuǎn)化失真等現(xiàn)象，導致學生不善于用數(shù)表達形的特征，使得數(shù)形信息不能有效溝通。由于數(shù)形結(jié)合目標不明確，高中數(shù)學解題教學中數(shù)形結(jié)合應用存在許多問題，表現(xiàn)為運用數(shù)形結(jié)合思想意識不強，學生利用數(shù)形結(jié)合思想解題易出現(xiàn)錯誤。

（一）高中數(shù)學數(shù)形結(jié)合解題教學中的問題

數(shù)形結(jié)合突破口是解決問題的關(guān)鍵，不少學生不能找到解題突破口。當前高中數(shù)學數(shù)形結(jié)合解題教學中存在學生對思想方法理解片面，對數(shù)形結(jié)合思想應用意識不強等問題。學生對數(shù)形結(jié)合思想應用意識不強體現(xiàn)在數(shù)形分離上，面對問題僅從單方面考慮，未從數(shù)形結(jié)合思想角度解答，學生利用數(shù)形結(jié)合思想解題易出現(xiàn)錯誤，包括數(shù)形相互表征問題、數(shù)形轉(zhuǎn)化不等價等。數(shù)形轉(zhuǎn)化相互表征問題是學生不擅長用數(shù)的形式關(guān)系表示形的特征，解決問題時難以將對應表征統(tǒng)一協(xié)調(diào)。

高中數(shù)學解題數(shù)形結(jié)合教學問題主要原因包括：教師教學中強調(diào)不夠，學生不能有意識解決問題，學生對數(shù)形結(jié)合思想認識不夠深刻，難以將數(shù)形結(jié)合思想落實到解題中。數(shù)形轉(zhuǎn)化要求學生具有較高的思維能力，學生難以找到突破口，原因是數(shù)學思想要求學生個人能力達到一定水平。多數(shù)學生認為數(shù)形結(jié)合是借助幾何圖像解決代數(shù)問題，對數(shù)形結(jié)合思想理解不夠。學生遇到幾何函數(shù)等問題時意識到應用數(shù)形結(jié)合思想，但對數(shù)列、向量等問題沒有應用數(shù)形結(jié)合思想意識。高中生運用數(shù)形結(jié)合思想常見錯誤包括作圖不精確、不完整等。

（二）高中數(shù)學解題數(shù)形結(jié)合思想教學問題分析

高中數(shù)學數(shù)形結(jié)合解題思想教學問題有多種原因，主要包括：學生學習習慣與教師教學方法等主客觀原因。由于男女生思維方式不同，對數(shù)形結(jié)合思想應用能力存在差異。相對女生來說，男生對數(shù)形結(jié)合思想應用能力較強，更擅長利用數(shù)形結(jié)合思想解題。

高中數(shù)學內(nèi)容繁多復雜，學生學習節(jié)奏快，養(yǎng)成良好的學習習慣可以幫助學生提高學習成績。經(jīng)常對數(shù)學思想方法總結(jié)可以更好地掌握數(shù)形結(jié)合思想，大多數(shù)學生僅將錯題進行反思，多數(shù)學生缺乏反思總結(jié)習慣，對數(shù)學思想方法缺乏學習應用意識。教師要注意滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，幫助學生掌握數(shù)學思想方法。教師對數(shù)形結(jié)合思想教學情況直接影響學生的掌握情況，教師如果僅在習題中滲透數(shù)形結(jié)合思想，就將導致學生對數(shù)形結(jié)合思想認識停留于簡單的題型層面，使得學生對數(shù)形結(jié)合思想應用能力欠缺。因此，教師要注重引導學生探索數(shù)形結(jié)合的應用，激發(fā)其對學習數(shù)形結(jié)合思想的興趣，充分調(diào)動學生的學習主動性，使其對數(shù)形結(jié)合思想進行主動學習。

三、高中數(shù)學數(shù)形結(jié)合解題法教學策略

現(xiàn)代數(shù)學可以為社會各行業(yè)的發(fā)展提供理論基礎(chǔ)，是國民經(jīng)濟發(fā)展的巨大動力。隨著社會的進步，數(shù)學應用日益廣泛。數(shù)學教學核心是思維教學，新課改的深入推進，更加重視對學生思維能力的考查和培養(yǎng)。教學中要培養(yǎng)學生掌握數(shù)學思想方法，采用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，高中數(shù)學解題法教學可以在集合、函數(shù)、立體幾何等多方面應用數(shù)形結(jié)合思想，高中數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想解題教學要求教師更新教學理念，突出數(shù)形結(jié)合地位，加強對學生數(shù)形結(jié)合解題錯誤分析。

（一）高中數(shù)學解題法數(shù)形結(jié)合思想教學要求

高中數(shù)學數(shù)形結(jié)合解題法教學需要積極尋求數(shù)學思想應用滲透途徑，挖掘數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)典素材，歸納數(shù)形結(jié)合思想應用原則。數(shù)學思想是學生學習數(shù)學知識的精髓，要求教師重視數(shù)學思想的教學，重視教學中對數(shù)形結(jié)合思想的滲透。教師要擺脫傳統(tǒng)教學模式的束縛，提高自身數(shù)學素養(yǎng)，將數(shù)形結(jié)合思想落實到教學中。如在新課講授、習題鞏固等教學環(huán)節(jié)，應用數(shù)形結(jié)合教學內(nèi)容引導學生解決數(shù)學問題，激發(fā)學生對數(shù)形結(jié)合的學習興趣，完成滲透數(shù)形結(jié)合教學任務。

高中數(shù)學教材內(nèi)容由數(shù)學知識與思想組成，數(shù)學思想隱含在多個知識模塊中，需要教師深度挖掘教材內(nèi)容。數(shù)形結(jié)合思想貫穿于高中數(shù)學知識體系，高一教材有很多蘊含數(shù)形結(jié)合的經(jīng)典素材，如必修1基本初等函數(shù)與函數(shù)圖像等。通過學習數(shù)學知識體會數(shù)學思想，可以使學生感受數(shù)形結(jié)合思想的應用。高二教材中選修內(nèi)圓錐曲線與方程等，使學生認識到數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢，建立向量與坐標的對應關(guān)系，向量為立體幾何提供新的解題方向，如線與面的夾角等問題可以利用數(shù)形結(jié)合思想解決。高三進入考查數(shù)形結(jié)合思想綜合能力的時段，學生靈活運用數(shù)形結(jié)合思想可以提高解題速度，教師要準確把握教學內(nèi)容蘊含的數(shù)學思想，以數(shù)學知識內(nèi)容為載體，在教學中滲透數(shù)形結(jié)合思想，遵循目標性、系統(tǒng)性等原則充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的教學價值，為提升學生數(shù)學素養(yǎng)等起到重要作用。

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學解題中常用的方法，利用常規(guī)方法解決困難的高中數(shù)學問題比較麻煩，借助數(shù)形結(jié)合的方法可以快速解決代數(shù)、幾何的問題，使高中數(shù)學復雜的問題簡單化。要厘清高中數(shù)學教學中運用數(shù)形結(jié)合思想的基本原則，要遵循雙向性、直觀性等基本原則。對代數(shù)進行全面探索，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合有效統(tǒng)一，簡潔性原則要求體現(xiàn)幾何構(gòu)圖的直觀性與簡潔性的有效統(tǒng)一，降低學生理解的難度。直觀性原則要求師生利用坐標解題，開拓數(shù)形結(jié)合的教學模式。等價性原則指幾何圖形與代數(shù)性質(zhì)變形的對等。高中數(shù)學教師要分析學生實際情況，積極尋找新的操作性強的教學方式。數(shù)形結(jié)合思想教學要選擇恰當?shù)臅r機滲透，要注意首先注重對數(shù)形結(jié)合思想的挖掘，要把握好運用數(shù)形結(jié)合思想教學的方法，數(shù)形結(jié)合思想教學需要教師長期積累，不斷總結(jié)，使學生掌握靈活運用數(shù)形結(jié)合思想的方法。

（二）高中數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想解題教學應用

隨著數(shù)學新課改的深入，高考命題向知識多變性方向發(fā)展，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學的重要數(shù)學思想，是解答高考數(shù)學試題的常用方法，成為高考必考內(nèi)容。重點部分包括：一元二次不等式解法、函數(shù)定義域、絕對值不等式解法等，利用數(shù)形結(jié)合解題考查學生對圖形的理解能力等，從數(shù)量關(guān)系中發(fā)現(xiàn)圖形特征可以快速得出正確答案。運用數(shù)形結(jié)合思想關(guān)鍵是數(shù)形相互轉(zhuǎn)化，可以通過運用向量提升以數(shù)解形能力，以形助數(shù)解決代數(shù)問題。以數(shù)解形是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)，借助數(shù)的精確性解釋幾何屬性，需要用數(shù)對圖形進行標注說明。

高中數(shù)學數(shù)形結(jié)合解題法教學中需要教師給予趣味引導，優(yōu)化解題方法，學生要理解知識點的內(nèi)在含義。數(shù)學是枯燥的學科，教師要激發(fā)學生對數(shù)學產(chǎn)生濃厚興趣才能讓其對數(shù)學知識充滿渴望，以便達到良好的教學效果。課堂中擺脫教材結(jié)合實際講解生動有趣的數(shù)學教育故事，使學生思維活躍，可以激發(fā)學生的學習興趣。學習晦澀內(nèi)容時教師可以借助多媒體課件，讓學生運用數(shù)學工具軟件編輯學習，例如，教師可以在教學中講解有趣的心形曲線，吸引學生的注意力。教師需要長時間引導學生形成正確的學習思路，要結(jié)合學生各階段學習狀態(tài)研究教材，明確教材設(shè)計思想，巧妙滲透數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是分析研究對象的代數(shù)含義，尋找有效的數(shù)學解題思路。應用數(shù)形結(jié)合思想能夠激發(fā)學生的學習積極性。實際教學中可以對高中數(shù)學教學中數(shù)形結(jié)合思想具體知識點進行總結(jié)，可以歸納數(shù)形結(jié)合在解題應用中的注意要點。通過總結(jié)歸納數(shù)形結(jié)合思想方法，使學生深入地認識數(shù)形結(jié)合思想。

結(jié)束語

《普通高中數(shù)學課程標準》提出數(shù)學是研究空間形式的科學，要體會蘊含的數(shù)學思想方法。數(shù)學課程目標是理解掌握數(shù)學概念，應用蘊含的數(shù)學思想方法，體驗數(shù)學問題的數(shù)量關(guān)系。教師要深入貫徹課改精神，通過解題分析傳授給學生數(shù)學思想。要求掌握數(shù)形結(jié)合思想方法，建立數(shù)形對應關(guān)系非常必要。高中數(shù)學數(shù)形結(jié)合解題法教學要求教師挖掘其解題功能，研究數(shù)形結(jié)合思想解題應用經(jīng)典案例，解決學生運用數(shù)形結(jié)合法解題存在構(gòu)圖不當、缺乏邏輯性等問題，幫助學生掌握數(shù)學思想方法。

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