于勇

[摘要] 小學數學“深度學習”是教師引領學生圍繞挑戰(zhàn)性學習任務，開展深度思考、深度探究，獲得素養(yǎng)提升的有意義學習活動。學起于思，思源于疑，教師要在深入研讀教材、厘清數學本質的基礎上，結合兒童的年齡特征、認知特點，設計出具有啟發(fā)性、思考性、邏輯性的數學問題鏈，巧妙構建問題場，以引發(fā)學生主動思考，強化學生的數學理解，為深度學習的開展與實施提供必要的技術路徑及探究支架。

[關鍵詞] 活動設計;問題鏈;深度學習;核心素養(yǎng)

20世紀頗具影響力的哲學家、思想家卡爾·波普爾在《猜測與反駁》中指出“科學與知識的增長永遠始于問題”，小學數學教學亦不例外。深度學習“深”在一個個有關聯、有序列的教學活動中，而數學教學活動的設計在某種意義上說就是問題的設計。當下數學教學中的問題設計整體質量偏低，缺乏整體構建，支架作用不明顯，啟發(fā)性、生長性較弱，無法指向思維與學力提升，難以引領學生實現真正意義上的深度學習。數學“問題鏈”是教師基于課標、學科特點及學生現狀在深入研究教材、背景知識的基礎上，圍繞教學目標建構而成的問題序列與基本結構，它不僅關注知識的形成過程和內在邏輯，更關注學生學習認知發(fā)展水平、基本特點及自主發(fā)展需求。借助問題鏈組織教學，不僅能為教師教學提供清晰的發(fā)展脈絡，更可為學生學習搭建適當的認知框架，引發(fā)學生的深度思考，進而在同化與順應的基礎上實現深度學習。

一、以情境型問題鏈導入，誘發(fā)深度學習

創(chuàng)設情境并將問題隱于其中是數學課導入與開啟的基本樣態(tài)，但部分教師在課始環(huán)節(jié)仍停留在記憶、理解等低思維層次上，缺少真實性、思考性情境型問題鏈的創(chuàng)設。情境型問題鏈意蘊的問題要指向認知本源，利于喚醒學生原有經歷與前概念，同時還應呈現部分新的數學要素，在學生求知心理與教學新知間制造一種認知沖突。并且，情境型問題鏈應具有較高的思考價值，減少通過陳述性知識、淺層思考就能解決的問題，引導學生借助比較、遷移、推理等高階思維活動，在原有知識結構的基礎上進行生長新知、重塑結構的深度學習。比如，蘇教版小學數學教材五年級上冊“小數加法和減法”教學導入案例。

問題1：（課件出示課題）“小數加法和減法”是我們今天學習的重點內容。看到這一課題，大家想到了以前學過的什么加、減法？

問題2：請舉例說明一下，我們怎樣用豎式的方法計算整數加減法？

問題3：請大家仔細觀察這幅圖畫（教材例1圖略），你從中發(fā)現了哪些數學信息？

問題4：根據這些信息，你能提出哪些用加法或減法解決的數學問題？

問題5：我們先來解決這兩個問題，怎樣列式呢？（4.75+3.4=

4.75-3.4= ）

問題6：下面請大家嘗試用豎式的方法計算4.75±3.4（教師收集做法，圖略），你是怎么想的？

追問1：大家對這位同學的想法，又有哪些不同的看法？

[思路]沒有把相同數位對齊，不是相同計數單位上的數不能直接相加;四點幾加上三點幾得數最起碼是七點幾，而現在只有五點幾，因此這些做法顯然是錯誤的。

追問2：由此，大家又能想到哪些問題呢？

預設學生問題1：為什么整數末尾對齊的豎式計算方法對小數加減法行不通呢？

預設學生問題2：用豎式怎樣計算小數加減法呢？

預設學生問題3：計算小數加減法到底要注意什么問題呢？

師：今天這節(jié)課，我們就圍繞同學們提出的這些問題一起研究小數的加減法。

奧蘇伯爾的“同化論”指出，學習者必須具有同化、順應新知的學習心向，積極主動地將新知學習與個人原認知結構中的某些知識勾連。上述教學片段就是借助情境型問題鏈與問題結構（如下圖），在喚醒“整數加減法豎式計算方法”這一前概念的基礎上，鼓勵學生自主實施經驗遷移與新知同化;在教師的追問下，能夠發(fā)現整數加減法“末尾對齊”的豎式計算方法無法解決小數加減法的問題，需要調整問題解決方法與策略。在學生問題的牽引下，以改變原有知識結構并予以重構為核心的深度學習就此開始。

二、以關鍵性問題鏈導探，聚焦數學本質

一次完整的數學學習，實際上就是從學生的認知起點出發(fā)，為達成課堂學習目標而不斷進階的認知過程，而這一過程又由課堂教學中的核心概念或核心知識統(tǒng)領著。從教學實施來看，教學活動要以達成教學目標為指向，通過關鍵性問題引領學生逐步實現對核心概念或核心知識的深度理解與全面把握;從教學設計來看，教師要將相關數學知識置于開放的文化背景中，基于大概念與單元整合的視角予以綜合考量和分析，提煉出一節(jié)課的核心概念，由此設計出教學中的關鍵性問題鏈，組織學生開展像數學家那樣的學習與探究。

比如，“小數的意義”新知教學片段。小數同整數、分數一樣，共屬于“數的認識”領域，如果把“小數的意義”放在這一領域中，在知識整體性與統(tǒng)一性上進行綜合審視，就會發(fā)現它們都體現了“做度量”這一數學本質，“計數單位”是其中的核心概念。在這個層面上看，“數”都可以看作計數單位的累加，“認數”就是在用計數單位去對一個數進行度量。由此分析，“小數的意義”教學可設置如下關鍵性問題鏈。

問題1：如果用整數“1”來表示下面的正方形（圖略），你能通過畫一畫的方式表示小數0.1嗎？

[思路]首先讓學生獨立思考，畫圖表示0.1;然后關聯分數1/10，進而揭示0.1的意義;最后用0.1去度量一位小數，有幾個0.1就是零點幾，也就是十分之幾。

問題2：（課件出示下圖）剛才這個正方形，你能用一個小數表示下圖中的陰影部分嗎？

[思路]一是借助問題情境激發(fā)學生進一步細分的認知需求，把探究引向“如何細分”，把每個0.1平均分成10分，也就是把正方形平均分成100分，再引導學生在數一數的基礎上，聯系一位小數的意義類比推理出圖中陰影部分用0.33表示，也就是33/100;二是教師通過追問的方式使學生明確：0.33可以看作3個0.1與3個0.01，也可以看作33個0.01，進而揭示出兩位小數的計數單位是0.01;三是用0.01去度量，得到另外的一些兩位小數，同時明確“兩位小數用來表示百分之幾”這一意義。

問題3：一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，那么三位小數表示什么？四位小數呢？

[思路]借助合情推理與繼續(xù)細分的方法，引領學生探究得知三位小數、四位小數的計數單位及相應的意義。

問題4：現在我們梳理一下剛才學習的基本過程，同時思考：一位小數的計數單位0.1、兩位小數的計數單位0.01、三位小數的計數單位0.001……他們之間有怎樣的關系？

[思路]引導學生通過觀察逐步細分正方形模型的過程，逐步梳理得出：把1縮小到原來的1/10，就是0.1;縮小到原來的1/100，就是0.01;同時發(fā)現小數相鄰計數單位之間的進率是10。

問題5：剛才，我們從1開始向右出發(fā)，把1不斷細分，分別建立了0.1、0.01、0.001等計數單位。如果是從1開始向左出發(fā)，把它分別擴大為原來的10倍、100倍……，你又有怎樣的發(fā)現？

[思路]把小數的計數單位與整數的計數單位關聯起來，在對比分析中引領學生體會計數單位之間十進與十分的關系，再度理解小數計數單位實際就是對1細分得到0.1，對0.1細分得到0.01，對0.01細分得到0.001……，其他小數都是由小數計數單位累加而成的。

上述關鍵性問題共同指向“小數的計數單位”這一核心概念，與輔助性問題、拓展性問題一起支撐著教學不斷向數學本質聚焦。學生在關聯十進分數、用計數單位度量其他小數的過程中，思維由表及里、由淺入深，認知由“關聯”到“聯通”，由此他們真正理解了小數的意義與本質。

三、以變式型問題鏈開掘，觸發(fā)深度思考

變式是指通過變換同類事物的非本質特征的表現形式，變更觀察事物的角度和方法，從而突出事物的本質特征，突出那些隱蔽的本質要素，讓學生在變式中思索，從而掌握事物的本質和規(guī)律。變式在日常教學，特別是在鞏固練習環(huán)節(jié)中的運用較為廣泛。拓展運用練習中的變式型問題鏈主要是從不同的觀察視角切入，不斷開掘習題的多元價值，做到一題多用、以一當十，讓學生在練習、理解的過程中逐步向縱深思考，以此實現學生的深度學習。比如，“長方體、正方體的容積和體積”拓展練習案例。

課件出示練習題：有一塊邊長為12厘米的正方形硬紙板，在它的四角分別剪下一個邊長為1厘米的小正方形，把剩余部分的硬紙板折成一個長方體硬紙盒。

問題1：請同學們想一想折成的硬紙盒的樣子，然后算一算它的容積是多少立方厘米。

[思路]基礎性練習，由學生獨立解答：（12-2）×（12-2）×1=100（立方厘米）。

問題2：如果在這塊硬紙板的四周分別剪下一個邊長為2厘米的小正方形，折成的硬紙盒的容積與剛才的硬紙盒相比，請大家猜測一下哪個容積更大，然后再來驗證一下。

[思路]變式數學信息，學生驗證猜測：（12-4）×（12-4）×2=128（立方厘米）。

問題3 ：通過剛才的比較，你有什么發(fā)現或疑惑嗎？

[思路]引發(fā)學生深度思考，學生提出疑惑：剪掉的硬紙板增加了，折成的硬紙盒容積反而增加了，這是為什么呢？

問題4：是不是在硬紙板四角剪掉的正方形越大，折成的硬紙盒容積就會越大呢？

[思路]教師引導學生在小組內通過表格列舉、比較結果等方法予以自主探究。

問題5：（組織學生交流下表）觀察這張表格，你又有怎樣的發(fā)現？

四角剪掉正方形的邊長（cm） 折成硬紙盒的長、寬、高（cm） 折成硬紙盒的容積（cm3）

長×寬 高

1 （12-2×1）（12-2×1） 1 100

2 （12-2×2）（12-2×2） 2 128

3 （12-2×3）（12-2×3） 3 108

4 （12-2×4）（12-2×4） 4 64

5 （12-2×5）（12-2×5） 5 20

[思路]學生發(fā)現隨著剪掉正方形邊長的增加，折成的硬紙盒容積先變大，后變小;當四周剪掉的小正方形的邊長為硬紙板邊長的1/6時，容積是最大的。

問題6：如果把硬紙板的邊長改成24厘米，如上所述在四角分別剪去同樣的小正方形，折成的硬紙盒的容積是不是也有這樣的規(guī)律呢？

[思路]此時學生主動性異常高漲，各小組繼續(xù)合作交流，發(fā)現存在同樣的規(guī)律。

問題7：現在我們變換一個角度，如果讓大家在硬紙板四角分別剪下同樣的正方形，怎樣剪折成的硬紙盒側面積最大？

[思路]學生借助現成資源和獲得的經驗，繼續(xù)向深處思考，發(fā)現當四周剪掉的小正方形的邊長為硬紙板邊長的1/4時，側面積是最大的。

問題是思維的觸發(fā)器，變式型問題鏈是教師啟發(fā)學生自主探究、獨立思考的腳手架與問題場，能夠觸發(fā)學生的多向聯想，其中的挑戰(zhàn)性問題更容易激發(fā)學生深度探究的內驅力。因此，教師在設置變式型問題鏈中的關鍵問題時要凸顯挑戰(zhàn)性，通過挑戰(zhàn)性學習任務給學生創(chuàng)設更大思維空間，牽引學生帶著強烈的渴望去突破認知沖突與思維障礙。上述案例變式型問題鏈中的問題1、問

題2、問題3屬于基礎性問題，主要用來鞏固新知、激活思維、制造沖突，問題4、問題5、問題6三個問題則是引領學生將思維錨定在“剪掉的正方形邊長與硬紙板邊長存在怎樣的關系，折成的硬紙盒容積才會最大”這一關鍵問題上，驅動學生在觀察比較、探索規(guī)律、合作驗證的過程中獲取知識本質及數學模型。問題7則屬于關聯性變式，教師趁著學生飽滿的思維狀態(tài)，引導學生借助基本活動經驗繼續(xù)質疑，讓他們在變與不變中向問題解決的通法開掘。

四、以搭建型問題鏈總結，助力知識建構

布魯納在《教育過程》一書中指出：“獲得的知識，如果沒有完整的結構把它們連在一起，那是一種多半會遺忘的知識。一連串不連貫的知識在記憶中僅有短得可憐的壽命?！痹谡n堂教學中，教師基本上是引導學生借助板書、研學單等已有資源談收獲、說得失，很難看到學生進行知識系統(tǒng)的構建與思考，他們對知識習得的過程與知識邏輯是模糊的，甚至是混亂的。問題鏈即數學學習的活動鏈，是學生習得知識的過程鏈與邏輯鏈。教師課后的搭建型問題鏈可以幫助學生厘清知識建立的邏輯序列，構成的問題就如數學學習過程中的“重要事件”，提醒著學生發(fā)生了什么、學習了什么，為學生知識體系的構建搭設了骨架。現以蘇教版小學教學教材六年級上冊“百分數”的教學總結為例，展現策略思考。

（一）師生合作，梳理問題

師：同學們，在對百分數已有認識和了解的基礎上，我們這節(jié)課重點研究了哪些問題呢？

問題1：選擇其中一個百分數，你能用畫圖的方法表示一下它的意思嗎？

[思路]兩個百分數，張宇投籃的命中率是60%，紅星機械廠五月產量是四月的120%。本問題旨在引領學生借助畫圖表征，感悟百分數的本質。

問題2：我們已經學習了分數，為什么還要學習百分數？

[思路]本問題指向百分數與分數的不同，百分數在多個事物間的比較方面具有一定的作用和優(yōu)勢。

問題3 ：百分數與分數之間有怎樣的聯系與區(qū)別呢？

[思路]本問題旨在引領學生豐富對百分數內涵的把握。

（二）任務驅動，合作構圖

師：下面各小組合作，請借助上述三個問題整理這節(jié)課的基本內容，并畫出知識結構圖。（活動過程略）

（三）組織交流，小組正圖

師：現在我們一起來交流各自的成果。在交流的過程中，各小組可以進一步補充和完善自己的知識結構圖。（活動過程略）

數學學習既要溯源而上找尋生長點，也要順流而下厘清知識脈絡，為后續(xù)學習提供良好的結構支撐，課堂教學的基本任務就在于引領學生將教材中的知識結構轉化為個人頭腦中的認知結構。上述案例中，教師先引導學生基于學習活動過程梳理出三個關鍵性問題，然后以此為思維鏈實施知識由“點狀”向“網狀”的構建，進一步打通新舊知識間的內在關聯。這一構建的過程實際上就是學生主動思考、深入理解，引發(fā)真正學習的過程，是深度學習的基本表現。

五、以源頭性問題鏈深化，續(xù)延深度拓展

一節(jié)數學課一般只有40分鐘，我們在教學中預設內容的同時，還要兼顧課堂生成性問題，加之學生認知水平與能力的差異，難免會使得一些學生存在各種各樣的疑惑。另有部分學生會基于“是什么、怎么樣、為什么”的問題框架，渴望探尋知識背后的故事，尋找方法形成的源頭，自然也會存在各種疑惑。由此可見，一節(jié)數學課的結束并不意味著學生探究活動的終止，學生帶著問題走進課堂以后，更應該讓他們帶著問題走出課堂，走進更廣闊的思維空間，并開啟新的探究之旅。

教師在充分發(fā)揮語言評價、尊重與接納等情感態(tài)度的基礎上，設置課后問題收集及解決通道，通過“我的問題單”“班級問題收納筐”等基本工具收集學生的各種疑惑與問題，由教師予以匯總、分析及反饋。對于學生自己能夠解決的一般性問題，由教師公布在班級“問題墻”上，鼓勵班級學生“揭榜領題”，引領他們通過知識再現、理解構建，對問題予以初步解決，最后經教師把關后將問題解決的方案張貼在班級“回音壁”中，供確有需要的同學內化理解、學習研究。對于學生提出的確有深度的問題，特別是涉及知識產生的源頭性問題，教師要根據問題的因果關系、來龍去脈及邏輯結構設置問題鏈，為學生的再度探究提供方向引領與思維支撐，鼓勵他們追溯知識本源、經歷數學“自然”生發(fā)的歷程。

在教學蘇教版小學數學教材二年級下冊第四單元“認識萬以內的數”時，筆者考慮到這一內容已臨近自然數認識的“收官”階段，故結合教材提供的相關數學史料，簡單梳理了我國古人記數方法的發(fā)展歷程。課后結合學生所提問題間存在的邏輯結構及背景知識，通過添加、合并等手段，對收集到的近十個數學問題整理成源頭性問題鏈（如下圖），然后以個人研學單的形式將問題轉發(fā)給學生，引領他們通過自主探究對問題進行初步分析與解決。在此基礎上，利用數學閱讀、課程、課后延時等時間段，再度組織學生開展交流與探究活動，在傾聽、表達與思維中透徹理解“計數”與“記數”等知識的內在本質，打通數學史料與現行十進制計數法之間的基本關聯。

學生的學習是一個持續(xù)不斷、循序漸進的認知過程，其中既有課堂學習活動的延續(xù)，也包括學生探索空間的延展?！罢J識萬以內的數”拓展教學既有對課堂內容的再深化，也有學生面臨的新挑戰(zhàn)，學生以問題鏈為引領，在課堂外的更大空間中釋疑解惑，實現了認知的自我完善與素養(yǎng)的自我提升，這正是深度學習應有的模樣。

“深度學習”的核心在于依托有意義的學習活動引發(fā)學生的真正學習，重點在于培養(yǎng)學生的高階思維與分析問題、解決問題的基本能力。一節(jié)數學課的問題鏈，既是課堂推進的活動鏈，也是學生探究學習的思維鏈。教師要在深度理解教材、關注學情的基礎上，精心設置、合理構建出緊扣內容本質、切合學生實際、優(yōu)化探究過程的問題鏈，以引發(fā)學生的深度思考、深度探究，強化他們的數學理解，進而實現真正意義上的深度學習。