摘? ?要：固有數(shù)學習慣與教學流程目前在一定程度上還充斥著課堂。以“小數(shù)乘小數(shù)”教學為例，教師要從精算到估算、算法到算理、單一到多元、點狀到塊狀四個方面對固有習慣的教學流程進行深刻地反思，重構課堂教學，引領學生走向深度學習。

關鍵詞：小學數(shù)學;教學流程;習慣;深度學習

中圖分類號：G623.5? 文獻標識碼：A? 文章編號：1009-010X（2022）19/22-0076-05

一根小小的柱子，一截細細的鏈子，卻能拴得住一頭千斤重的大象！這看似不可思議的場景在印度和泰國卻隨處可見。究其原因，原來馴象人在大象還是幼象的時候，就用一條鐵鏈將它拴在水泥柱或鋼柱上，無論幼象怎么掙扎都無法掙脫。幼象漸漸地習慣了束縛，直到長成了大象，在它可以輕而易舉地掙脫鏈子時，也不會再掙扎了。

從上面的小故事中，我們可以看出習慣的力量是巨大的，習慣成自然，但未必合理。這對于我們的課堂教學也具有積極的啟示意義。失真的教材解讀、失當?shù)慕虒W流程、失誤的教學用語、失范的教態(tài)動作……一定程度上還充斥著我們的課堂，而我們往往對此卻習以為常，并未發(fā)現(xiàn)其中的不當。大家常常在遵循著別人的習慣、或者按照自己已經習慣了的“習慣”進行著膚淺的程式化教學。佐藤學先生在《課程與教師》中指出，教師應由技術熟練者轉化為反思性實踐家。海涅有言：“反省是一面鏡子，它能將我們的錯誤清清楚楚地照出來，使我們有改正的機會?！蔽覀儜獙α晳T保有警醒的自覺，走出習慣藩籬，重構課堂教學。

筆者以五年級“小數(shù)乘小數(shù)”教學為例，對固有習慣的教學流程進行了深刻地反思，以期走出不良習慣窠臼，引領學生走向深度學習。

一、精算到估算——先后順序的考量

1983年，美國高質量教育委員會在《國家處于危險之中》這一報告中就認為，在中小學估算和心算比復雜的筆算更有價值。口算、筆算與估算是小學數(shù)學計算教學的重要組成部分。《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）則更關注估算的背景與學生生活實際的關系，更強調估算作為一種培養(yǎng)數(shù)感、增強數(shù)學活動經驗的功能，注重估算的實踐功能。

在平日教學中，教師的習慣一般是先讓學生估算，再嘗試豎式筆算，最后再用精算結果反向佐證估算方法的合理性與估算結果的正確性。這樣的教學，使估算一定程度上成為教師外在要求之下的被動行為，學生缺少內在主動的估算意識，估算的價值未能充分彰顯;先估算之后還要再精算，使估算似乎可有可無。教學中，可以反其道而行之，對精算和估算的先后順序進行充分地考量，以有效彰顯估算的價值意義。

教師出示例題（見下圖）。

師：這是小明房間和外面陽臺的平面圖，從圖中，你能知道哪些數(shù)學信息？又能提出哪些數(shù)學問題呢？

生：房間和陽臺都是長方形的，房間的長是3.8米，陽臺的長是1.15米，房間和陽臺的寬都是3.2米。根據(jù)這些數(shù)據(jù)，我們可以計算小明房間和陽臺的周長與面積。

師：小明房間的面積怎么計算？

生：用房間的長3.8米乘房間的寬3.2米，列式為3.8×3.2。

師：在前面我們已經學習了小數(shù)乘整數(shù)，而現(xiàn)在的乘法算式中，兩個因數(shù)都是小數(shù)，根據(jù)以往乘法豎式計算的經驗，你覺得3.8×3.2可以怎樣列豎式計算呢，同學們可以自己動筆先試一試。（呈現(xiàn)學生生成答案）

師：這里有兩種算法，其中至少有一個答案是錯誤的，你能一眼就把它找出來嗎？

生1：可以把3.8看成4，4×3.2=12.8，面積比12.8平方米小。

生2：也可以把3.2看成3，3.8×3=11.4，面積比11.4平方米大。

生3：還可以把3.8和3.2分別看成4和3，4×3=12，面積在12平方米左右。

根據(jù)學生回答，相機出示：

生4：通過剛才的估算，我們可以確定3.8×3.2的積應該大于11.4而小于12.8，并且在12左右，由此判斷，121.6是錯誤的。

內省是數(shù)學思維活動的核心和動力，是深度學習的必然。華中師范大學郭元祥教授用“U型學習”概括杜威的經驗教學過程理論，其第三環(huán)節(jié)即“上浮”，也就是反思性思維過程。受小數(shù)加減豎式計算方法的負遷移，部分學生將乘積的小數(shù)點與積的小數(shù)點對齊，算出答案121.6。此時，教師因勢利導，以學定教，讓學生反思判斷兩種算法的正誤。為了快速判斷，估算成為學生內在生發(fā)的需要，不再是教師與教材的外在要求。

與常態(tài)習慣相反，教學中，在“放、縮估算”與“近似估算”中，采用數(shù)形結合，直觀表征了估算方法的多樣性，促進了學生良好數(shù)感的形成與估算能力的養(yǎng)成。通過三種不同的估算方法，逐步確定結果的取值范圍，再反向驗證精算結果的正確性，推理筆算方法的合理性。這樣從精算到估算，基于對兩種計算先后順序考量的教學，更能凸顯精算與估算的不同價值與指向及互相作用，生動呈現(xiàn)出不同計算的生態(tài)和諧。

二、算法到算理——數(shù)學本質的厘清

《課標》指出：運算能力有助于學生理解運算的算理。然而，運算算理的理解也有助于學生運算能力的培養(yǎng)。計算中，算法是表象，是外在的操作，屬于程序性知識;而算理是內因，是算法的支撐，屬于策略性知識。在小數(shù)乘小數(shù)的教學中，對算理的追尋一般是進行單位的換算或是利用積的變化規(guī)律。這兩種方法形象直觀地將小數(shù)乘法轉化為整數(shù)乘法。但也還是停留在對數(shù)據(jù)變化這一較低層次，僅僅為小數(shù)乘小數(shù)轉化為整數(shù)乘整數(shù)賦予了計算方法上的合理性，并未抵達數(shù)學的本質。

師：3.6×2.8 的積是不是12.16呢？ 小數(shù)點的位置是否正確？（學生交流）

生1：可以把3.8 米化成 38 分米，3.2 米化成 32 分米，38 分米和32 分米相乘得 1216 平方分米，就是 12.16 平方米。

生2：也可以把 3.8和3.2這兩個因數(shù)分別乘 10，用38 乘 32得1216;由于兩個因數(shù)分別乘了10，所得的積就等于原來的積乘了100;為了讓積不變，就要用1216再除以 100，得到12.16。

根據(jù)學生回答，相機呈現(xiàn)：

師：還有沒有不同的想法？3.8和3.2這兩個小數(shù)的計數(shù)單位分別是什么？能否從小數(shù)的計數(shù)單位和乘法的意義去想一想，其中又有怎樣的道理呢？

生3： 3.8是38個0.1，3.2是32個0.1， 3.8×3.2 其實就是 38 個 0.1 乘 32 個 0.1。0.1×0.1 表示十分之一的十分之一，也就是百分之一，寫成小數(shù)是0.01（數(shù)形結合，動態(tài)演示，見后圖）;那么 38 個 0.1 乘 32 個 0.1就是 1216個 0.01 ，就是 12.16。

相機出示：

算理為運算之“道”，是算法的理論支撐;算法為運算之“術”，是算理的行為體現(xiàn)。運算的本質是計數(shù)。小數(shù)乘法計算運算依靠單位的轉換具有局限性;積的變化規(guī)律也僅從“術”的層面給出了操作方法;只有從小數(shù)計數(shù)單位和乘法意義的視角出發(fā)，才會使學生明晰，小數(shù)乘小數(shù)就是將計數(shù)單位再統(tǒng)一，計算的是統(tǒng)一之后的計數(shù)單位的個數(shù)，從而深刻揭示了小數(shù)乘小數(shù)的算理。

抓住內容的本質屬性，凸顯對數(shù)學本質的感悟、理解和掌握，是深度學習的重要標志。找尋算理，以理馭法，才能促進學生對算法的有效運用，助推學生運算能力的提升。上述三種思考方法從具象向抽象逐漸深入，學生的思維水平也在不斷提升。三種思考方法都蘊含了轉化的數(shù)學思想，也就是將小數(shù)乘法轉化為整數(shù)乘法，將新知轉化為舊知。

三、單一到多元——評價導向的修正

小學生學習的大多是一種間接的知識，教學如果片面指向“是什么”，而忽略“為什么”，那么知識也永遠不會生長為智慧?！靶?shù)乘小數(shù)”的計算方法被抽象成計算法則，其中最為緊要的是“小數(shù)的末尾對齊”，也就是強調了“是什么”。但懷特海先生告誡我們“所有教育的核心問題是不能讓知識僵化，而要讓它生動活潑起來”。

“小數(shù)乘小數(shù)”時，一定是“小數(shù)的末尾對齊”嗎？如果是“小數(shù)點對齊”呢？我們究竟是應從“對錯”的角度進行二元評價，還是從是否合理簡便的角度進行優(yōu)化評價？反思慣性的傳統(tǒng)教學，當學生將“小數(shù)點對齊”時，即被教師認定為是錯誤的、低級的、不可饒恕的，其實，在計算小數(shù)乘法時，如果將小數(shù)點對齊，只要將每一部分積與對應的數(shù)位對齊，也能算出正確的結果，也就是說，小數(shù)乘小數(shù)中的“小數(shù)點對齊法”是可行的。

師：小明家陽臺的面積又該怎么計算呢？

生：用1.15×3.2。

師：剛才我們研究了3.8×3.2，是兩個一位小數(shù)相乘。1.15×3.2是兩位小數(shù)乘一位小數(shù)，你能用剛才的方法試一試嗎？

呈現(xiàn)學生作品：

師：這里有兩種不同的計算方法（見上圖）。第一種是把兩個乘數(shù)的末位對齊，第二種是把兩個乘數(shù)的小數(shù)點對齊，也就是把相同數(shù)位對齊，這兩種方法都正確嗎？（學生討論）

師：誰能解釋一下“末尾對齊法”？

生：把1.15×3.2看作 115 個 0.01 乘 32 個 0.1。0.01×0.1 表示百分之一的十分之一，是千分之一，也就是0.001。那么 115 個0.01 乘 32 個 0.1 就是 3680個 0.001，即3.680，根據(jù)小數(shù)的性質，去掉小數(shù)末位的0，答案是3.68（見下圖左）。

生：也可以把1.15乘100，3.2乘10，計算115乘32，算出積3680;由于兩個乘數(shù)分別乘了100、10，所得的積就等于原來的積乘 1000;為了讓積不變，就要用3680再除以 1000，得到3.68（見下圖右）。

相機出示：

師：“小數(shù)點對齊法”，也就是相同數(shù)位對齊的方法是否正確呢？（學生討論）

生：正確的。 115個0.01先與2個0.1相乘，得230個0.001，也就是0.230; 115個0.01乘3個1，得到345個0.01，也就是3.45，最后再把0.230和3.45加起來，答案是3.680，就是3.68。

師：115個0.01先與2個0.1相乘，得230個0.001，2、3、0分別寫在什么數(shù)位上呢？115個0.01乘3個1，得到345個0.01，3、4、5又分別寫在什么數(shù)位上呢？

生：第一部分積的2、3、0分別寫在十分位、百分位和千分位上;第二部分積的3、4、5分別寫在個位、十分位和百分位上。

相機出示：

師：兩個小數(shù)相乘時，“末尾對齊法”與“小數(shù)點對齊法”都對嗎？比較一下，哪一種寫法更加地簡潔方便？

生：“末尾對齊法”與“小數(shù)點對齊法”兩種算法都是正確的。在小數(shù)點對齊時，每一部分積寫的位置比較復雜，容易出錯;把兩個乘數(shù)末尾對齊，在計算時更加的簡潔方便，不易出錯。

例題教學時的3.8×3.2，由于兩個因數(shù)都是一位小數(shù)，并沒有分辨出在列豎式時究竟是兩個因數(shù)的末尾對齊還是小數(shù)點（也就是相同數(shù)位）對齊?！霸囈辉嚒痹谟嬎阈∶骷谊柵_面積1.15×3.2時，由于兩個因數(shù)小數(shù)的位數(shù)不同，課堂生成出因數(shù)的“末尾對齊”和“小數(shù)點對齊”兩種豎式寫法。課堂上教師對學生生成的“小數(shù)點對齊”并不回避，更沒有按照以往習慣給予否定，反而以此為契機，引發(fā)學生激烈討論與深度思考。如兩個小數(shù)相乘，就會得到一個新的、統(tǒng)一的計數(shù)單位;把兩個小數(shù)看成整數(shù)相乘的積就是新的、統(tǒng)一的計數(shù)單位的個數(shù)。1.15的計數(shù)單位是0.01，3.2的計數(shù)單位是0.1，兩個數(shù)相乘得到的新的、統(tǒng)一的計數(shù)單位是0.001，有3680個0.001，也就是3.68。

然而我們的教學并不止步于此。要在實踐中發(fā)現(xiàn)自由和訓練之間的那種確切的平衡，這種平衡能使求知獲得最大的收獲。深度學習就是要引領學生模擬地、簡約地經歷知識的發(fā)現(xiàn)、形成、發(fā)展過程，將靜態(tài)的知識激活，感悟知識本身蘊含的豐富復雜的內涵與意義。在引導學生對兩種算法的比較中，感悟到“小數(shù)點對齊法”雖可行，但復雜且容易出錯;而“末尾對齊法”在計算時更加的簡潔方便，是算法優(yōu)化的必然選擇。經歷上述教學過程，小數(shù)乘法的算法從單一化走向多樣化，再從多樣化走向優(yōu)化，使學生深刻地掌握了小數(shù)乘法的運算規(guī)則，更深刻地理解了小數(shù)乘法的算理，感悟到數(shù)學規(guī)則的溫情，提升了思維品質。

四、點狀到塊狀——規(guī)則體系的構建

小數(shù)乘小數(shù)的計算需要轉化為整數(shù)乘法計算，慣性的課堂教學都是將整數(shù)乘法和小數(shù)乘法作為一種遞進關系處理，也就是將整數(shù)乘法作為小數(shù)乘法的依據(jù)。在操作層面上，兩者之間是遞進關系;回溯到算理本質的角度，需要溝通兩者之間的深層次關系，從而構建新的、更高位的數(shù)學規(guī)則。

出示：

師：在整數(shù)乘法中，每一部分積也是計數(shù)單位統(tǒng)一的結果，你能說一說嗎？

生：115個一乘2個一，得230個一，2、3、0分別寫在百位、十位和個位上;115個一乘3個十，得345個十，就是3450，3、4、5分別寫在千位、百位和十位上。

師：小數(shù)乘法與整數(shù)乘法有什么相同之處嗎？

生：不論是整數(shù)乘法還是小數(shù)乘法，在相乘時，每一部分積其實都是一個新的、統(tǒng)一的計數(shù)單位，我們要正確計算出新的、統(tǒng)一的計數(shù)單位的個數(shù)。

以往教學的習慣，在處理小數(shù)乘法和整數(shù)乘法計算時，一般是概括為遞進關系，也就是在整數(shù)乘法的計算法則的基礎上，推導出小數(shù)乘法計算法則。其實，我們還應看到兩者之間并列關系的存在，也就是要構建出整數(shù)乘法與小數(shù)乘法之間的算法聯(lián)系，進行表征系統(tǒng)間的互相聯(lián)結，提煉出整數(shù)乘法與小數(shù)乘法之間共同的精神內核，使整數(shù)、小數(shù)乘法算理結成網、連成片。將新知識點、數(shù)學思想和方法納入原有知識系統(tǒng)，采用意義聯(lián)系的方式進行整合，也是深度學習的重要特征。從知識點到知識網，實現(xiàn)了算理的統(tǒng)一互通和學生高水平上的認知再平衡，從比較簡單的結構生長出更為復雜的結構，構建更為完整、清晰和穩(wěn)固計算規(guī)則系統(tǒng)。

基于習慣的反思，是有價值的;基于反思的完善，是有意義的;基于完善的發(fā)展，是不會停止的。讓我們對已經習慣了的教學思想和行為秉持更加審慎地思索，以走出習慣教學的藩籬，引領學生走向高品質的深度學習。

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