劉洋

[摘? 要] 數(shù)學建模是高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要組成部分，在傳統(tǒng)教學中也有著重要的地位，傳統(tǒng)教學中的不足之處在于：學生完成了數(shù)學抽象后，要將形成的模型用數(shù)學語言清晰地表達出來，而數(shù)學語言運用恰恰是一個薄弱環(huán)節(jié). 在數(shù)學建模的教學中，教師必須高度重視數(shù)學語言的價值，要努力引導學生在運用數(shù)學語言的基礎上，將數(shù)學模型描述得更加清楚，這樣才能讓學生更好地建立數(shù)學模型，進而運用數(shù)學模型.

[關鍵詞] 高中數(shù)學;數(shù)學建模;語言表達

數(shù)學建模是高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要組成部分，在傳統(tǒng)教學中也有著重要的地位. 對數(shù)學建模教學，很長一段時間里都處于宏觀研究的境地，讓學生研究生活中的實際事例，然后用數(shù)學方法對其抽象并表達，最終建立起包括數(shù)學概念、規(guī)律在內(nèi)的數(shù)學模型，是主要的教學思路. 應當說，這樣的教學取得了一定的效果，但是也暴露出了一些細節(jié)上的不足. 例如，在學生完成了數(shù)學抽象后，要將形成的模型用數(shù)學語言清晰地表達出來，就是教學中容易被忽視但又非常重要的一個環(huán)節(jié).

圍繞數(shù)學建模進行語言表達能力培養(yǎng)的研究，是一個非常切合實際同時又能夠有效培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的研究. 數(shù)學建模對應的是學生數(shù)學學習的過程，學生通過數(shù)學建模所建立起來的模型——廣義視角下的數(shù)學模型內(nèi)容是十分豐富的，數(shù)學概念與數(shù)學規(guī)律都被認為是一種數(shù)學模型，所以當學生建立起數(shù)學模型后，能否準確地運用數(shù)學語言來表示自己的學習結果，直接影響著數(shù)學知識的有效建構，也影響著學生學習水平的提升;而且從學習心理學的角度來看，培養(yǎng)學生的語言運用能力，實際上就是培養(yǎng)學生的信息輸出能力. 學生在數(shù)學建模的過程中所形成的認識在準確轉化為數(shù)學語言后，才意味著一個相對完整的學習過程的結束. 所以從這個角度來看，在數(shù)學建模中培養(yǎng)學生的語言表達能力，實際上是學習的最后一個重要環(huán)節(jié)，是學生建構數(shù)學知識體系的臨門一腳.

筆者注意到數(shù)學建模中學生數(shù)學語言表達能力的重要性后，認真進行了研究，獲得了一些新的認識.

數(shù)學建模需要重視數(shù)學語言的運用

數(shù)學模型在學生的認知當中有不同的表征方式，有的是以圖景的形式存在的，如“平面向量”的模型在學生的大腦中就是一條帶有箭頭的直線的表象;有的是以語言的形式存在的，如一些與“形”無關的數(shù)學概念，學生在大腦中形成的模型往往就是純粹的數(shù)學語言，如“平面上兩點之間的距離”，其計算公式就是，其在學生大腦中形成的模型，就是以這樣的一段語言來表征的，沒有一個形象的圖景，只能依賴數(shù)學語言. 這個時候反思曾經(jīng)的數(shù)學教學，可以發(fā)現(xiàn)對于這些類型的知識，其實很少有教師基于模型的認識去實施教學，對語言的加工也只局限于學生的記憶而非以之形成模型認知.

實際上，在數(shù)學教學中強化建模，本身就有培養(yǎng)數(shù)學思維的目的，而且更多的是抽象思維. 從學習心理學的角度來看，抽象思維的加工對象正是語言，離開了語言，抽象思維就無法有效展開，而離開了抽象思維，數(shù)學建模也就無法有效展開. 因此，數(shù)學建模必須高度重視數(shù)學語言的運用. 這個時候再來看數(shù)學建模，其就是將實際問題首先轉化為相應的數(shù)學問題，即數(shù)學模型，然后對這個數(shù)學模型進行求解，這個過程就稱為數(shù)學建模. 建成數(shù)學模型后，再利用其去解決原先的實際問題或新的問題. 分析這一過程，其實也能夠發(fā)現(xiàn)，抽象實際事物時靠的就是教師的數(shù)學眼光，那么數(shù)學眼光從哪里來？自然來自以數(shù)學語言為工具的數(shù)學思維;解決問題時，本身就需要用數(shù)學思維加工問題，并用數(shù)學語言表征問題，此時數(shù)學語言仍然是無法回避的一個關鍵要素.

因此，在數(shù)學建模教學中，教師必須高度重視數(shù)學語言的價值，要努力引導學生在運用數(shù)學語言的基礎上，將數(shù)學模型描述得更加清楚，這樣才能讓學生更好地建立數(shù)學模型，進而運用數(shù)學模型.

數(shù)學建模過程中語言運用能力的培養(yǎng)

在數(shù)學建模的過程中，學生數(shù)學語言運用能力的培養(yǎng)，是需要理論與實踐共同指導的. 從理論的角度來看，上面已經(jīng)強調過，那就是數(shù)學語言既是數(shù)學思維的載體，又是數(shù)學思維的具體體現(xiàn). 斯托利亞爾提出：“數(shù)學教學就是數(shù)學語言教學！”這樣的判斷對于當前高中數(shù)學教學來說，具有醍醐灌頂?shù)淖饔?，而學生能否運用恰當、準確的數(shù)學語言有邏輯地表達、交流，也體現(xiàn)了學生數(shù)學素養(yǎng)的高低. 由此可見，學會正確、合理地使用數(shù)學語言是數(shù)學學習的一項基本而重要的任務. 在筆者的實踐中，基于數(shù)學建模的數(shù)學語言運用能力的培養(yǎng)，主要遵循的思路是：用數(shù)學語言驅動數(shù)學思維完成數(shù)學抽象，在數(shù)學建模的過程中完成學生語言向數(shù)學語言的轉化.

例如，在“圓的標準方程”的教學中，可以趙州橋為情境素材，讓學生先觀察趙州橋的“圓拱”，然后提出問題：如何求出圓拱所在圓的方程？

這樣一個問題的解決，本身就需要一個數(shù)學模型. 學生第一步進行數(shù)學抽象很簡單，只要將“圓拱”還原到“圓”當中即可——這里的“圓拱”是生活表述而“圓”是數(shù)學概念. 從數(shù)學語言運用的角度來看，此處是第一次數(shù)學語言的運用，但這個運用對于能力培養(yǎng)而言作用一般，因為憑著生活經(jīng)驗即可完成這一轉變. 其后，建立直角坐標系并求出圓上某點P（x，y）所滿足的關系式，本質上就是借助于數(shù)學語言與數(shù)學概念的邏輯關系進行推理的過程，即圓上任意一點到圓心的距離都等于半徑，由此建立起來的關系式就是=r，經(jīng)由推理后即可得圓的標準方程（具體略）.

從模型的角度來看，學生在情境中運用數(shù)學語言提出問題、描述問題，其后又運用數(shù)學語言（包括文字語言和圖形語言）去引導數(shù)學模型的形成. 尤其是在推理的過程中，學生有可能出現(xiàn)的樸素語言是“到原點（圓心）的距離為定值的點的集合”等，這實際上是從集合的角度對圓進行的定義，屬于數(shù)學語言中的文字語言. 在此基礎上向符號語言進行轉化，即在邏輯推理的基礎上得出方程，應當成為運用數(shù)學語言的核心環(huán)節(jié).

由此也可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學語言在數(shù)學建模過程中的運用，實際上不能局限于文字表述、符號表述，也不能局限于文字或符號對數(shù)學規(guī)律的描述，更多的應當是文字、符號以及數(shù)學邏輯關系的組合運用. 只有形成這樣的認識，才算是真正理解了“數(shù)學教學就是數(shù)學語言教學”. 這樣的理解，實際上既注重數(shù)學語言本身，更注重數(shù)學語言之間的邏輯. 在此基礎上可以得出的結論是：只有當學生基于準確的數(shù)學邏輯運用數(shù)學語言時，才是學生數(shù)學語言表達能力養(yǎng)成的時候.

數(shù)學建模教學要高度關注關鍵細節(jié)

數(shù)學建模作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)中最重要的一個因素，其是對數(shù)學研究對象的高度概括，是數(shù)學思想方法的集中體現(xiàn). 對于數(shù)學與數(shù)學語言的關系，語言學家布龍菲爾德說：“數(shù)學是語言所能達到的最高境界.”數(shù)學是思維嚴謹?shù)目茖W，精妙的數(shù)學思維包含在豐富多彩的語言中，訓練數(shù)學語言的過程就是訓練思維品質的過程，也是培養(yǎng)數(shù)學能力的過程.

什么是數(shù)學品質？什么又是數(shù)學能力？其實這些問題都可以在數(shù)學建模的視角下回答：數(shù)學品質就是學生在數(shù)學建模過程中表現(xiàn)出來的思維品質，數(shù)學能力就是學生在數(shù)學建模過程中表現(xiàn)出來的知識理解與運用能力. 關注學生在數(shù)學建模過程中的語言運用，可以更好地洞察學生數(shù)學學習的細節(jié)，尤其是當學生已經(jīng)有了認知但卻無法用準確的數(shù)學語言來描述認知時，這實際上就是借助于數(shù)學語言培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，進而提升學生數(shù)學品質的過程. 在這樣的過程中，學生可能會有一個語言運用從低階到高階的階段. 在低階，學生對數(shù)學語言的運用可能是粗糙的、膚淺的，其中還可能會夾雜著一些生活語言，這種模糊的語言運用，需要得到教師的有效指導，需要向精確的數(shù)學語言延伸. 在學生得到數(shù)學語言的相關表述后，還應當引導學生進行比較——比較的對象就是自己所組織的語言以及后來所選擇的數(shù)學語言，通過比較發(fā)現(xiàn)兩者之間的差別，發(fā)現(xiàn)自己在語言運用過程中存在的一些不足. 這種帶有反思性質的比較，對于語言表達能力的培養(yǎng)來說，有著重要的促進作用.

綜上所述，高中數(shù)學教學中借助于數(shù)學建模進行語言能力的培養(yǎng)，是打造高效課堂的重要抓手，是促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)落地的重要途徑，在實際教學中必須高度重視、悉心研究，如此才能更好地將高中數(shù)學傳統(tǒng)教學與現(xiàn)代教學結合起來，從而讓高中數(shù)學教學呈現(xiàn)出更加理想的形態(tài).