馬駿　杜俊宏

[摘 要]面積概念的抽象性、教材內容的差異性以及學生經(jīng)驗的不足，導致“面積和面積單位”的教學存在一定的難度。教師在教學中可以通過多覺聯(lián)動、動態(tài)比較、量化驅動、拓展升華，幫助學生建立起豐富、生動而又準確的“面積”概念，以提升學生的學科核心素養(yǎng)。

[關鍵詞]概念教學;面積本質;面積單位;素養(yǎng)提升

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）08-0045-03

“面積和面積單位”是小學數(shù)學三年級下冊的教學內容。作為單元的起始課，學生將在本課實現(xiàn)知識體系從“線”到“面”的跨越，空間觀念由“一維”向“二維”的拓展。同時，深刻理解“面積”這一概念，也是學生進一步學習“圖形與幾何”的基礎以及發(fā)展直觀想象能力的基礎，因此這節(jié)課的重要性不言而喻。

一、內容解讀與學情分析

1.關于“面積”的學術概念

《數(shù)學辭海》將“面積”定義為：對于每一個封閉圖形，用唯一的非負實數(shù)與它對應，如果這種對應滿足：①邊長為1個長度單位的正方形作為面積單位，與數(shù)1對應;②全等圖形與相同的實數(shù)相對應;③圖形所對應的數(shù)就等于各個部分圖形所對應的數(shù)之和，則該圖形對應的非負實數(shù)稱為該圖形的面積。可見，對于面積的學習，可以從度量的角度入手，引導學生用“數(shù)值”來刻畫和表征二維空間的大小，從而感悟面積的本質。

2.學生經(jīng)驗

學生關于“面積”的前認知往往淡化了其度量的本質，而更多地聚焦于以“降維”的方式，通過長度的測量，借助面積計算公式來確定圖形面積。這種“知其然而不知其所以然”的學習方式，容易使得學生對測量本質的理解產生負遷移的作用。

基于以上分析，筆者確定以感悟面積概念、建構面積單位為知識目標，以引導學生領悟面積測量本質、形成量感思維為能力目標，以培養(yǎng)學生空間觀念、直觀想象為素養(yǎng)目標，開展相應的教學實踐。

二、教學過程

1.從具象到抽象，多覺聯(lián)動鞏固“面”的認識

在理解“面積”這種抽象的概念之前，教師可以調動學生的生活經(jīng)驗，通過看、摸、說等方式，利用多種感官的聯(lián)動，先讓學生充分感知什么是“面”。

【教學片段1】

環(huán)節(jié)一：感知物體的“面”

師：同學們，教室里有哪些物體呢？摸一摸這些物體，說說摸的是什么。

生1：有課桌，我們摸到的其實是課桌的“面”。

生2：還有數(shù)學課本，它有上、下、左、右、前、后六個面。

……

師（小結）：剛才咱們提到的桌面、數(shù)學課本的各個面等都屬于物體表面。

環(huán)節(jié)二：探究平面圖形中的“面”

師：除了物體表面，在數(shù)學世界里還有其他“面”嗎？老師把書本的表面描畫下來，得到一個長方形，它有面嗎？哪些圖形也有面？

生3：正方形、圓形、三角形，甚至不規(guī)則圖形也有面。

師：不僅如此，像圓柱、長方體這樣的立體圖形也有面（如圖1）。

【評析】認識“面”是深入理解“面積”的基礎，在上述教學片段中，教師以“面”為主題，從獨立觀察的視角出發(fā)，運用觸摸、舉例、聯(lián)想等方式，從物體表面開始，逐步深入到平面圖形，再適當拓展至由平面圖形圍成的立體圖形，實現(xiàn)研究對象從具體到抽象的深入，引導學生構建了一個豐富而又深刻的“面”的認知。

2.在比較中生成，在變化中理解“面積”的意義

如果說對“面”的學習，是在研究多個單獨對象的基礎上，分類抽取其共性，則對于“面積”的學習，可從對比觀察的視角，引導學生在“面”的大小比較中，建立對“面積”這一概念的初步認識。同時，教師還要將“面積”概念與學生之前學過的“長度”概念進行對比，促進學生對于新授概念的進一步內化。

【教學片段2】

環(huán)節(jié)一：比較中引入面積概念

師：剛才我們分別觀察單個的“面”，現(xiàn)在對比觀察一下黑板面和作業(yè)本封面，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：黑板面大，作業(yè)本封面小。

師：看來物體表面有大有小，我們把黑板面的大小叫作黑板面的面積。那什么是作業(yè)本封面的面積呢？有沒有面積比作業(yè)本封面小的？有沒有面積比黑板面大的？（學生回答略）

師：觀察這幾個平面圖形（如圖2），它們有沒有面積？請按照面積的大小排序。

生2：那個不封閉的圖形是沒有面積的。這些平面圖形的大小就是指它們的面積。按照面積大小排序為：長方形>正方形>不規(guī)則圖形>圓形>三角形。

師：關于面積，我們研究了哪幾類？什么是它們的面積？

生3：研究了兩類，一類是物體表面，一類是平面圖形。物體表面或平面圖形的大小就是它們的面積。

生4：我補充，這里的平面圖形得是封閉圖形。

環(huán)節(jié)二：對比中深化理解

師：那“大小”和“長短”有什么區(qū)別呢？請同學們觀察這兩個動畫后回答。（動畫一：線段先變長后變短，直至變?yōu)橐稽c。動畫二：長方形的寬不變，長先延長后變短，直至長方形成為一條線;長方形的長不變，寬先延長后變短，直至長方形成一條線。）

生5：“長短”的變化是在一個方向上的，要么長度變長，要么長度變短。

生6：“大小”的變化是在兩個方向上的，要么是橫著變化，要么是豎著變化。

生7：長度不斷變短，線就成了一個點，面橫向或者豎向變小，最后就成了一條線。

師（小結）：可見面積的“大小”變化，既可以是橫向的，也可以是豎向的。

【評析】教師通過物體表面的大小比較，自然地引出了“面積”，接著將概念從物體表面遷移到平面圖形，在圖形面積大小的排序中促進學生對概念的理解和運用。同時，利用不封閉圖形的反例，幫助學生實現(xiàn)概念建構的精準化。對于描述性概念的學習，不僅要在形式上認識定義，還要注重其外延的探究。因此，將面積概念中的“大小”一詞與“長短”進行動態(tài)對比，不僅幫助學生抓住本質，理解面積的二維性和長度的一維性，而且串聯(lián)起了點、線、面三種平面空間的基本元素，提升了學生的空間觀念和直觀想象素養(yǎng)。

3.以量化為驅動，由淺入深構建“單位”意識

“面積”是最基本的幾何度量學概念，要度量就必須構建一定的標準，即“計量單位”。在構建面積單位的過程中，教師應通過有效的引導和直觀的操作，讓學生自主實現(xiàn)對于圖形面積的量化表達，從而引導學生感悟度量思想，并在對比分析中經(jīng)歷“建立標準”的過程。

【教學片段3】

環(huán)節(jié)一：賦值量化，初步構建面積單位

師：學習面積，不僅要研究面積是什么，還要研究面積是多少。仔細觀察圖3中的四個圖形，請分別用四個數(shù)來表示它們的面積。

生1：如果第1個圖形面積為1，第2個就是4，第3個就是5，第4個可能是20或25。

師：如果圖形①的面積是1，為什么②、③圖形面積分別是4和5呢？

生2：因為圖形②、③的面積分別是圖形①的4倍、5倍。

師：下面請大家利用學具，在學習單上試著表示這4個圖形的面積。（學具為20個面積與圖形①相同的正方形。學生作品如圖4所示）

生3：圖形④的面積是25。

師：圖形④沒擺滿，怎么能肯定面積是25呢？

生4：擺圖形④的時候，正方形不夠了，我就在第一行擺了5個，能擺這樣的5行，5×5=25，面積就是25。? 環(huán)節(jié)二：對比分析，探索面積單位標準

師：同學們，剛才你們是用什么圖形來測量面積的？能用其他圖形嗎？

生5：剛才用的是正方形。我覺得圓形、三角形也可以用來測量面積。（如圖5）

師：對比觀察，你們覺得用哪一種圖形測量面積最合理？

生6：正方形最合理，因為正方形之間沒有空隙，而圓形之間有空隙，測量不準確。

生7：雖然三角形之間也沒有空隙，但三角形沒有正方形簡便、直觀。

師：看來，想要用某圖形來測量面積，圖形之間不能有空隙，所以像這樣的五邊形、八邊形等（如圖6），也不能用來測量面積，這體現(xiàn)了數(shù)學求真的思想。

師：此外，像這樣的三角形、長方形（如圖7），雖然圖形之間沒有空隙，但是不如正方形簡潔、直觀，這體現(xiàn)了數(shù)學求簡的思想。

師：因此，我們一般用正方形的個數(shù)來表示面積的大小，將正方形作為面積單位。

【評析】面積單位教學常常存在兩個難點，一是如何引導學生自主領悟到面積測量的實質是面積單位的累加;二是如何幫助學生理解面積單位選擇正方形的原因。

針對難點一，教師利用圖形面積的倍數(shù)關系，讓學生為圖形面積“賦值”，在這種方法的啟發(fā)下，學生會自覺地用圖形①作為標準來度量其他圖形，再通過動手操作，不僅加深了對于面積本質的理解，而且形成了直觀想象和推理能力。

針對難點二，教師弱化了以是否能鋪滿圖形作為面積單位判定標準的思路，而是首先通過對比，引導學生認識到面積單位應具有“密鋪”的特性;再帶領學生深入探究，實現(xiàn)面積單位選擇的優(yōu)化，從中滲透數(shù)學求真和求簡的思想。

4.在拓展中升華，打通測量體系“任督”二脈

教師在學生能夠用“數(shù)”來描述“形”的基礎上，再引導學生以結構化思維拓展知識空間，將學生已經(jīng)學過的長度、時間、質量的測量與面積測量相整合，指引學生發(fā)現(xiàn)測量的本質，從而促進學生對面積概念的深度理解，對測量知識體系的架構，為以后的測量學習奠定基石。

【教學片段4】

（練習部分略）

師：同學們，除了測量面積，我們還學習過測量什么呢？

生1：還學過測量長度、質量、時間。

師：那測量長度、面積、質量、時間之間有沒有什么共同點呢？請大家觀看微課自學。（微課內容如圖8所示）

生2：我發(fā)現(xiàn)它們的共同點是用被測物體與測量單位進行比較。

【評析】教師分別以鐵球質量、賽跑用時、路燈高度、長方形的面積為例，通過微視頻的方式，經(jīng)濟高效地捕捉各種測量的共同點，揭示了測量的本質，實現(xiàn)了知識學習的以點帶面。同時，又助推學生更加深刻地認識面積的意義和面積單位的價值。

綜上，在小學的概念學習中，教師應為學生創(chuàng)設豐富、鮮活的概念內涵。特別是圍繞“面積”這種抽象的概念，可引導學生通過多覺聯(lián)動的方式，建立“面”的表象;利用對比觀察的視角，引出面積的概念;調動學生的量感，建立面積單位標準，揭示面積的本質;有效拓展提升，搭建知識體系。一方面，可使學生實現(xiàn)對概念的不斷完善和構建，通過概念意象與概念定義的整合，加深對概念的理解和掌握;另一方面，教師的課堂設計能夠讓學生在觀察、對比、估量、分析的過程中，有效提升空間觀念和直觀想象素養(yǎng)，實現(xiàn)學科核心素養(yǎng)的落地。

（責編 羅 艷）