姜漢中

【摘要】反比例函數(shù)是北師大版初中數(shù)學(xué)九年級上冊第六章的內(nèi)容，也是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.讓學(xué)生掌握一些解題技巧，提升相關(guān)題目的解題能力是教師在這一章節(jié)的重要目標(biāo).如果學(xué)生能抓住三類題型，即：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合的題型、反比例函數(shù)與不等式融合的圖形、反比例函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)融合的圖形，再對這些題型進(jìn)行深入探析，就能加深對反比例函數(shù)的理解.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);解題能力;反比例函數(shù)

教師以這三類題型作為訓(xùn)練的重點(diǎn)能豐富和提升學(xué)生在反比例函數(shù)上的解題技巧，讓他們在實(shí)踐與應(yīng)用中將所學(xué)的反比例函數(shù)的知識與具體考查題型有效融合.在三類題目中學(xué)生將畫圖、觀察、猜測、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)融為一起，漸漸地、多維度地感知反比例函數(shù)的特征，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 與一次函數(shù)綜合，考查函數(shù)性質(zhì)

教師在考查學(xué)生對反比例函數(shù)掌握的情況時(shí)，往往是將一次函數(shù)與反比例函數(shù)融合起來呈現(xiàn)，以讓學(xué)生形成綜合性的解題能力，也讓他們在比較與分析中更好地掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)用.大多學(xué)生在解決綜合性問題時(shí)，往往容易將前后學(xué)到的知識混合起來，教師就需要依據(jù)學(xué)生的這一特點(diǎn)設(shè)計(jì)一些針對性的題目.在解析這類題目時(shí)，教師要指導(dǎo)學(xué)生把握好兩種函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而再指導(dǎo)他們以圖象交點(diǎn)為突破口構(gòu)建解析方程以分析圖象的相關(guān)性質(zhì).

例如 如圖1所示，直線y1=kx+1與雙曲線y2=2x在第一象限交于點(diǎn)P（1，t），與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，則能得出哪些結(jié)論？

這是一道開放題，主要是讓學(xué)生都能參與其中.學(xué)生想到了點(diǎn)P（1，t）中的“t”是可以先求得的.他們由點(diǎn)p在雙曲線y2=2x上，進(jìn)而推得t=21=2.解題時(shí)學(xué)生抓住交點(diǎn)p，因?yàn)镻（1，2），且在直線y1=kx+1上，進(jìn)而他們推得2=k+1.即k=1.兩個(gè)明顯的結(jié)論被他們推得，他們將目光聚焦在△OAB上，有學(xué)生認(rèn)為這是一個(gè)等腰三角形.他們先是從直線AB的解析式y(tǒng)=x+1入手，令x=0，則y=1，進(jìn)而得出B（0，1）.也就是說，OB=1.同樣的方法，他們令y=0，則x=-1，進(jìn)而推得A（-1，0），OA=1.顯然OA=OB，△OAB為等腰直角三角形.當(dāng)然還有學(xué)生由圖象直接推得當(dāng)x>1時(shí)，y1>y2.如，連接OP，可以求△OBP的面積=12×1×1=12.△OAP的面積=12×1×2=1.

2 與不等式知識相聯(lián)系，考查數(shù)式圖象轉(zhuǎn)化

在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這種函數(shù)具有數(shù)式的特點(diǎn)，它可用于探究方程或者不等式的數(shù)量關(guān)系.因此教師可引導(dǎo)學(xué)生深入探討反比例函數(shù)與不等式的關(guān)系，進(jìn)而幫助學(xué)生建立更為完整的數(shù)學(xué)體系.對于這一類題目，教師需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖象，進(jìn)而讓他們學(xué)會進(jìn)行不等式與圖象之間的轉(zhuǎn)化.

例如 雙曲線y=2k-1x的圖象經(jīng)過第二、四象限，則k的取值范圍是多少.

學(xué)生先要就題目的要求，畫出大致的圖象，再由反比例函數(shù)圖象位置在第二、四象限這一條件，推斷出2k-1<0，即，k<12.教師出這題的目的主要就是讓學(xué)生進(jìn)一步地掌握反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)以及一元一次不等式的相關(guān)認(rèn)知.如果直接讓學(xué)生背誦，“對于 y=kx來說，當(dāng)k>0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小.當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每一條象限內(nèi)y隨x的增大而減小.”顯得枯燥無味，而用圖形的形式呈現(xiàn)，就顯得一目了然，便于學(xué)生掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì).

3 與幾何最值相綜合，考查基本模型

將反比例函數(shù)與幾何聯(lián)系起來，也是常見的題型，旨在考查學(xué)生綜合運(yùn)用認(rèn)知的能力，同時(shí)也打通幾何與函數(shù)之間的壁壘.一般地這類題目會涉及到相關(guān)圖形的面積，相關(guān)線段的最值.學(xué)生需要仔細(xì)分析已知條件，將對應(yīng)的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比如最值問題可以通過對稱軸來轉(zhuǎn)化.

例如 如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在坐標(biāo)軸上，且OA=2，OC=4，連接OB.反比例函數(shù)y=k1x（x>0）的圖象經(jīng)過線段OB的中點(diǎn)D，并與AB、BC分別交于點(diǎn)E、F.一次函數(shù)y=k2x+b的圖象經(jīng)過E、F兩點(diǎn).分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+PF的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少.

這題學(xué)生先要將四邊形為矩形的條件運(yùn)用起來，即，OA=BC=2，OC=4.因?yàn)榫匦卧谧鴺?biāo)軸內(nèi)，可將邊長的條件轉(zhuǎn)為對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即，B（4，2），再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得D坐標(biāo)為（2，1）.當(dāng)學(xué)生抓住反比例函數(shù)y=k1x（x>0）的圖象經(jīng)過線段OB的中點(diǎn)D這一條件，就可得出k1=xy=2×1=2，進(jìn)而反比例函數(shù)表達(dá)式為y=2x.接著學(xué)生令y=2，則x=1;令x=4，則y=12，所以點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，2），F(xiàn)（4，12）.如果設(shè)直線EF的解析式為y=k2x+b，代入E、F坐標(biāo)就可獲得：

2=k2+b12=4k2+b，即k2=12b=52.所以一次函數(shù)的解析式為y=-12x+52.

對于第二問，學(xué)生要盡可能地將其轉(zhuǎn)化為最值的最基本的圖形.教師可引導(dǎo)學(xué)生作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E'，連接E'F交x軸于點(diǎn)P，顯然地此時(shí)PE+PF最小.學(xué)生由E坐標(biāo)自然地就獲得對稱點(diǎn)E′為（1，-2）.如果學(xué)生設(shè)直線E′F的解析式為y=mx+n，代入點(diǎn)E′、F坐標(biāo)，就能求得直線E′F的解析式為y=56x-176.有了這樣的結(jié)果，學(xué)生只要令y=0，則x=175，就能得出點(diǎn)P坐標(biāo)為（175，0）.可見教師可引導(dǎo)學(xué)生分三步完成此類題目，首先是解析圖象，其次是構(gòu)建最值得基本圖形模型，最后是完成最值分析.

4 結(jié)語

有關(guān)反比例函數(shù)的題型還有很多，教師可依據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況不斷地總結(jié)，以豐富他們的學(xué)習(xí)體驗(yàn).培養(yǎng)學(xué)生的解題能力主要是提升他們自主學(xué)習(xí)的能力，增強(qiáng)他們攻堅(jiān)克難的信心.當(dāng)學(xué)生在解題過程中把握反比例函數(shù)的數(shù)式特點(diǎn)、圖形特點(diǎn)，同時(shí)能準(zhǔn)確定位反比例函數(shù)的思想內(nèi)涵、知識聯(lián)系點(diǎn)，他們就能探究出一般性的解析思路，進(jìn)而改善思維品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1] 張伯慶.聚焦探究教學(xué) 聚力數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——以“反比例函數(shù)圖象的平移”一課為例[J].中國教育技術(shù)裝備，2019（17）.

[2]沈習(xí)輝.聚焦反比例函數(shù)，探究綜合性問題——以2020年江蘇省中考試題為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊， 2020（32）.