謝小慶

摘 要：“探究規(guī)律”的專項(xiàng)教學(xué)推動(dòng)小學(xué)生自主解題思維能力的顯著提升，從而實(shí)現(xiàn)小學(xué)生解題思維角度更具多元化特性，因此此項(xiàng)教學(xué)值得展開全面探究。在具體教學(xué)階段中，要讓學(xué)生感悟不同層次的猜想方法，經(jīng)歷不同思路的探索路徑，并能融通在不同探索路徑下的規(guī)律表達(dá)，以更好地實(shí)現(xiàn)小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的整體化增進(jìn)。

關(guān)鍵詞：猜想;多元路徑;融通規(guī)律

有效探究規(guī)律是如今小學(xué)課程教學(xué)中的重點(diǎn)環(huán)節(jié)所在，也是提升小學(xué)生數(shù)學(xué)解題意識(shí)的重要基礎(chǔ)。教師具體開展教學(xué)的階段中，需要全面關(guān)注相關(guān)教材內(nèi)容，以實(shí)現(xiàn)教學(xué)的高品質(zhì)開展，真正意義上提升小學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維，從而實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)朝著高效率與高品質(zhì)的方向發(fā)展。

一、嘗試猜想，體會(huì)猜想的方法

猜想是具有顯著革新特征的專項(xiàng)思維運(yùn)作互動(dòng)，其不僅是合理化探知的先導(dǎo)，也是改善問題的重要方式。在具體教學(xué)階段中結(jié)合猜想式教學(xué)，可以讓學(xué)生依據(jù)現(xiàn)已獲得的知識(shí)內(nèi)容，同時(shí)借助自我的實(shí)踐來獲取全新的想法與認(rèn)知，同時(shí)對(duì)猜想的實(shí)際內(nèi)容展開探究。學(xué)生借助標(biāo)準(zhǔn)化的學(xué)習(xí)方式，不僅可以獲取較系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)知識(shí)，還可以規(guī)范應(yīng)用思想，獲取學(xué)習(xí)體驗(yàn)，讓學(xué)生充分享受學(xué)習(xí)所帶來的快樂。在教學(xué)“多邊形的內(nèi)角和”這節(jié)課時(shí)，教師先后三次安排了猜想的環(huán)節(jié)。

片段1：

第一次猜想：在探究四邊形內(nèi)角和的活動(dòng)之前，讓學(xué)生猜想四邊形的內(nèi)角和是多少度。

師：同學(xué)們，根據(jù)你們的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為四邊形的內(nèi)角和可能是多少度？你又是怎樣想的？

生1：我覺得四邊形的內(nèi)角和要大于180°，因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是180°，它有3個(gè)角，而四邊形有4個(gè)角。

師：這個(gè)想法有一定的道理。

生2：因?yàn)殚L方形和正方形的內(nèi)角和都是360°，而它們都是四邊形，所以我覺得四邊形的內(nèi)角和也是360°。

師：從特殊的四邊形來猜想一般的四邊形，這個(gè)聯(lián)想很有價(jià)值。那么這些猜想是否正確，還得去驗(yàn)證。

片段2：

第二次猜想：在探究五邊形內(nèi)角和的活動(dòng)之前，讓學(xué)生猜一猜五邊形的內(nèi)角和是多少度。

師：同學(xué)們，現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了三角形和四邊形的內(nèi)角和了，那你能猜一猜五邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？

生1：我認(rèn)為五邊形的內(nèi)角和會(huì)大于360°，因?yàn)樗?個(gè)角。

師：角越多，和越大，有道理。

生2：因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是180°，四邊形的內(nèi)角和是360°，所以我認(rèn)為五邊形的內(nèi)角和是720°。

師：你是根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)來猜想的，真會(huì)觀察。

生3：540°，因?yàn)?60°比180°大180°，我覺得五邊形內(nèi)角和比360°大180°。

師：你覺得五邊形內(nèi)角和與180°有關(guān)，真會(huì)思考。

片段3：

第三次猜想：在學(xué)生探究完五邊形和六邊形的內(nèi)角和之后，讓學(xué)生猜想七邊形、八邊形的內(nèi)角和。

師：同學(xué)們，照這樣下去，你們覺得七邊形的內(nèi)角和是幾個(gè)180°，八邊形呢？

生：七邊形的內(nèi)角和是5個(gè)180°，八邊形的內(nèi)角和是6個(gè)180°。因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和是2個(gè)180°，五邊形的內(nèi)角和是3個(gè)180°，六邊形的內(nèi)角和是4個(gè)180°。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)該給學(xué)生創(chuàng)造足夠的時(shí)間和空間，使其親歷完整的觀察、猜想、驗(yàn)證等一系列活動(dòng)過程。可見，猜想是學(xué)習(xí)中一個(gè)非常關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，也是探究數(shù)學(xué)知識(shí)不可或缺的方法，需要教師以學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知基礎(chǔ)以及新知學(xué)習(xí)條件為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生大膽地想象，然后對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理和驗(yàn)證，因此，數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的起點(diǎn)，更是學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的過程。那么，在平時(shí)教學(xué)中，小學(xué)生的猜想能力足夠嗎？怎樣開展猜想才是科學(xué)且有效的？在具體的課堂教學(xué)過程中，諸多學(xué)生往往不會(huì)結(jié)合應(yīng)用猜想，其簡(jiǎn)單認(rèn)為個(gè)人的奇思妙想便是猜想。這些猜想本質(zhì)上無具體的依據(jù)作為支持，而實(shí)際猜想需要充分的合理性。所以，在開展規(guī)律探究的實(shí)際教學(xué)過程中，教師不僅需要給出學(xué)生具體的猜想結(jié)構(gòu)，還需要讓學(xué)生給予更多的相關(guān)依據(jù)。在“多邊形的內(nèi)角和”這節(jié)課中，教師設(shè)計(jì)的三次猜想的方法及思維層次是不一樣的，第一次猜想不需要數(shù)據(jù)的依托，根據(jù)自己已有的經(jīng)驗(yàn)，有的學(xué)生覺得四邊形的角比三角形的多，所以認(rèn)為四邊形的內(nèi)角和比三角形的內(nèi)角和要大，也有的學(xué)生會(huì)根據(jù)學(xué)過的特殊的四邊形（長方形和正方形），它們的內(nèi)角和是360°，由此聯(lián)想到其他的、一般的四邊形的內(nèi)角和也可能是360°，這種猜想是從特殊到一般的猜想。第二次猜想是基于兩個(gè)數(shù)據(jù)的猜想，學(xué)生會(huì)根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及四邊形的內(nèi)角和兩者數(shù)據(jù)之間的關(guān)系來猜想五邊形的內(nèi)角和，它有可能是540°，依據(jù)是四邊形的內(nèi)角和比三角形的內(nèi)角和多了180°，也有學(xué)生認(rèn)為五邊形的內(nèi)角和可能是720°，依據(jù)是四邊形的內(nèi)角和是三角形的內(nèi)角和的兩倍。這些都是通過觀察、分析數(shù)據(jù)特點(diǎn)從而進(jìn)行猜想，這是有理有據(jù)的猜想。第三次猜想是通過對(duì)一組數(shù)據(jù)的比較而進(jìn)行的猜想。在猜想之前，學(xué)生已經(jīng)知道了三角形、四邊形、五邊形和六邊形這些圖形的內(nèi)角和，這時(shí)對(duì)七邊形的內(nèi)角和和八邊形的內(nèi)角和的猜想就有了一組數(shù)據(jù)，根據(jù)這組數(shù)據(jù)，學(xué)生能很快地找出規(guī)律、提出猜想。因此，不同的猜想方法體現(xiàn)了猜想的多樣化階層，可以讓小學(xué)生在具體學(xué)習(xí)開展階段通過體驗(yàn)與驗(yàn)證的方式，來進(jìn)一步提升其科學(xué)解題思維與意識(shí)。在探究規(guī)律教學(xué)的實(shí)際階段中，需要充分注意的是，規(guī)律的應(yīng)用不是核心，核心在于探究的整體過程，開始的時(shí)候是怎樣猜想的，驗(yàn)證之后結(jié)果又是怎樣的，與原來的猜想是否一致。

猜想是推動(dòng)小學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維提升的重要方式，教師需要從平時(shí)教學(xué)的細(xì)節(jié)之處著手，重視并鼓勵(lì)學(xué)生大膽地猜想，為創(chuàng)新插上猜想的翅膀，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

二、多元路徑，經(jīng)歷不同的探索

小學(xué)生個(gè)人數(shù)學(xué)思維的有效培養(yǎng)與教師的正確引導(dǎo)有著密切的關(guān)聯(lián)性，在具體教學(xué)開展中要為學(xué)生創(chuàng)造更多思考的時(shí)間和空間，讓學(xué)生在思考的過程中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成深刻理解。多角度思考，尋找不同的解決問題的方式，往往能讓學(xué)生的思考更加深入，這對(duì)學(xué)生思維能力的發(fā)展有著很大的幫助。讓學(xué)生在多樣化解決問題的過程中，不僅要獨(dú)立思考，還要嘗試換位思考，除了從常規(guī)的角度進(jìn)行思考之外，還要另辟新路，突破固化的思維方式，如此才可以更好地培養(yǎng)小學(xué)生在解題過程中的創(chuàng)新精神與意識(shí)，讓學(xué)生的思維靈活性獲得有效發(fā)展。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，要使學(xué)生對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生深刻的認(rèn)識(shí)，真正體會(huì)知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)涵，而靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決問題就是學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵的重要體現(xiàn)。帶領(lǐng)學(xué)生從不同的角度來解決問題，實(shí)際上就是帶領(lǐng)學(xué)生從題目中聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)并加以運(yùn)用的過程，加強(qiáng)解決問題方法多樣化的教學(xué)能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)把握得更加深刻。

在“多邊形的內(nèi)角和”這節(jié)課中，教材的設(shè)計(jì)意圖是將“求多邊形內(nèi)角和”的問題轉(zhuǎn)化成“求若干個(gè)三角形內(nèi)角和”的問題，這是解決多邊形內(nèi)角和問題的一種策略。這樣設(shè)計(jì)其實(shí)是把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。這樣安排的原因是把多邊形分成最少數(shù)量的三角形，學(xué)生在之前的教材中曾經(jīng)接觸過，教師只需要引導(dǎo)提出這些經(jīng)驗(yàn)，那么學(xué)生就會(huì)自然而然地理解這種方法。但是在實(shí)際的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，在探究時(shí)，有的學(xué)生確實(shí)是按教材的意思去分的（如圖1），但是，也有的學(xué)生有著不同的方法（如圖2），甚至有的學(xué)生想到了第三種方法（如圖3）。其中，方法一是根據(jù)教材探索規(guī)律的路徑，將四邊形分成兩個(gè)三角形，五邊形分成三個(gè)三角形……學(xué)生有過這樣分的經(jīng)驗(yàn)，就能較快地理解這種方法，而且利于規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和表達(dá)。方法二是基于學(xué)生的研究實(shí)際，四邊形可以分成兩個(gè)三角形，五邊形可以分成一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形（四邊形剛剛才研究過，知道了它的內(nèi)角和），六邊形可以分成兩個(gè)四邊形（或者一個(gè)三角形和一個(gè)五邊形）……隨著多邊形邊數(shù)的增多，都可以在前面研究的多邊形基礎(chǔ)上來進(jìn)行研究的。并且學(xué)生認(rèn)為這樣分的次數(shù)較少，分起來比較簡(jiǎn)便，計(jì)算起來也不麻煩。而方法三是學(xué)生在探究四（六）邊形的內(nèi)角和時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)的，一開始，大多學(xué)生可能覺得這樣分并不能求出四（六）邊形的內(nèi)角和，然而經(jīng)過后期討論，學(xué)生會(huì)欣喜地發(fā)現(xiàn)，原來只要拿四（六）個(gè)180°減去中間的一個(gè)周角（360°）也能求出四（六）邊形的內(nèi)角和。這樣學(xué)生的思維會(huì)進(jìn)一步地打開，轉(zhuǎn)化的感悟會(huì)更多樣，這些都是將未知的問題轉(zhuǎn)化成已知的問題，只是路徑不同而已。

在經(jīng)典數(shù)學(xué)題目“雞兔同籠”問題的練習(xí)中，經(jīng)常會(huì)設(shè)置問題如“小雞與兔子總共數(shù)量為8，所有動(dòng)物的腿數(shù)量加一起為26，則其中小雞和兔子具體有多少？”教材中是引發(fā)學(xué)生借助畫圖與演練的舉措來解答此問題，不過在具體的教學(xué)中，學(xué)生往往會(huì)結(jié)合應(yīng)用假設(shè)的方法來去解答相關(guān)問題。所以在具體開展此類問題的解答過程中，任課教師首先需要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合運(yùn)用諸如繪圖、推演等多樣化方式開展問題解析，以實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生解題思維的深度。與此同時(shí)，任課教師還需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)方式開展有效對(duì)比，從而推動(dòng)學(xué)生在不同探索方式中有效把控其中所對(duì)應(yīng)的規(guī)律。這不僅可以提升學(xué)生對(duì)解題規(guī)律的深入認(rèn)知，還可以起到推動(dòng)解題效率提升的效果。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》較關(guān)注問題運(yùn)作的多元化特性以及答案的不指定性。這便需要所有學(xué)生對(duì)問題具有自己不同的解析，“探究規(guī)律”的教學(xué)不僅僅需要關(guān)注其規(guī)律性，而更多需要關(guān)注探究規(guī)律的方式，其主要目標(biāo)是讓學(xué)生探究階段中感知改善問題的多樣化特性，以更好地培養(yǎng)學(xué)生的革新意識(shí)。每一個(gè)學(xué)生都是單獨(dú)的個(gè)體，持續(xù)化拓展“探究規(guī)律”的方式，有助于推動(dòng)學(xué)生深入思索，更好地提升學(xué)生的參與度，讓所有學(xué)生的個(gè)性都可以得到很好的保護(hù)與引導(dǎo)。

三、互通勾連，明晰內(nèi)在的聯(lián)系

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識(shí)是學(xué)生開展學(xué)科學(xué)習(xí)的重要根基，也是任課教師提高小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科綜合素養(yǎng)的關(guān)鍵基礎(chǔ)。在具體的教學(xué)開展中，需要教師不局限于專業(yè)知識(shí)的學(xué)習(xí)，還要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)中所蘊(yùn)藏的聯(lián)系，以實(shí)現(xiàn)教學(xué)的高品質(zhì)開展。只有如此，小學(xué)生才可以更好地探知學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真正意義，并更全面地掌握解題的思維與技巧。在探究規(guī)律的過程中，方法、路徑可能不同，但本質(zhì)往往是相同的。

在“多邊形的內(nèi)角和”這節(jié)課中出現(xiàn)的幾種探究路徑中，無論是方法一還是方法二，其規(guī)律都可以用“多邊形的內(nèi)角和=（多邊形的邊數(shù)-2）×180°”來表達(dá)，而方法三其實(shí)不光四（六）邊形可以這樣分，其他多邊形也可以分，以五邊形為例，只需要從五邊形內(nèi)任意找一個(gè)點(diǎn)，連接這個(gè)點(diǎn)和五邊形的5個(gè)端點(diǎn)，也可以得到5個(gè)三角形（如圖4）。那么我們也可以得到它的規(guī)律為：多邊形的內(nèi)角和=多邊形的邊數(shù)×180°-360°。到這里看似多邊形內(nèi)角和有了兩個(gè)不同的表達(dá)式，但它們是孤立存在的嗎，它們之間就沒有內(nèi)在聯(lián)系嗎？顯然不是！通過讓學(xué)生再仔細(xì)觀察、比較這兩個(gè)表達(dá)式，讓學(xué)生說說自己的理解。如果將第二個(gè)表達(dá)式中的“360°”看成“2×180°”，第二個(gè)表達(dá)式就可以像下面這樣轉(zhuǎn)化：

多邊形的內(nèi)角和=多邊形的邊數(shù)×180°-360°

=多邊形的邊數(shù)×180°-2×180°

=（多邊形的邊數(shù)-2）×180°

這其實(shí)就是乘法分配律的應(yīng)用。通過互通勾連，學(xué)生就會(huì)進(jìn)一步理解規(guī)律。不同方法，異曲同工，學(xué)生就應(yīng)該在這樣開放的探究過程中，明晰內(nèi)在聯(lián)系。

同樣，在“雞兔同籠”問題中，在學(xué)生交流完畫圖法和假設(shè)法后，讓學(xué)生仔細(xì)觀察這兩種方法，溝通圖形和算式之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)假設(shè)法其實(shí)就是將畫圖法抽象化，畫圖法就是將假設(shè)法形象化，通過數(shù)形結(jié)合的思想，明確了兩種方法之間的關(guān)系，促進(jìn)了學(xué)生的進(jìn)一步思考，從而發(fā)展了學(xué)生的思維。

數(shù)學(xué)是系統(tǒng)性很強(qiáng)的一門學(xué)科，各種方法之間其實(shí)聯(lián)系非常緊密。在面對(duì)有多種策略、方法可以解決問題時(shí)，學(xué)生對(duì)每種方法的理解往往是個(gè)體的、分散的，常常是“見木不見林”。而通過對(duì)多種方法之間的互通勾連，有助于學(xué)生理解多種方法之間的具體關(guān)系，明晰所應(yīng)用方式的具體特點(diǎn)，讓方法進(jìn)行有效的科學(xué)結(jié)合，形成合理架構(gòu)，以打造更完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)，推動(dòng)小學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的完善化。

整體而言，探究規(guī)律的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)提升學(xué)生探知與具體解決問題的能力有著極大的推動(dòng)作用，同時(shí)有助于學(xué)生有效養(yǎng)成主動(dòng)探究的思維習(xí)慣。它是一個(gè)讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，這就要求教師精心設(shè)計(jì)教學(xué)，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)猜想，敢于經(jīng)歷不同的探究路徑，溝通不同路徑探究下的規(guī)律，實(shí)現(xiàn)小學(xué)生數(shù)學(xué)整體解題能力的整體化提升。

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