王程程

[摘 要]數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)通過矛盾沖突來喚起學(xué)生的求知需求，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，由此推進(jìn)新知的探究進(jìn)程。在教學(xué)中，教師可在舊知鋪墊中用沖突有效對(duì)接，在情境中用沖突激發(fā)興趣，在比較辨析中用沖突明確本質(zhì)，以豐富學(xué)生的認(rèn)知建構(gòu)過程。文章以“中位數(shù)”的教學(xué)為例闡述概念性教學(xué)中巧妙設(shè)計(jì)認(rèn)知沖突的重要性。

[關(guān)鍵詞]認(rèn)知沖突;平均數(shù);中位數(shù)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2022）08-0063-03

認(rèn)知沖突指的是人們?cè)谡J(rèn)知發(fā)展過程中，當(dāng)原有概念（或認(rèn)知結(jié)構(gòu)）與現(xiàn)實(shí)情境不相符時(shí)在心理上所產(chǎn)生的矛盾或?qū)α?。這種沖突會(huì)成為學(xué)生學(xué)習(xí)道路中的障礙，會(huì)給學(xué)生的新知學(xué)習(xí)帶來困難。如果教師能巧妙設(shè)計(jì)和利用認(rèn)知沖突，便能喚起學(xué)生的求知需求，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，由此推進(jìn)新知的探究過程。

平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)的三個(gè)基本統(tǒng)計(jì)量，這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量可讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用，從而促進(jìn)學(xué)生將數(shù)學(xué)充分應(yīng)用在日常生活中。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的特征數(shù)，但是它們反映的數(shù)據(jù)基本特征有所不同，它們從不同角度提供了同一組數(shù)據(jù)的真實(shí)面貌，因此它們有著不同的含義和適用范圍。小學(xué)生的思維能力比較薄弱，要準(zhǔn)確使用這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量有一定的難度。本文主要闡述如何借助學(xué)生已有的“平均數(shù)”知識(shí)和熟悉的生活情境巧妙設(shè)計(jì)認(rèn)知沖突，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生比較和辨析“中位數(shù)”，從而明確其本質(zhì)。

一、利用舊知，引發(fā)沖突，促進(jìn)探究

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上?！苯?gòu)主義也認(rèn)為，學(xué)習(xí)并不是簡(jiǎn)單地將知識(shí)進(jìn)行堆砌，而是新舊知識(shí)和已有經(jīng)驗(yàn)的相互作用而發(fā)生的知識(shí)重組和知識(shí)網(wǎng)的重建。這些都告訴我們，在教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)。在學(xué)習(xí)中位數(shù)以前，學(xué)生就在三年級(jí)認(rèn)識(shí)了平均數(shù)，初步了解了平均數(shù)的概念;四年級(jí)又進(jìn)一步學(xué)習(xí)了平均數(shù)，掌握了平均數(shù)的含義及其求法。其中，教材中的“平均數(shù)”的課后練習(xí)“你知道嗎？”引導(dǎo)性地提出：“在演唱比賽中，每個(gè)評(píng)委都要為選手打分。計(jì)算選手的得分時(shí)，往往要去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分。這是因?yàn)槊總€(gè)評(píng)委的欣賞角度不同，每個(gè)人給同一位選手打出的分?jǐn)?shù)也就不同。去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，可以剔除一些極端數(shù)據(jù)，使最后的得分更加公平合理，更能代表選手的實(shí)際水平?！边@里滲透的解決現(xiàn)實(shí)問題的思想為學(xué)生日后學(xué)習(xí)中位數(shù)埋下了伏筆。

教師在教學(xué)中便可以利用平均數(shù)與中位數(shù)的特征差異，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，從而激發(fā)學(xué)生的求知需求。

[教學(xué)片段一]

師：小芳第一次單元測(cè)試的成績(jī)是85分。學(xué)期結(jié)束，以這個(gè)85分作為小芳的平時(shí)成績(jī)，你認(rèn)為合理嗎？說說你的理由。

生1：不合理。一次成績(jī)并不能充分體現(xiàn)小芳學(xué)習(xí)的真實(shí)水平。

生2：不合理。我覺得應(yīng)該用多次單元測(cè)試的成績(jī)的平均數(shù)來代表學(xué)期成績(jī)。

【設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的單元測(cè)試成績(jī)?nèi)胧郑{(diào)動(dòng)學(xué)生參與的積極性，促使學(xué)生回顧已學(xué)過的“平均數(shù)”概念?！?/p>

師（小結(jié)）：是的，平均數(shù)能反映同學(xué)們學(xué)習(xí)的一般水平。（板書：平均數(shù)）

師：下面老師帶來了一個(gè)實(shí)際問題。（展示問題及相關(guān)數(shù)據(jù)，如表1）如果你是應(yīng)聘者，你會(huì)選擇哪家公司？

生3：會(huì)優(yōu)先考慮工資待遇高的公司。

師（追問）：那哪個(gè)數(shù)據(jù)能表示甲公司員工工資的一般水平呢？乙公司呢？

【設(shè)計(jì)意圖：由工資話題入手，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?！?/p>

師：請(qǐng)你算一算?？梢允褂糜?jì)算器計(jì)算。

（學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視，收集學(xué)生答題過程并展示。）

展示學(xué)生作品：

甲公司：（2900+3100+2600+3000+3200+2800+3400）÷7=3000（元）

乙公司：

方法1：（2200+1800+1900+2400+1700+2000+9000）÷7=3000（元）

方法2：（2200+1800+1900+2400+1700+2000）÷6=2000（元）

方法3：（2200+1800+1900+2400+2000）÷ 5=2060（元）

師：對(duì)于甲公司，這里求的是什么？它能不能反映甲公司員工的一般工資水平？

生4：由于甲公司6位員工和經(jīng)理的工資水平相差不多，因此我們可以用7個(gè)人的平均工資來反映甲公司員工的一般工資水平。

師：那乙公司呢？我發(fā)現(xiàn)有3種解法。為什么要這樣做？

生5：方法1跟處理甲公司的方法一樣，用7個(gè)人的平均工資來反映乙公司員工的一般工資水平。

生6：方法1求得平均數(shù)3000元，乙公司只有1人的工資超過了3000元，其余6人的工資都低于3000元。因此，平均數(shù)3000元不能反映乙公司員工的一般工資水平。

生7：方法2關(guān)注到經(jīng)理的工資9000元遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他員工的工資，因此計(jì)算時(shí)去掉了最高工資9000元，求的是剩下6位員工的平均工資，以此來反映乙公司員工的一般工資水平。

生8：方法3同時(shí)剔除了乙公司7個(gè)人中的最高工資和最低工資，求出了剩下5位員工的平均工資，以此來反映乙公司員工的一般工資水平。

師：生活中有沒有這樣的例子？是怎么處理的？

生9：生活中我們?cè)谒惚荣惓煽?jī)時(shí)也會(huì)去掉最高分和最低分，求出剩下分?jǐn)?shù)的平均分，以此來代表參賽選手的最終得分。

師（小結(jié)）：通常，我們可以用平均數(shù)來反映一組數(shù)據(jù)的一般水平，但當(dāng)這組數(shù)據(jù)中有極端數(shù)據(jù)出現(xiàn)時(shí)，用平均數(shù)來反映就不合適了。

二、借用情境，誘發(fā)沖突，激發(fā)興趣

利用工資水平的問題情境，讓學(xué)生初步感受到并不是所有數(shù)據(jù)都適合用平均數(shù)來表示它們的平均水平，從而引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探究的欲望。隨后，在特殊情況的教學(xué)中，新概念“中位數(shù)”便應(yīng)運(yùn)而生。

[教學(xué)片段二]

師：剛剛乙公司的數(shù)據(jù)很特殊，有一個(gè)極端數(shù)據(jù)。像這樣的特殊情況還有很多，讓我們?cè)賮砜纯幢镜臄?shù)據(jù)。

出示表2：

師：你認(rèn)為丙公司的這組數(shù)據(jù)特殊在哪？

生1：丙公司里有幾位員工的具體工資不知道，也就是數(shù)據(jù)不全。

師：那你打算用什么數(shù)來反映這組數(shù)據(jù)的一般水平呢？

（學(xué)生獨(dú)立思考后小組交流，教師呈現(xiàn)學(xué)生的想法。）

師：“去數(shù)”是什么意思？這種方法有道理嗎？

生2：“去數(shù)”是指去掉極端數(shù)據(jù)，即在表示這組數(shù)據(jù)的平均水平時(shí)把極端數(shù)據(jù)去掉。

師：這樣做看上去有點(diǎn)亂，你有什么更好的建議嗎？

生3：可以先排序再“去數(shù)”。

師：用最中間的這個(gè)數(shù)表示丙公司員工的一般工資水平，行不行？

生4：還是有一定的道理的。

師：是平均數(shù)嗎？

生5：不是。

師：我們叫它中位數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖：借助丙公司員工數(shù)據(jù)不全的情境，進(jìn)一步引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生解決問題的欲望，同時(shí)引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容——中位數(shù)?！?/p>

師：中位數(shù)也是反映一組數(shù)據(jù)一般水平的常用統(tǒng)計(jì)量。

師：我們?cè)賮砜纯匆夜荆闷骄鶖?shù)3000元不能反映乙公司員工的一般工資水平，那用中位數(shù)行嗎？

（學(xué)生獨(dú)立思考）

師：中位數(shù)是多少？你有什么發(fā)現(xiàn)？

生6：通過排序去數(shù)，我得到乙公司員工工資的中位數(shù)是2000元，與去掉最小數(shù)據(jù)和最大數(shù)據(jù)之后的那組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)比較接近。

師：那可以用中位數(shù)來反映乙公司員工的一般工資水平嗎？

生7：可以。

師：由此，我們可以看出，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有極端數(shù)據(jù)時(shí)，平均數(shù)不能客觀反映這組數(shù)據(jù)的一般水平，這時(shí)可以用中位數(shù)來反映這組數(shù)的一般水平。

三、比較辨析，開掘沖突，認(rèn)清本質(zhì)

教育家烏申斯基指出：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)?！痹趯W(xué)習(xí)新知時(shí)適當(dāng)運(yùn)用比較策略，通過鮮明的對(duì)比，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，可以提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的運(yùn)用能力和辨識(shí)能力，從而更好地把握知識(shí)的本質(zhì)。

學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了中位數(shù)，對(duì)其有了初步的認(rèn)識(shí)。為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)中位數(shù)概念的理解，同時(shí)讓學(xué)生知道在不同的情況下如何正確使用中位數(shù)與平均數(shù)，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較和辨析，由此進(jìn)一步引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)平均數(shù)和中位數(shù)的本質(zhì)。

[教學(xué)片段三]

出示相關(guān)數(shù)據(jù)：

下面是某校3班兩組同學(xué)家庭住房的面積（單位：平方米）。

①96、92、90、94、89、91、93、97、95;

②86、84、88、275、82、80、83、81、87。

師：觀察和分析數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)。再想一想，用怎樣的數(shù)據(jù)來反映每組學(xué)生家庭住房面積的一般水平比較好？

生1：數(shù)據(jù)①的平均數(shù)和中位數(shù)都是93;數(shù)據(jù)②的平均數(shù)是105，中位數(shù)是84，兩者相差比較大。

生2：數(shù)據(jù)①可以用平均數(shù)來反映數(shù)據(jù)的一般水平;數(shù)據(jù)②中有個(gè)極高數(shù)據(jù)，大大提高了這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，這時(shí)再用平均數(shù)來反映數(shù)據(jù)的一般水平就不合適了。

師：組內(nèi)數(shù)據(jù)比較接近，可以用平均數(shù)來反映這組數(shù)的一般水平。極端數(shù)據(jù)不僅有極低數(shù)據(jù)，還有極高數(shù)據(jù)，有極端數(shù)據(jù)時(shí)用中位數(shù)來反映一組數(shù)據(jù)的一般水平比較合適。平均數(shù)比中位數(shù)更為精確，它受到數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，而中位數(shù)比較“粗糙”。

[教學(xué)片段四]

出示：

有兩組男生比賽套圈，每組5人，每人有圈20個(gè)。以下是兩組男生的得分情況。

第一組：15、18、19、19、17。

第二組：18、19、20、7、4。

師：求出兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。用什么數(shù)來反映這兩組男生的套圈水平比較合適？

生1：第一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是18，第二組數(shù)據(jù)的中位數(shù)也是18。

生2：兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同，無法用中位數(shù)來比出兩組男生的套圈水平。

師：是的，這里組內(nèi)的5位男生都是參賽選手，每個(gè)人的成績(jī)都要算進(jìn)去，就像我們平時(shí)用班級(jí)的平均分來反映班級(jí)的一般水平一樣。因此，這里并不能用中位數(shù)來反映兩組男生的套圈水平。那你覺得用什么比較合適？

生3：平均數(shù)！

師：在選擇統(tǒng)計(jì)量來反映一組數(shù)據(jù)的一般水平時(shí)，不僅需要考慮數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，還要考慮實(shí)際生活的需要。

綜上，通過巧妙地設(shè)計(jì)認(rèn)知沖突，使學(xué)生在舊知中發(fā)現(xiàn)了區(qū)別，在探索中發(fā)現(xiàn)了新知，在對(duì)比中認(rèn)清了本質(zhì)。通過本課的設(shè)計(jì)，我們清楚地看到，對(duì)于小學(xué)階段所要接觸的三個(gè)統(tǒng)計(jì)量——平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，教師都可以利用這樣的方法來進(jìn)行教學(xué)。同時(shí)，所選的教學(xué)案例應(yīng)盡量選用學(xué)生熟悉并感興趣的內(nèi)容。這樣做便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)在生活中的用處，激發(fā)學(xué)生的參與意識(shí)和學(xué)習(xí)興趣，也讓學(xué)生在沖突中探究新知，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，最后在沖突中通過比較，更加充分地了解同類概念的聯(lián)系和區(qū)別。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 朱德全.數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)與主題式教學(xué)設(shè)計(jì)[J].課程·教材·教法，2002（12）：33-35.

[2] 張向林.《中位數(shù)》教學(xué)分析[J].小學(xué)教學(xué)研究，2012（26）：5-6.

[3] 盛大啟.蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教師用書：六年級(jí)下冊(cè)[M].南京：江蘇教育出版社，2013：12.

[4] 陳貽勝.斷磚可為玉 點(diǎn)石能成金：例談數(shù)學(xué)教學(xué)中形成認(rèn)知沖突的策略[J].教育實(shí)踐與研究（A），2011（6）：46-48.

（責(zé)編 黃春香）