□許現(xiàn)新

《圓的認(rèn)識(shí)》是人教版教材六年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，屬于一節(jié)數(shù)學(xué)概念課，作為“圓”這個(gè)單元的起始課，它起著至關(guān)重要的作用。那么《圓的認(rèn)識(shí)》該怎樣教學(xué)，才能使學(xué)生易于理解和掌握呢？筆者認(rèn)為，圓的認(rèn)識(shí)教學(xué)應(yīng)從融合生活現(xiàn)象中叩問(wèn)圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

一、課前思考

在學(xué)習(xí)圓之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形、三角形等平面圖形，圓這一平面圖形與學(xué)生以往所學(xué)習(xí)的這些平面圖形有很大的區(qū)別，圓是曲線圖形?！秷A的認(rèn)識(shí)》是學(xué)生學(xué)習(xí)圓周長(zhǎng)、面積、圓環(huán)、扇形等知識(shí)的基礎(chǔ)。因而，作為“圓”單元的第一課時(shí)，在學(xué)習(xí)《圓的認(rèn)識(shí)》前無(wú)特別能借鑒的前知和經(jīng)驗(yàn)，但在學(xué)習(xí)后，它卻是很多知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

（一）圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？

什么是圓呢？在學(xué)生的認(rèn)知里，圓是平面內(nèi)的那條封閉曲線（如圖1），還是那個(gè)圍成的圓面？（如圖2）

圖1

圖2

我們知道，早在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，《墨子》中就已經(jīng)為圓寫(xiě)下了一個(gè)定義：“圓，一中同長(zhǎng)也。”意思就是說(shuō)“圓這種圖形，有一個(gè)中心，從這個(gè)中心到圓上各點(diǎn)都一樣長(zhǎng)”，這說(shuō)明圓的本質(zhì)就是與一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，顯然圓就是平面內(nèi)的那條封閉曲線。

（二）圓的生活現(xiàn)象何其多？

古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾說(shuō)“一切平面圖形中最美的是圓”。圓是幾何圖形中很普通又很美的圖形，在我們的日常生活中普遍有圓的存在，如硬幣、瓶蓋、鐘面、圓桌、光盤(pán)、井蓋、輪胎、草原上的蒙古包、操場(chǎng)上的圓，有些游戲活動(dòng)必須是圍成圓形的圈，等等。難道圓的存在只是因?yàn)槊绬幔匡@然圓的存在既體現(xiàn)了圓的美，又有其廣泛的實(shí)用價(jià)值，而圓的美與實(shí)用價(jià)值都來(lái)源于它的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（三）學(xué)生對(duì)圓認(rèn)識(shí)知多少？

學(xué)生在從小到大的成長(zhǎng)過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)看到圓、用到圓、想到圓。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中從低年級(jí)起就已經(jīng)接觸圓了。雖然圓的出現(xiàn)一般用在不同圖形的直觀分類，或是看圖列式作為直觀符號(hào)形式，或是學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中作為圖式分析的直觀模型（如維恩圖）幫助理解問(wèn)題，但是在正式學(xué)習(xí)圓的知識(shí)之前，學(xué)生對(duì)圓的認(rèn)識(shí)，只是在生活中、學(xué)習(xí)中比較粗淺的表面化的認(rèn)知，對(duì)圓的本質(zhì)概念并未觸及。

于是我們做了一個(gè)課前調(diào)查。調(diào)查內(nèi)容如下：

同學(xué)們，你們知道“圓”嗎？

“圓”是平面內(nèi)的那條封閉曲線？（圖①）

“圓”是那個(gè)圍成的圓面？（圖②）

“圓”既是平面內(nèi)的那條封閉曲線，又是那個(gè)圍成的圓面？

你認(rèn)為“圓”到底是什么？請(qǐng)你在你所認(rèn)為的圖下面的（ ）內(nèi)打“√”。

經(jīng)過(guò)匯總整理，我們發(fā)現(xiàn)被調(diào)查的一百余名學(xué)生中，有52%的學(xué)生認(rèn)為圓既是平面內(nèi)的那條封閉曲線，又是那個(gè)圍成的圓面；有36%的學(xué)生認(rèn)為圓是那個(gè)圍成的圓面；只有12%的學(xué)生認(rèn)為圓是平面內(nèi)的那條封閉曲線。可見(jiàn)，學(xué)生在未學(xué)習(xí)《圓的認(rèn)識(shí)》一課前，對(duì)圓的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)是模糊的，絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)圓的認(rèn)識(shí)的前概念與圓的本質(zhì)存在很大的偏差。

二、融合“生活現(xiàn)象”的教學(xué)設(shè)計(jì)

通過(guò)厘清圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)，分析圓的生活現(xiàn)象，調(diào)查了學(xué)生對(duì)圓的認(rèn)識(shí)的前概念。在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，力求將圓的“生活現(xiàn)象”與圓的“數(shù)學(xué)本質(zhì)”加以融合，從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，理解圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（一）以生活情境導(dǎo)入，激發(fā)探究數(shù)學(xué)本質(zhì)的欲望

在教師準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)概念本質(zhì)內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活的情境，激活學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)本質(zhì)的欲望。

【片段1】從“尋寶物”游戲?qū)胄抡n

出示“尋寶物”游戲情境：小明參加了一個(gè)尋寶游戲，寶物距離小明左腳3米，寶物可能在哪里？

（二）從生活現(xiàn)象中探究，架起建構(gòu)數(shù)學(xué)本質(zhì)的橋梁

把學(xué)生置于知識(shí)發(fā)現(xiàn)的真實(shí)“場(chǎng)景”當(dāng)中，從生活現(xiàn)象中探究，架起建構(gòu)數(shù)學(xué)本質(zhì)的橋梁，更易于學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)探究知識(shí)。

【片段2】從“寶物位置”感知“圓”的本質(zhì)

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出練習(xí)紙，我們用紙上面的小黑點(diǎn)表示小明左腳的位置，用圖上距離1厘米表示實(shí)際距離1米，請(qǐng)你在紙上表示出你的想法。

【片段3】從“轉(zhuǎn)繩子”體驗(yàn)“圓”的本質(zhì)

師：老師這里有一根繩子，繩上有一個(gè)掛件，請(qǐng)你想象一下，當(dāng)老師讓這個(gè)掛件快速旋轉(zhuǎn)起來(lái)，這個(gè)掛件留下的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么樣子的？

【片段4】從“操場(chǎng)上畫(huà)圓”感悟“圓”的本質(zhì)

師：圓在我們生活中很常見(jiàn)，籃球場(chǎng)上、操場(chǎng)上的大圓見(jiàn)過(guò)嗎？體育老師要在操場(chǎng)上畫(huà)一個(gè)大圓，怎樣才能把它畫(huà)出來(lái)？想象一下。

【片段5】從“圓規(guī)為什么能畫(huà)圓”內(nèi)化“圓”的本質(zhì)

教師出示圓規(guī)，介紹圓規(guī)畫(huà)圖的方法。

師：為什么圓規(guī)能畫(huà)出圓呢？請(qǐng)同學(xué)們利用圓規(guī)，在紙上空白地方畫(huà)一個(gè)半徑為2厘米的圓。

師：再畫(huà)一個(gè)直徑是6厘米的圓。

（三）在生活問(wèn)題中應(yīng)用，創(chuàng)設(shè)深化數(shù)學(xué)本質(zhì)的機(jī)會(huì)

數(shù)學(xué)從生活中來(lái)，又回到生活中去，架起數(shù)學(xué)與生活的橋梁，感受數(shù)學(xué)就在身邊，生活離不開(kāi)數(shù)學(xué)。通過(guò)生活現(xiàn)象中數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，給學(xué)生提供深化數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的機(jī)會(huì)。

【片段6】從“車輪為什么是圓的”深化“圓”的本質(zhì)

師：在我們生活中有很多物品都是利用了圓的特性來(lái)設(shè)計(jì)的，你想到了嗎？

師：為什么車輪是圓形的呢？

師：當(dāng)路是平的時(shí)，為什么圓形滾動(dòng)起來(lái)比較平穩(wěn)呢？

師：請(qǐng)你想象一下，用圓、正方形、正三角形做輪，讓這樣的輪子轉(zhuǎn)起來(lái)。圓的圓心和正方形、正三角形的中心點(diǎn)是如何變化的？

【片段7】從“寶物位置”升華“圓”的本質(zhì)

師：老師還有最后一個(gè)問(wèn)題，小明在你們說(shuō)的圓上找了一圈，發(fā)現(xiàn)寶物并沒(méi)有在這個(gè)圓上，是怎么回事呢？

三、叩問(wèn)“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的教學(xué)策略

在教學(xué)設(shè)計(jì)中融合了圓的“生活現(xiàn)象”，那么如何利用這些“生活現(xiàn)象”去叩問(wèn)圓的“數(shù)學(xué)本質(zhì)”呢？我們嘗試提出以下教學(xué)策略。

（一）想象與交流相穿插，體驗(yàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)

在學(xué)生探究生活現(xiàn)象中的數(shù)學(xué)本質(zhì)時(shí)，給予學(xué)生想象與交流的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在想象與交流中展現(xiàn)其個(gè)性思考，從而初步體驗(yàn)圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

通過(guò)“寶物距離小明左腳3米”這一游戲條件，讓學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)去思考、去畫(huà)一畫(huà)。展示學(xué)生作品（如圖3）。

圖3

教師啟發(fā)引導(dǎo)：“這些點(diǎn)都距離小明左腳3米，那么像這樣的寶物的位置，你還能找到嗎？想象一下，如果不斷地找下去，寶物所在的位置到底在哪里？”

給予學(xué)生充分想象的時(shí)間后，教師又提問(wèn)：“你覺(jué)得是什么？”多名學(xué)生交流后都認(rèn)為是“圓”。這時(shí)，教師借助課件向?qū)W生展示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)與自己的想象是一樣的，能找到無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，組成了圓（如圖4）。

圖4

在學(xué)生發(fā)現(xiàn)是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成了圓之后，教師不能讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)停留在這一膚淺的層面上。教師繼續(xù)追問(wèn)：“那么，你們說(shuō)的這個(gè)圓是什么呢？”有的學(xué)生說(shuō)：“它是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的一條線?！庇械膶W(xué)生說(shuō)：“是一條曲線?！睂W(xué)生的回答僅停留在圓比較直觀的形上，并未回答到本質(zhì)上。這時(shí)教師進(jìn)一步深入提問(wèn)：“這條曲線有什么特點(diǎn)？”學(xué)生通過(guò)小組內(nèi)的討論以及班級(jí)內(nèi)的交流，最終發(fā)現(xiàn)：線上的每一個(gè)點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離都是一樣的，所以才形成了這樣一條封閉曲線。

（二）想象與觀察相融合，感知數(shù)學(xué)本質(zhì)

在對(duì)生活現(xiàn)象的探究中，將想象與觀察相結(jié)合，動(dòng)中有靜，靜中有動(dòng)，虛實(shí)相融，動(dòng)靜結(jié)合，形象感知圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

在“轉(zhuǎn)繩子”中感知“圓”的本質(zhì)環(huán)節(jié)中，教師提出問(wèn)題：“老師這里有根繩子，繩上有一個(gè)掛件，請(qǐng)你想象一下，當(dāng)老師讓這個(gè)掛件快速旋轉(zhuǎn)起來(lái)，這個(gè)掛件留下的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么樣的？”

給予學(xué)生想象的時(shí)間后，教師加以演示旋轉(zhuǎn)，學(xué)生想象和觀察后得出“掛件運(yùn)動(dòng)的軌跡是個(gè)圓”（如圖5）。

圖5

教師追問(wèn)：“為什么掛件旋轉(zhuǎn)留下的軌跡是個(gè)圓呢？”

學(xué)生在討論中得出：“掛件到手指的距離是一樣的，轉(zhuǎn)動(dòng)就會(huì)形成圓?！?/p>

（三）想象與思辨相結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)

在想象中思考，在思考中思辨，使學(xué)生逐步清晰理解圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

在“操場(chǎng)上畫(huà)圓”這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師提出問(wèn)題：“體育老師要在操場(chǎng)上畫(huà)一個(gè)大圓，怎樣才能把它畫(huà)出來(lái)？”

學(xué)生有的說(shuō)：“做個(gè)大圓模型?！庇械恼f(shuō)：“做個(gè)大圓規(guī)?！庇械恼f(shuō)：“人站在中間，旋轉(zhuǎn)著用一支長(zhǎng)長(zhǎng)的筆來(lái)畫(huà)?！庇械恼f(shuō)：“找一根繩子，一端固定在操場(chǎng)上，在另一端系一支粉筆，人拉緊繩子繞著固定點(diǎn)畫(huà)一圈?！?/p>

在學(xué)生充分想象后，讓他們各抒己見(jiàn)，并讓學(xué)生進(jìn)行思辨，最后明確，這么大的圓，要想畫(huà)好，主要還是要借助“圓上的點(diǎn)到中心的距離是一樣的”這個(gè)概念，然后根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的方法。

又如，在“圓規(guī)為什么能畫(huà)圓”這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師出示圓規(guī)，提問(wèn)：“為什么圓規(guī)能畫(huà)出圓呢？想象一下圓規(guī)是怎樣畫(huà)圓的？”學(xué)生根據(jù)想象與思辨得出：圓規(guī)兩腳間距離不變，相當(dāng)于圓上的點(diǎn)到圓心距離不變。

（四）操作與對(duì)比相滲透，內(nèi)化數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)，需要學(xué)生的多種感官參與，動(dòng)手操作能讓學(xué)生手腦并用，多種感官協(xié)同參與，促進(jìn)知識(shí)內(nèi)化，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

如在“圓規(guī)為什么能畫(huà)圓”這個(gè)環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生用圓規(guī)畫(huà)一畫(huà)圓。

教師提出要求：“請(qǐng)同學(xué)們利用圓規(guī)，在紙上空白地方畫(huà)一個(gè)半徑為2厘米的圓?！?/p>

學(xué)生畫(huà)好后，展示作品，在展示的過(guò)程中讓學(xué)生明白只有“圓心到圓上的點(diǎn)的距離都相等”，才能畫(huà)出完整、美觀的圓（如圖6）。

圖6

教師又提出要求：“畫(huà)一個(gè)直徑是6 厘米的圓。”學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，畫(huà)直徑6 厘米的圓，實(shí)質(zhì)上就是圓規(guī)兩腳間距離取3厘米，也就是圓心和圓上點(diǎn)之間的距離是3厘米（如圖7）。

動(dòng)手操作是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的一種方法，在比較中畫(huà)圓，使學(xué)生認(rèn)識(shí)圓的基本結(jié)構(gòu)，并清晰地理解圓的各部分之間的關(guān)系，比如同圓或等圓中半徑是直徑的一半，有無(wú)數(shù)條半徑、無(wú)數(shù)條直徑、半徑?jīng)Q定圓的大小等等。學(xué)生在層層的探究活動(dòng)中，實(shí)現(xiàn)了對(duì)概念本質(zhì)由表及里、由淺入深逐步內(nèi)化的過(guò)程。同時(shí)畫(huà)圓的操作活動(dòng)也是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)理解后的外顯過(guò)程。

（五）解釋與拓展夯應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)本質(zhì)

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋、拓展生活現(xiàn)象。這一應(yīng)用過(guò)程，既是對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)深層次的理解，形成對(duì)知識(shí)的活學(xué)活用，又加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

如在“車輪為什么是圓的”這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師提問(wèn)：“為什么車輪是圓形的呢？”學(xué)生認(rèn)為圓形平穩(wěn)。

教師追問(wèn)：“為什么圓形滾動(dòng)起來(lái)比較平穩(wěn)呢？”學(xué)生四人小組討論后交流。

教師啟發(fā)思考：“請(qǐng)你想象一下，圓的圓心和正方形、三角形的中心點(diǎn)是如何變化的？”（如圖8）

學(xué)生想象后通過(guò)觀察課件，演示圓形、正方形、正三角形車輪中心點(diǎn)與著地點(diǎn)之間距離的運(yùn)動(dòng)變化，得出：輪胎為圓形時(shí)，它的圓心到地面的距離都是一樣的，就是半徑，所以行駛起來(lái)比較平穩(wěn)。

對(duì)源自于生活中“車輪為什么用圓形”現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的探討，呈現(xiàn)車輪實(shí)物圖，聯(lián)系生活實(shí)際，引發(fā)學(xué)生的思考，讓學(xué)生結(jié)合課堂探究成果，在想象與思辨中逐步體會(huì)與領(lǐng)悟，樸實(shí)揭密“車輪做成圓形”的原理，探尋其本質(zhì)，在理解與解釋中進(jìn)一步深化對(duì)圓概念本質(zhì)的理解。

又如在“寶物位置”的拓展應(yīng)用環(huán)節(jié)中，教師拋出問(wèn)題：“小明在你們說(shuō)的圓上找了一圈，發(fā)現(xiàn)寶物并沒(méi)有在這個(gè)圓上，這是怎么回事呢？”

這個(gè)問(wèn)題一下子又激起了學(xué)生的思索，通過(guò)前面學(xué)習(xí)的積累，學(xué)生在想象與思辨中腦洞大開(kāi)：寶物可能在地下，也可能在地上。

學(xué)生在層層的問(wèn)題引領(lǐng)和想象、思辨下，發(fā)現(xiàn)寶物可能在一個(gè)球面上，教師順勢(shì)用課件展現(xiàn)（如圖9），強(qiáng)化學(xué)生的想象與思辨認(rèn)知。

圖9

如此，通過(guò)對(duì)“寶物位置”的其他可能性判斷，想象與思辨相結(jié)合，升華對(duì)“圓”的概念本質(zhì)的認(rèn)知，拓展學(xué)生思維。

在《圓的認(rèn)識(shí)》教學(xué)中，我們淡化了對(duì)“圓”概念字面的記憶，抓住“圓”概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，激活學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，在融合“生活現(xiàn)象”中叩問(wèn)圓的“數(shù)學(xué)本質(zhì)”，將想象、交流、觀察、思辨、操作、應(yīng)用等貫穿于“圓”概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，凸顯“圓”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，幫助學(xué)生深度建構(gòu)“圓”概念，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。