李東海

內(nèi)容提要：數(shù)學(xué)解題分析，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈魂，也是一種解題過(guò)程主體的清晰意識(shí)，它不僅是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象敏銳而深入的洞察、直接的本質(zhì)理解、綜合整體的判斷，也是直接領(lǐng)悟的認(rèn)識(shí)。解題分析既是思維之始，也是獲得數(shù)學(xué)信息的基本途徑，并且能起著解題的導(dǎo)向作用。因此，解題教學(xué)是一種培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力行之有效的途徑。

關(guān)鍵詞：解題分析，閱讀能力，教學(xué)體會(huì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)”。同時(shí)也強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)作為對(duì)于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學(xué)語(yǔ)言與工具，不僅是自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的基礎(chǔ)，而且在人文科學(xué)與社會(huì)科學(xué)中發(fā)揮著越來(lái)越大的作用。這說(shuō)明了數(shù)學(xué)背后隱藏著豐富的科學(xué)人文價(jià)值。而要讓學(xué)生自己體會(huì)到這種價(jià)值，就要求學(xué)生必須具有較高的數(shù)學(xué)閱讀理解能力，能夠在閱讀中理解數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)、感受數(shù)學(xué)的魅力，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，下面是筆者在解題教學(xué)過(guò)程中幾點(diǎn)體會(huì)。

一、著眼整體，全面分析

數(shù)學(xué)解題分析，應(yīng)是全方位和多角度的，而不是那種局部的、孤立的。一方面，我們可以從整體上把握問(wèn)題的特征，而不因?yàn)榫植康哪承┈F(xiàn)象影響對(duì)綜合特點(diǎn)的發(fā)現(xiàn);另一方面，我們也要從局部的特點(diǎn)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)、分析各部分之間的共性差異，找出其內(nèi)在的聯(lián)系，從而獲得整體的認(rèn)識(shí)。

例1. 解方程：

分析：在教學(xué)過(guò)程中，許多學(xué)生都會(huì)聯(lián)想到用解分式方程的常規(guī)方法進(jìn)行解答，即先去分母等，結(jié)果反而使方程變得更加復(fù)雜幾乎解不下去。因此，我在教學(xué)過(guò)程中注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目形式結(jié)構(gòu)的整體分析，統(tǒng)覽全局，著重方程的整體結(jié)構(gòu)特征：是 型，此時(shí)大部分學(xué)生就可以非常簡(jiǎn)捷地獲得以下的解法：設(shè) ，那么 ，于是原方程可化為： ，方程兩邊都乘以 ，約去分母得： ，解之得： ， ，然后把 的值代入解得方程的根： ， ， ， 。

例2. 解方程：

此題在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生有如下兩種思路：①按照解分式方程的一般解法，先去分母，然后化成整式方程進(jìn)行解答;②利用換元法，設(shè) ，則 ，于是原方程化為 ，然后再解出 的值，最后把 代入，求得 的值。

顯然，第一種思路是沒(méi)有理解數(shù)學(xué)題目中的隱含條件，是無(wú)法得到方程的理想答案學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力不強(qiáng)的表現(xiàn);第二種思路顯然是對(duì)本題進(jìn)行了細(xì)致的分析后而想到的，很有創(chuàng)新性，是學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力較強(qiáng)的表現(xiàn)。這種方法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力很有幫助，在教學(xué)的過(guò)程中，更值得我們?nèi)ヌ岢?/p>

略解：設(shè) ，則 ? 于是原方程可化為： 解之得： ， ，把 、 代入解得： ， ， 。

二、注重聯(lián)想，系統(tǒng)分析

在解題過(guò)程中，如果我們能夠?qū)︻}中的數(shù)形結(jié)構(gòu)等方面的特點(diǎn)進(jìn)行系統(tǒng)觀察、梳理、分析，就能進(jìn)行接近性、相似性的類比聯(lián)想，通過(guò)知識(shí)的遷移，把問(wèn)題更加熟悉化、簡(jiǎn)單化，從而能幫助我們確定解題策略，啟迪解題思路，這樣，我們解決問(wèn)題就顯得得心應(yīng)手！

例3. 當(dāng) ?， ?時(shí)，代數(shù)式 ? 的值等于幾？

分析：在解題的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生有如下解法：①?gòu)囊阎獥l件出發(fā)，分別求出 ?的值，但是，只有兩條方程要求四個(gè)未知數(shù)，顯然是不可能得到理想的解答;②把代數(shù)式 經(jīng)過(guò)恒等變形后，化成含有 ?， ?的代數(shù)式來(lái)，這樣想的學(xué)生就可得到題目的答案了。

顯然，運(yùn)用第二種解法的學(xué)生是較好地理解題目，系統(tǒng)地分析已知條件，注意到式子的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)對(duì)知識(shí)的聯(lián)想、遷移，另辟解題的蹊徑，誠(chéng)然，他們的解題就游刃有余了！

略解：

∵ ? ， ? ?∴

例4. 已知 ?，那么 ? 的值是多少？

在教學(xué)的過(guò)程中，不同的學(xué)生有如下兩種不同的聯(lián)想，也有兩種不同的解題方案。

聯(lián)想1：要求 ? 的值，只需求出 的值即可，又因?yàn)?是方程 ? 的實(shí)數(shù)根，可由求根公式求出，進(jìn)而可求出 ? 的值。

聯(lián)想2：由 得出 ，若把 變形為 的形式表示，問(wèn)題就容易解決了。

這兩種聯(lián)想，都可以得出本題的答案，但是對(duì)比兩種聯(lián)想，聯(lián)想2自然是更值得我們?nèi)バ蕾p與推廣，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力具有更大的價(jià)值。

略解如下：∵ ? ? ? ∴

三、建模求變，動(dòng)態(tài)分析

“動(dòng)中窺靜，靜圖動(dòng)觀”是解題分析必須具備的良好素質(zhì)。運(yùn)動(dòng)存在著靜止，靜止孕育著運(yùn)動(dòng)。如果我們能立于善于利用運(yùn)動(dòng)和靜止的辯證關(guān)系來(lái)觀察、分析和處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，也就是進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，在變化中輔助以構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的解題技能訓(xùn)練，那么，就能培養(yǎng)學(xué)生思維的多向性，解題就能左右逢源！

例5. 如圖，在△ABC中，∠B = 900，點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始出了，以 的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開(kāi)始以 的速度向C點(diǎn)移動(dòng)，如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后△PBQ的面積等于 ？

分析：此類問(wèn)題由于點(diǎn)（線、圖形等）整體的運(yùn)動(dòng) ? ? ? ? ? ?C

變化對(duì)學(xué)生的常規(guī)思維產(chǎn)生了干擾，學(xué)生往往總是圍繞動(dòng)

態(tài)去思考，最終導(dǎo)致陷入思維的困境。其實(shí)解決這類問(wèn)題 ? ? ? ? ?Q

在于抓住變化中的不變性質(zhì)和不變圖形，聯(lián)想模型（如函 ? ? ? 12cm

數(shù)、方程、不等式、全等、相似模型等），問(wèn)題的解決就并

非難事了！

略解：設(shè)經(jīng)過(guò) 秒后，△PBQ的面積等于 ，則有 ? ? ? ?B ? 6cm ?P ? A

解之得： ，

即2秒或者4秒后△PBQ的面積是 。

四、由表及里，深入分析

人們認(rèn)識(shí)事物的程序一般總是由表及里，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)。數(shù)學(xué)解題的觀察分析也是如此。對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題表面現(xiàn)象的考察，只是解題分析的初級(jí)階段，但要發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)特征，就需要進(jìn)一步深入研究、細(xì)致的分析，在題目的曲折的條件和隱含條件中，獲得更多的解題信息，使問(wèn)題迎刃而解。

例5. 若實(shí)數(shù)x、y滿足 則 ? ? ? ?。

在教學(xué)過(guò)程中，許多學(xué)生遇到此類問(wèn)題總是束手無(wú)策，因?yàn)楸绢}從表面上看來(lái)，只有一個(gè)方程要求出兩個(gè)未知數(shù)（x和y）的值，進(jìn)而求 的值，似乎是不可能的，但仔細(xì)深入地分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)， 和 都是非負(fù)數(shù)，要使得 就必須使得 和 同時(shí)等于零，即 和 ，這是本題深藏著的一個(gè)重要的隱含條件，一旦發(fā)現(xiàn)，本題即可獲解！

略解：∵ ? ? ? ∴ ，

解得： ， ? ? ? 所以：

由題目的已知條件出發(fā)，由表及里、層層深入，從而凸顯解題思路，問(wèn)題也就輕而易舉地解決了！

例7. 一元二次方程 有一根是 ，且 、 滿足 則 ? ? ? ? ; ? ? ? ? ? ?; ? ? ? ? ? ? 。

分析：此題解決和例6類似，仔細(xì)深入地分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)， 和 都是非負(fù)數(shù)，因此在教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察，要使 和 同時(shí)成立，只有 ，因而 ，求 的值只要 、 的值和 這一根代入方程 即可得到 ?。

總之，在解題分析教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生注意分析對(duì)象特征，掌握分析方法，使學(xué)生的分析思維由片面走向全面，由無(wú)序引向有序，由靜態(tài)走向動(dòng)態(tài)，由膚淺引向深入，這對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力、邏輯思維能力有著不可估計(jì)的作用！