鄭言 劉永枚

【摘要】本文甄選國外經(jīng)典的五本隨機分析教材，簡要介紹它們各自的內(nèi)容、特點和適用對象，重點知識模塊分別在選材、內(nèi)容和編排上做出對比分析，旨在梳理出隨機分析的核心知識框架，提煉出核心知識要素，以便教師和學生在選取教材時做出合理的選擇，提高教學效能，推進隨機分析課程建設.

【關鍵詞】隨機分析;隨機微分方程;經(jīng)典教材;對比分析;隨機積分

【基金項目】[1]本文系湖南省學位與研究生教育改革研究項目.（項目編號：2020JGYB004）;

[2]本文系國防科技大學研究生教育教學改革研究課題.（項目編號：yjsy2020024）

隨機分析是概率論的一個重要分支，它類比微積分建立了隨機微分、隨機積分等重要概念以及隨機版本的牛頓-萊布尼茲公式（伊藤公式），進而通過隨機微分方程等工具分析噪聲因素對現(xiàn)實世界的影響.從花粉粒子在液體中的運動到金融數(shù)學中的Black-Scholes模型，從工程領域的濾波理論到生物化學的酶動力學模型，等等，無不彰顯其重要的數(shù)理分析作用.

隨機分析自20世紀40年代誕生時起就得到了飛速而蓬勃的發(fā)展.1987年其創(chuàng)始人伊藤清獲得沃爾夫數(shù)學獎，2006年、2014年Wendelin Werner和Martin Hairer也因在隨機分析領域的突出成就獲得菲爾茲獎.2020年國家基金委將“隨機分析方法及其應用”列為“十三五”期間的“優(yōu)先發(fā)展領域及其主要研究方向”，將“動力學中的隨機方法”作為重大項目予以資助，表明隨機分析對于國家重大需求具有一定的戰(zhàn)略意義.

然而，我國的一些高校雖然于20世紀90年代就開始設立隨機分析課程，并先后撰寫和引進了一些教材.讓人遺憾的是，這門課程的整體建設進度并沒有與時俱進，甚至在一些高校還存在倒退甚至取消的窘境.問題的原因是多方面的，其中的一個重要原因是盡管市面上的隨機分析教材和講義已經(jīng)比較豐富，但內(nèi)容差異化過大，難度參差不齊，讓讀者無所適從.由于隨機分析的前沿性，一些教師也不能很好地選擇和利用教材，這更導致隨機分析的教學效能低下.為此本文仔細甄選了五本經(jīng)典的國外教材[1]-[5]，重點在選材和內(nèi)容上做出比較，梳理出隨機分析的核心知識框架，提煉出其核心知識要素.

一、教材的選擇和主要特點

隨機分析的教材大致上可以分為三類：面向數(shù)學專業(yè)（細分下去是概率專業(yè)）所撰寫的教材、面向金融專業(yè)所撰寫的教材以及面向一般理工生所撰寫的教材.三者的共性是面向對象都為高年級本科生、研究生或科研工作者，不過在選材、編排、難度上存在很大差異.第一類教材難度最大，對數(shù)學基礎薄弱的學生可讀性最差，其特點是不關心在數(shù)學學科之外的具體應用，而要求將隨機積分理論盡可能地建立得比較完備，以求囊括最廣泛的積分和被積函數(shù);第二類教材在數(shù)學上深度最低，不過需要讀者最好具備一定的金融學知識，其特點是對數(shù)學理論淺嘗輒止，作為數(shù)學工具夠用就行，證明也不是十分必要，而核心中的核心是結合金融數(shù)學中的實例演示隨機分析的實際應用;第三類教材的難度介于第一類與第二類之間，很多時候也是更重視結果而非過程，不過為了引入更多的應用實例，需要將隨機積分理論適當加深和補充，所以在內(nèi)容上也會有第一類教材所未涉及的.總之，在我們的調(diào)研中深感隨機分析的學習只依托一本教材是不夠的，因為讀者的需求未必與作者的撰寫思路完全契合，而且不同教材都有其可取之處，如果能夠交互補充和參考其實才是最可取的學習策略.慎之又慎下，我們將以下五本教材作為比較和研究的對象：

1.《金融隨機分析》[1]，作者是美國卡內(nèi)基梅隆大學數(shù)學科學學院的Steven E.Shreve教授（下文簡稱此書為斯書）.全書共分兩卷.第一卷主要包括概率論和隨機過程的基礎性知識以及離散時間模型，利用較簡單的離散時間二叉樹模型給出了風險中性定價、無套利期權定價方法等，雖只用到簡單的數(shù)學，但涉及了鞅、馬氏過程、測度變換等基本概念的簡單應用.第二卷以簡化且通俗的隨機分析理論為基礎，介紹連續(xù)時間模型及其在金融學中的應用，其中包含了許多操作性強、面向實際應用的定量經(jīng)濟學內(nèi)容.雖然第一卷并不包含隨機分析的真正內(nèi)容，但非常適合作為第二卷的預備讀本，因為讀者可以通過離散時間模型理解隨機分析在分析連續(xù)模型時的重要思想.全書各章均有評注和習題，閱讀基礎只需要掌握微積分即可.

2.《隨機微分方程導論與應用（第6版）》[2]是《Universitext》叢書之一，作者是挪威頂尖學府奧斯陸大學（其計量經(jīng)濟學和數(shù)學的研究成果享譽世界）的Bernt Oksendal教授（下文簡稱此書為奧書）.這是一部廣泛使用的研究生教材，主要內(nèi)容包括伊藤積分、鞅表示定理、隨機微分方程、濾波問題、擴散理論的基本性質和相關論題、在邊值問題中的應用、在最優(yōu)停時中的應用、隨機控制中的應用及數(shù)理金融中的應用.雖然在隨機分析的教材中奧書以易讀易用著稱，不過這也只是針對數(shù)學專業(yè)而言，其包含的大量證明并不適合數(shù)學基礎薄弱的學生閱讀.因此數(shù)學系高年級本科生及研究生可以較易上手，而一般的理工科和金融管理類的高年級本科生及研究生需要深化相關的數(shù)學基礎，特別是要堅持做書后習題（書后附有部分習題解答和提示），不然會影響對本書的理解和掌握.

3.《隨機分析及其應用》[3]，作者是世界百強名校，澳大利亞蒙納士大學（Monash University）的知名教授Fima C.Klebaner （F.C.克萊巴納）（下文簡稱此書為克書）.本書是隨機分析炙手可熱的教材之一，選題兼顧理論和應用兩個維度，內(nèi)容廣泛豐富.書中闡述了其在各領域的典型應用，包括數(shù)理金融中金融衍生品（如期權）的定價和對沖、工程中的濾波和控制理論、物理學中隨機激勵對各種物理現(xiàn)象的影響、生物學中種群的繁衍和環(huán)境變化對種群的影響.該書在論述上追求簡潔易懂，注重數(shù)學啟發(fā)和數(shù)學直覺，為此犧牲了一定的數(shù)學嚴密性.本書適合只具備一般高等數(shù)學和概率論基礎的高年級本科生、研究生和研究人員閱讀.書內(nèi)示例和習題十分豐富，并附有解答.

4.《隨機積分和微分方程（第2版）》[4]，作者是美國康奈爾大學運籌學與工程學院的Philip，E.Protter教授（下文簡稱此書為普書）.這是一本十分有特色的教材，它用函數(shù)解析法研究半鞅的隨機積分，不過并不遵循一般的先介紹鞅論的一般理論再定義隨機積分，而是以一種十分契合隨機積分定義的方式先定義半鞅，再討論半鞅的性質.除此之外，該書也討論了隨機微分方程和濾子的擴張理論，選材不落俗套，如停時的分類、Bichteler-Dellacherie定理、鞅表示的Jacod-Yor定理、鞅表示的例子以及Sigma鞅等都有涉及.普書很好地選擇性吸收了很多文獻的最新研究成果，力求證明的啟發(fā)性和敘述的簡潔性，不過在可讀性上并不適合非數(shù)學專業(yè)，此外，它還要求讀者先了解隨機過程的基礎知識.本書的示例偏理論，習題難度跨度較大，沒有解答.

5.《鐘開萊隨機積分導論 第2版》[5]是二十世紀后半葉“概率學界學術教父”鐘開萊先生的經(jīng)典名著（下文簡稱此書為鐘書）.鐘書由鐘開萊教授在斯坦福大學和加州大學圣迭戈分校授課的講義改寫而成，內(nèi)容改動不大，主要加強了完備性和嚴謹性，基本呈現(xiàn)了二十世紀九十年代隨機積分理論的發(fā)展狀況.它超越了伊藤清創(chuàng)建的經(jīng)典理論，但并未涉及不連續(xù)分支理論.概括而言，連續(xù)樣本軌道的局部鞅的隨機積分是的主書的主要議題，也引入一些只要求軌道右連續(xù)性的結論以拓展應用.書中關于鞅的hermite多項式、Cameron-Martin-Girsanov 公式、Feynman-Kac-Schrdinger展開式和反射布朗運動的內(nèi)容有一定特色.鐘書保持著鐘先生著作的一貫特點，嚴謹性高于簡潔性，即十分注重數(shù)學邏輯的嚴密性，為此不惜筆墨，讀來有娓娓道來之感.總之，此書作為二十世紀世界名校的教材確實值得一讀，既可得到顯著的數(shù)學訓練，也可借此了解隨機分析的發(fā)展歷程.

二、教材內(nèi)容比較

在微積分的準備知識方面，鐘書和普書只用二到三節(jié)的篇幅快速介紹了重要概念和定理，不過是用測度論的語言嚴格敘述，入門門檻并不低，鐘書介紹了可測性、Lp空間、單調(diào)類定理、有界變差函數(shù)和Stieltjes積分，普書與鐘書類似，編排順序不同，重點介紹了Stieltjes積分的變量替換;克書介紹了連續(xù)可導函數(shù)、右連左極函數(shù)、有界變差、黎曼積分、Stieltjes積分、Lebesgue積分、微分和積分、泰勒公式，之所以克書在這部分內(nèi)容比較豐富，是因為它的定位是面向基礎最薄弱的學生群體;斯書和奧書介紹了二次變差，其他內(nèi)容略去，這種處理是因為這兩本教材在數(shù)學上采取了比較簡單的處理方式，而且也假設讀者具備一定的高等數(shù)學基礎.

在概率論的準備知識方面，斯書用了接近兩章的內(nèi)容，是最易讀的，包括隨機變量和分布、期望、積分的收斂、獨立性、條件期望、隨機過程、鞅和Markov性，特點是測度的變換（后面章節(jié)考慮了停時）;奧書篇幅最為短小，但是以測度論為基礎，有Doob-Dynkin引理、Kolmogorov擴張定理、鞅的知識推到了隨機積分的性質那一節(jié)，而Markov性則放在了擴散那一章;克書特點是將離散概率模型作為引例，引入停時的概念，關于σ代數(shù)的一些概念（如濾子）描述得更加精細，鞅和Markov性則放在下一節(jié)與布朗運動結合在一起引入;普書和鐘書都介紹了停時、鞅收斂定理、向后收斂定理、Doobs Optional sampling定理、局部鞅，普書特別地介紹了cadlag過程，鐘書特別介紹了Optional Times.

奧書只用了一節(jié)內(nèi)容介紹布朗運動的定義和最基本性質;斯書用了一章的篇幅，先討論隨機漫步，然后討論布朗運動的濾子、鞅性、二次變差、Markov性、首次通道時間分布（指數(shù)鞅）、反射原理（后面又引入了布朗運動的最值研究）;克書增加研究了逃逸時間和擊中時間，最大最小函數(shù)，布朗運動的零點，布朗運動的增量（隨時間增大的速度），高維布朗運動和Poisson過程;鐘書有一節(jié)專門討論two canonical processes;普書簡要介紹了Poisson過程和布朗運動.

奧書僅對布朗運動定義了隨機積分（被積函數(shù)是廣義適應和平方可積的）;斯書和克書先是對布朗運動定義隨機積分，然后在后面定義了關于帶跳過程的隨機積分（克書實際上是簡要介紹了關于半鞅的隨機積分的定義，然后將帶跳過程的隨機積分作為特列，為此用了三章的篇幅，而斯書只用了一章）;鐘書是關于連續(xù)軌道的局部鞅（個別處也推廣到了右連續(xù)軌道）定義了隨機積分（總共用了三章）;普書定義了關于半鞅的隨機積分，用一章定義了黎曼型隨機積分（被積函數(shù)是右連左極的適應過程），再用兩章的篇幅定義了Lebesgue型隨機積分，為此用了一章篇幅建立了鞅分解的Bichteler-Dellacherie定理（Doob-Meyer分解和Meyer-Girsanov定理是其中間結果）.

奧書在定義隨機積分后得到了1維和多維的伊藤公式以及鞅表示定理;斯書也建立了多維伊藤公式，研究了布朗橋（為后面的蒙特卡洛模擬做準備），而將鞅表示定理推遲到下一章風險中性定價理論中引入（Girsanov定理也是如此）;克書建立了多維的伊藤公式，研究了高維的伊藤過程;普書建立了伊藤公式（第2章）、Girsanov定理、擬鞅、補償子、局部鞅的基本定理（第3章）、鞅表示定理、半鞅局部時間和Tanaka公式、鞅對偶和Jacod-Yor定理、Azema鞅（作為一種反例）、Sigma鞅（一類特殊的半鞅）（第4章）;鐘書建立了伊藤公式及其推廣（包括布朗局部時間和Tanaka公式），關于時間和測度的變換公式（cameron-martin-giranov變換），應用方面討論了鞅表示、存儲理論中的近似、反射布朗運動和Feynamn-Kac公式（薛定諤方程）.

斯書只是在給出SDE的定義和Markov性后就迅速轉向應用;奧書只給了SDE強解的存在性和唯一性，也是針對后面的應用給出了相對簡單的情形，基本上對應著ODE里面最簡單的情形，后面證明了Markov性和強Markov性;克書證明SDE強解的存在性和唯一性和奧書條件類似，但是還給出了弱解的存在性和唯一性證明，不過Markov性和強Markov性述而不證;普書引入了多種Lipschitz條件： random Lipschitz，process Lipschitz以及functional Lipschitz，證明了強解的存在唯一性，沒有涉及弱解.研究了SDE的穩(wěn)定性，證明了強Markov性;鐘書的SDE只用一章處理，內(nèi)容比較精煉，得到了強解的存在唯一性，引入了弱解的定義，證明了強Markov性.只有普書和克書研究了Stratonovich微分方程.

斯書重點引入了Feynamn-Kac公式，而將Kolmogorov向前向后方程作為練習;奧書討論了擴散過程的生成元、特征算子、Dynkin公式、Kolmogorov向后方程（先前作為練習）、Feymann-Kac公式、Girsanov定理（其實這個可以在建立了伊藤公式后引入）;克書討論了Kolmogorov向前向后方程、Dynkin公式、Feymann-Kac公式、逃逸時間、解的爆破（也考慮了Markov帶跳過程）、不變測度、回復性等、Girsanov定理（包含點過程，然后把似然率估計作為應用，后面期權定價也會用到）;普書介紹了解流理論，提供了一些有用的解的矩估計;鐘書在這部分缺乏內(nèi)容.

其他內(nèi)容方面，作為應用斯書介紹了各種金融模型，最后一章考慮了帶跳過程的隨機積分（帶跳過程主要是Poisson過程和復合Poisson過程），考慮了測度變換;克書考慮了數(shù)學金融、生物學、工程學（濾波）、物理（二維方程的隨機擾動）上的應用;奧書在數(shù)學上的專題是濾波和擴散的深入研究（鞅問題、隨機時間變換，伊藤過程在什么條件下是擴散過程），應用涉及邊值問題、最優(yōu)停止、隨機控制、金融數(shù)學;鐘書只是提供了一些經(jīng)典的例子，如O-U過程，Bessel過程，Black-Scholes公式等;普書用一章的篇幅介紹了濾子的擴張理論.

三、隨機分析的核心知識要素

隨機分析的預備知識包含兩方面：一部分是微積分中關于積分理論的知識（主要是Stieltjes積分和有界變差等），一部分是概率論中關于概率空間、隨機變量、期望、隨機變量的收斂、條件期望、隨機過程的基本知識.雖然總體知識容量不大，但如果沒有先修過微積分和概率論課程，想直接通過閱讀預備知識而上手確實有一定難度.此外，雖然不是所有的教材都以測度論為基礎講述概率論，但如果能夠進修過測度論或者實變函數(shù)這兩部分內(nèi)容確實可以事半功倍，因為測度論不僅為后續(xù)的內(nèi)容提供了嚴格的數(shù)學基礎，而且測度論的核心就是積分理論，其對于學習和理解隨機積分理論是十分有意義的.

在正式學習隨機積分理論之前，需要學習布朗運動的定義和基本性質.布朗運動的定義比較簡單，但是它的構造理論一般有三種，無論哪一種都不是簡單的知識，初學者應該在熟知布朗運動定義的基礎上，初步了解其中一種構造理論.而布朗運動的軌道性質即便在今天也是一個有生命力的研究領域，內(nèi)容十分豐富.考慮到與后續(xù)內(nèi)容的關聯(lián)性，最重要的是布朗運動的鞅性、Markov性、無處可導和無界變差等.值得一提的是，關于鞅的知識其實可以作為預備知識結合高等概率論的教材深入了解，而Markov性既可以提前了解，也可以在擴散理論部分再介紹，這里有一定的彈性.

隨機積分理論最核心的內(nèi)容是隨機積分的定義、隨機積分的性質和伊藤公式，貫穿其中的一個很重要的技巧是局部化.Stratonovich 積分和Tanaka 公式作為伊藤公式的延展內(nèi)容有一定了解的必要.在掌握了上述內(nèi)容后，已經(jīng)可以初步涉入隨機分析的應用領域，而Gisanov定理和鞅表示定理就是隨機積分理論最重要的應用，前者幾乎可以處理與隨機分析相關的一切測度變換問題（當然Gisanov定理有很多個版本），而后者在某種程度上特別適合處理一些反問題，二者的重要性在金融數(shù)學和工程中得到充分彰顯.

隨機微分方程理論主要包含強解、弱解的存在唯一性和解的性質.如果只做泛泛了解，可以只學習強解的存在唯一性和解的（強）Markov性.不過，隨機微分方程理論可以作為隨機分析的應用組件，它的應用性主要與解的性質相關.因此，如果能夠進一步地學習擴散理論，特別是了解Dynkin公式、Kolmogorov方程、Feymann-Kac公式等內(nèi)容是大有裨益的.

將以上隨機分析的核心知識要素稍做整理，最簡單的學習主線是經(jīng)由預備知識——布朗運動——隨機積分——伊藤公式，可以借此大致了解隨機分析最經(jīng)典最核心的內(nèi)容.進一步的學習有幾種選擇：一是可以學習現(xiàn)代的隨機積分理論，即將積分子擴展到局部鞅甚至半鞅，這樣帶來的直接好處是可以考慮帶跳過程的積分;一是學習隨機微分方程、擴散理論、濾波理論、隨機控制理論、最優(yōu)停止理論，這樣一旦結合金融數(shù)學、生物學、工程學、物理中的應用實例就可以迅速走上應用的前沿;一是在數(shù)學理論上進一步提升，研究隨機微分方程理論、擴散理論、邊值問題、濾子的擴張理論、多重Wiener-It積分理論等，這樣可以進入到其他與隨機分析關聯(lián)的數(shù)學領域，如研究熱核估計、大偏差原理、奇異攝動非線性濾波等.

四、結束語

近幾十年來，隨機分析已發(fā)展成現(xiàn)代數(shù)學的核心領域之一，與偏微分方程、調(diào)和分析、幾何、拓撲、量子場論、統(tǒng)計力學等領域相互滲透、相互促動，在現(xiàn)代數(shù)學的研究和發(fā)展中書寫了絢爛多彩的篇章.本文簡要地介紹了五本經(jīng)典教材，仔細地分析了它們的特點和適用對象，通過詳細的對比分析試圖總結出隨機分析的核心知識框架和知識要素，希望可以幫助有志之士快速進入這一激動人心的領域，進而在數(shù)學、金融、網(wǎng)絡、監(jiān)測、生物、醫(yī)學和圖像處理等方面可以運用隨機微分方程及其延展數(shù)學分支的理論和方法去分析和解決科學研究和工程技術中所遇到的實際問題.

【參考文獻】

[1]史蒂文·E·施里夫.金融隨機分析[M].上海：上海財經(jīng)大學出版社，2008.

[2]厄克森達爾.隨機微分方程導論與應用（第6版）[M].北京：科學出版社，2012.

[3]克萊巴納.隨機分析及應用[M].北京：人民郵電出版社，2008.

[4]Philip E.Protter.隨機積分和微分方程：第2版[M].北京：世界圖書出版公司，2008.

[5]鐘開萊.隨機積分導論（第2版，影印版）[M].北京：世界圖書出版公司，2014.