林紅

摘 要：以“關(guān)系”為路徑學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，可以從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思想的高度審視小學(xué)數(shù)學(xué)。培養(yǎng)數(shù)學(xué)中聯(lián)系起來分析問題，找條件和問題相互間的關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有提綱挈領(lǐng)的作用。“四則運(yùn)算的意義與關(guān)系”一課，從“找關(guān)系”入手進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，有利于建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，減輕學(xué)生記憶知識(shí)的負(fù)擔(dān)，提升思維水平。

關(guān)鍵詞：找關(guān)系;整體認(rèn)識(shí);提升思維

大百科全書（數(shù)學(xué)卷）對(duì)數(shù)學(xué)的定義是：研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，它包括了數(shù)的關(guān)系、量的關(guān)系、形的關(guān)系。因此，以“關(guān)系”為路徑學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，可以從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思想的高度審視小學(xué)數(shù)學(xué)。培養(yǎng)數(shù)學(xué)中聯(lián)系起來分析問題，找條件和問題相互間的關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有提綱挈領(lǐng)的作用。

為了準(zhǔn)確把握學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度，并有效利用學(xué)生的學(xué)習(xí)資源，在“找關(guān)系”為學(xué)習(xí)路徑的理念指導(dǎo)下，筆者設(shè)計(jì)了課前導(dǎo)學(xué)單。

筆者把學(xué)生答題情況分為三個(gè)層次。第一層次：100%的學(xué)生六道題能正確列式解答。第二層次：80%的學(xué)生能試著用圖示或自己的語言表示每一種運(yùn)算的意義，能寫出每一種運(yùn)算各部分的關(guān)系，但由于缺少對(duì)運(yùn)算內(nèi)部關(guān)系的深入思考，所以難以寫全各部分所有的關(guān)系。第三層次：最后一題，找四則運(yùn)算相互關(guān)系中僅20%的學(xué)生能用自己語言表述對(duì)加減或乘除之間相反關(guān)系的感悟，沒有學(xué)生對(duì)四則運(yùn)算關(guān)系有整體認(rèn)識(shí)。因此，筆者把這節(jié)課教學(xué)提升點(diǎn)設(shè)定為：通過“找關(guān)系”能讓學(xué)生把四則運(yùn)算的意義聯(lián)通起來進(jìn)行整體認(rèn)識(shí)，充分感悟四則運(yùn)算的內(nèi)部的關(guān)系和相互關(guān)系，并能通過實(shí)際問題的解決，提高“關(guān)系”靈活運(yùn)用的能力，從中感悟“逆”和“簡”兩種數(shù)學(xué)思維方法。

一、題組的對(duì)比教學(xué)，體驗(yàn)“逆”關(guān)系

（一）找“題—圖—式”的縱向關(guān)系，概括加法意義

從數(shù)學(xué)邏輯上來分析，建構(gòu)加減法以及乘法的定義必須從加法切入，所以加法意義的理解是基礎(chǔ)。筆者通過對(duì)學(xué)生課前導(dǎo)學(xué)單中第1題作品的收集，整理了圖1，引導(dǎo)學(xué)生在讀清題中的條件和問題的基礎(chǔ)上，遷移到與直觀圖建立聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合理解圖示中每一部分的意思。再比較4個(gè)圖示的共同點(diǎn)，聯(lián)系加法算式，學(xué)生很自然地感悟到：把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫加法?！澳妗毕蚶斫猓哼@“一個(gè)數(shù)”是一個(gè)整體，“兩個(gè)數(shù)”是一個(gè)整體的兩個(gè)部分。這樣就得出加法算式中各部分的名稱和關(guān)系：和=加數(shù)+加數(shù)?！澳妗毕蚶斫獾贸隽硪粋€(gè)關(guān)系式：一個(gè)加數(shù)=和-另一個(gè)加數(shù)。從整體和部分的關(guān)系深入理解加法的意義，還從“逆”的關(guān)系角度完整列出加法各部分關(guān)系式。

（二）找題組中“條件問題”的橫向關(guān)系，逆向定義減法意義

通過題組中3道題條件和問題的對(duì)比，減法算式中每個(gè)數(shù)與加法算式中每個(gè)數(shù)位置的對(duì)比，學(xué)生概括出減法的意義和內(nèi)部各部分關(guān)系。觀察加法算式中的和就是減法中的被減數(shù)，加法中的一個(gè)加數(shù)就是減法中的減數(shù)，加法中的另一個(gè)加數(shù)就是減法中的差。學(xué)生深入分析：原來不僅減法各部分之間有聯(lián)系，加減法各部分之間也能聯(lián)系起來?？吹綄W(xué)生已經(jīng)有了聯(lián)系地分析問題的思想與能力，筆者出示學(xué)生在導(dǎo)學(xué)單中概括出的“從一個(gè)數(shù)中去掉一部分，求另一部分是多少，叫減法”，讓學(xué)生辨析：這樣概括減法的意義，你們認(rèn)為可以嗎？學(xué)生分析：從部分與整體的關(guān)系角度來看，也完全是正確的。還有學(xué)生分析：一個(gè)數(shù)其實(shí)就是已知兩個(gè)數(shù)的和，一部分就是其中一個(gè)加數(shù)，另一部分就是另一個(gè)加數(shù)。書中的定義是從加法逆向思考得到的，這個(gè)同學(xué)的定義是從減法本身的意義得到的。能從這些角度分析，說明這時(shí)學(xué)生對(duì)加減的意義與關(guān)系不僅能互推，而且能融合，對(duì)加減法的整體認(rèn)識(shí)很深入。

二、升級(jí)運(yùn)算等級(jí)，體驗(yàn)“簡”關(guān)系

（一）從“加”升級(jí)到“乘”，感悟乘法是相同加數(shù)連加的簡便運(yùn)算

加減是一級(jí)運(yùn)算，乘除是二級(jí)運(yùn)算，它的優(yōu)先級(jí)比加減高一級(jí)，怎樣體現(xiàn)進(jìn)階的關(guān)系呢？在導(dǎo)學(xué)單中學(xué)生第二組題第一題的解題策略都是乘法，引導(dǎo)學(xué)生思考，這道題還能用別的方法解決嗎？學(xué)生回答：也能用加法，五百五百地?cái)?shù)。追問：為什么所有的同學(xué)都用乘法做呢？學(xué)生回答：因?yàn)榍?個(gè)500的和是多少，用乘法更簡便。所以乘法的意義就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡便運(yùn)算。

數(shù)學(xué)的發(fā)展就是不斷地用更有效、更高級(jí)的方法代替原有方法的過程?！皵?shù)—加—乘”算法提升的過程，使解決問題的過程越來越簡單。從數(shù)學(xué)運(yùn)算的發(fā)展來看，乘法比加法高一級(jí)，計(jì)算效率也提高一步，歸根結(jié)底是緣于計(jì)算的簡便。學(xué)生搞清楚乘法與加法的聯(lián)系，就形象類比：就像走臺(tái)階一樣，有了下面的第一級(jí)，才能有上面的第二級(jí)，所以乘法是比加法更高級(jí)的運(yùn)算。

導(dǎo)學(xué)單中學(xué)生出現(xiàn)對(duì)乘法意義的另一種歸納：求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，用乘法。怎樣把這個(gè)學(xué)習(xí)資源同化到乘法意義中呢？學(xué)生分析道：書中的定義是以加法為基礎(chǔ)的，更體現(xiàn)了加法到乘法的進(jìn)階關(guān)系。學(xué)生概括的意義就是從乘法的倍數(shù)角度，也是對(duì)的。還有學(xué)生分析：求2的3倍是多少，就是求3個(gè)2是多少，也是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡便運(yùn)算，能聯(lián)系起來的。這樣，點(diǎn)聯(lián)系成了一條線，就把對(duì)乘法零散的認(rèn)識(shí)串聯(lián)起來，對(duì)乘法意義的理解更深刻。

（二）從“減”升級(jí)到“除”，感悟除法是遞減相同減數(shù)的簡便運(yùn)算

根據(jù)“逆”思維遷移，類推除法意義與各部分關(guān)系。除法的“簡”也是學(xué)生利用“加和乘”的聯(lián)系推出來的：一個(gè)數(shù)，如果不斷地減相同的數(shù)后，沒有剩余，就是整除;如果還有剩余，就是有余數(shù)的除法。通過“找關(guān)系”，聯(lián)系地分析，有了前面的引導(dǎo)，學(xué)生能夠沿著這個(gè)路徑，自己發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造出新的結(jié)論。

三、關(guān)系圖是四則運(yùn)算整體認(rèn)識(shí)的精準(zhǔn)表達(dá)

整節(jié)課開辟了“關(guān)系”路徑，最后讓學(xué)生再次嘗試導(dǎo)學(xué)單的最后一題，用圖示表示四則運(yùn)算的聯(lián)系。通過學(xué)生不斷討論改進(jìn)后的關(guān)系圖（圖2），全面總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容，建立四種運(yùn)算相互關(guān)系路徑，溝通思維渠道，為知識(shí)建構(gòu)提供新的視角。

四、“關(guān)系”路徑的綜合應(yīng)用，感悟價(jià)值

（一）課內(nèi)練習(xí)，方法靈活適用

數(shù)學(xué)書和《作業(yè)本》里的練習(xí)題思考性很強(qiáng)，只有把所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，培養(yǎng)學(xué)生有聯(lián)系地分析問題的能力，才能更好解決問題。

1. 關(guān)系運(yùn)用要整體性和熟練性

如：猜猜水果后面藏著幾，填一填。

要解決這種題，先要判斷各圖形在原題里是什么數(shù)，應(yīng)該使用該運(yùn)算內(nèi)部的什么關(guān)系。在計(jì)算過程中最后兩小題既有運(yùn)用運(yùn)算內(nèi)部關(guān)系，又有“有余數(shù)除法”中求被除數(shù)要除數(shù)乘商還要加余數(shù);還有求除數(shù)，用被除數(shù)減余數(shù)的差才是除數(shù)與商的積，強(qiáng)調(diào)等號(hào)左右“對(duì)應(yīng)”的思想方法，為五年級(jí)的方程學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

又如：已知★-▲=◆，☆÷◇=△，下面哪些算式是正確的？正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”

（1）★-◆=▲（? ）

（2）▲-◆=★（? ）

（3）◇+△=☆（? ）

（4）☆÷△=◇（? ）

這道題把兩種運(yùn)算放在一起辨析，信息干擾性比較大。其中1、2、4小題直接用運(yùn)算的內(nèi)部關(guān)系判斷，第3題要用到除法和加法的相互關(guān)系。解決問題時(shí)，關(guān)系運(yùn)用要熟練，對(duì)關(guān)系的整體認(rèn)識(shí)要強(qiáng)，這樣的題符合四年級(jí)下冊(cè)學(xué)生的思維水平。

2. 感悟方法的靈活性和適用性

解決看似相同的題，方法的運(yùn)用可能是不同的，在學(xué)生實(shí)際解題過程中，不斷讓學(xué)生總結(jié)自己的思考方法，選擇更合適的方法。

例如：琳琳想了一個(gè)數(shù)，按下面的指令進(jìn)行計(jì)算，得到的結(jié)果是25，琳琳想的數(shù)是（? ）。

這道題用“逆推”能高效解題。

又如：進(jìn)入知識(shí)宮的密碼是○□○□，請(qǐng)先破譯密碼。

14+82-○=87

□×6+10=58，

密碼是（? ? ）。

關(guān)于○的解法，有的學(xué)生用了“被減數(shù)=差+減數(shù)”的關(guān)系，有的學(xué)生用了“減數(shù)=被減數(shù)-差”的關(guān)系，這兩種方法僅僅是觀察角度不同，其本質(zhì)都可以歸結(jié)為減法算式內(nèi)部的各部分關(guān)系，○的解法不適用逆推。而□的解法，有的學(xué)生回答：我用了“逆”的思考方法，58-10=48 48÷6=8。有的學(xué)生回答：我用了“加法各部分的關(guān)系”思考。學(xué)生不僅會(huì)選用合適的方法，而且能清晰地表達(dá)自己選用的思考方法，能反映學(xué)生頭腦內(nèi)部知識(shí)網(wǎng)的建構(gòu)在應(yīng)用中體現(xiàn)價(jià)值。

（二）拓展數(shù)域，知識(shí)整體建構(gòu)向課外延伸

小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算的運(yùn)算意義與關(guān)系，與整數(shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算意義與關(guān)系是完全相同的。打通它們之間的“隔斷墻”，為整體性、系統(tǒng)性學(xué)習(xí)再深入一步。根據(jù)學(xué)生在導(dǎo)學(xué)單里提出的“我想提出的問題：整數(shù)的四則運(yùn)算方法和小數(shù)、分?jǐn)?shù)的方法一樣嗎？”可以讓學(xué)生猜想，并帶著問題進(jìn)行課后探索，把課堂內(nèi)的學(xué)習(xí)向課堂外延伸。

一節(jié)概念定義和已有知識(shí)梳理的課，通過單元整體架構(gòu)，挖掘內(nèi)在聯(lián)系，滲透數(shù)學(xué)思維方法，使學(xué)生得到深度學(xué)習(xí)，提升思維水平和語言、圖示的多元化表達(dá)能力。