【摘 要】反思是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中不可缺少的環(huán)節(jié)，要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，就必須培養(yǎng)學(xué)生的反思能力。而直觀想象是學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。因此，文章通過教學(xué)實(shí)踐闡述如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)，以此提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);直觀想象;反思性學(xué)習(xí)

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2022）24-0093-04

著名教育家約翰·杜威在《我們?cè)鯓铀季S》這本書中系統(tǒng)闡釋了反思性學(xué)習(xí)，并把常規(guī)行為與反思性行為進(jìn)行了比較。常規(guī)行為是在固有的、傳統(tǒng)的模式下形成的，不加批判地繼承已學(xué)知識(shí);而反思性行為則是對(duì)知識(shí)和方法的深思，不是簡(jiǎn)單的苦思冥想，而是涉及直覺、情緒的高級(jí)認(rèn)知過程。

什么是數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)？是指通過對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程的反思來進(jìn)行學(xué)習(xí)。反思是對(duì)自己的思維過程、思維結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)識(shí)的檢驗(yàn)過程，是學(xué)習(xí)中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。建構(gòu)主義理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是在活動(dòng)中進(jìn)行建構(gòu)，要求學(xué)生不斷地對(duì)自己的活動(dòng)過程進(jìn)行反省、概括和抽象?？梢钥吹?，反思性學(xué)習(xí)是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的重要途徑。

什么是數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng)？《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，主要包括借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路[1]。直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。因此，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力極其重要。

為什么要培養(yǎng)學(xué)生的反思性學(xué)習(xí)能力呢？如何提升學(xué)生的直觀想象能力呢？為什么反思性學(xué)習(xí)對(duì)提升學(xué)生的直觀想象能力具有關(guān)鍵的作用呢？針對(duì)這些問題，首先要從學(xué)情分析入手。

1? ?學(xué)情分析

數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)對(duì)于初中生來說是極其重要的。初中生的心理發(fā)展水平與小學(xué)時(shí)期相比得到了一定程度的提升，具有一定的自控能力和自我分析能力，但在學(xué)習(xí)和認(rèn)知的過程中依舊比較依賴他人，以被動(dòng)學(xué)習(xí)為主，缺乏主動(dòng)思考。在這樣的學(xué)習(xí)模式下，學(xué)生即使學(xué)習(xí)很認(rèn)真，上課認(rèn)真聽講，當(dāng)下對(duì)知識(shí)和方法有所掌握，但過一段時(shí)間后，遺忘程度非常高，甚至在階段考試中考查原題，依然有很多學(xué)生出錯(cuò)或不會(huì)，出現(xiàn)“假懂”的現(xiàn)象。出現(xiàn)這種現(xiàn)象是由于學(xué)生的認(rèn)知只是停留在表面，沒有進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。而反思性學(xué)習(xí)是讓學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的一種有效的方法。本文通過實(shí)際教學(xué)案例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)，總結(jié)模型和方法，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。下面從培養(yǎng)函數(shù)直觀想象能力和引入幾何圖形中的特殊模型兩個(gè)角度來闡述如何通過反思性學(xué)習(xí)提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。

2? ?教學(xué)實(shí)踐

2.1? 培養(yǎng)函數(shù)直觀想象能力

針對(duì)這道題，許多學(xué)生反映字母特別多，一開始都很畏懼，并且無從下手。但通過筆者精細(xì)的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在解決比較簡(jiǎn)單的同類型題目的過程中總結(jié)反思出函數(shù)直觀想象的方法后，再來解決這道題時(shí)，大部分學(xué)生都會(huì)做了。具體的教學(xué)設(shè)計(jì)如下。

例1：已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于

（-1，0），（3，0），求其對(duì)稱軸。

教師：畫出函數(shù)的大致圖象，你能直觀地看出對(duì)稱軸嗎？

學(xué)生：容易得到對(duì)稱軸為。

教師：這兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？

學(xué)生：這兩個(gè)點(diǎn)都在x軸上，也可說它們的縱坐標(biāo)相同。

教師：這體現(xiàn)了二次函數(shù)的什么性質(zhì)？

學(xué)生：二次函數(shù)的對(duì)稱性。

例2：已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于（0，5），（4，5），求其對(duì)稱軸。

教師：現(xiàn)在兩個(gè)點(diǎn)不在x軸上了，當(dāng)畫出函數(shù)的大致圖象，你還能直觀地看出對(duì)稱軸嗎？

學(xué)生：容易得到對(duì)稱軸為。

教師：這兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？

學(xué)生：這兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。

教師：從上面兩題來看，你可以總結(jié)出什么方法嗎？

【學(xué)生反思總結(jié)方法】在二次函數(shù)上的兩個(gè)點(diǎn)，如果縱坐標(biāo)相同，那么這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱。此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸公式是直線。

【設(shè)計(jì)說明】例1選自教材，這對(duì)學(xué)生來說較為熟悉，易于入手。例2在例1的基礎(chǔ)上，調(diào)整為不那么特殊的兩個(gè)點(diǎn)（0，5），（4，5），讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)這兩道題目的共同特點(diǎn)是兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，讓學(xué)生在簡(jiǎn)單、熟悉的情境中慢慢地感受到其中蘊(yùn)藏的函數(shù)直觀想象的方法。

例3：若拋物線y=ax2+bx+c的開口向上，對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)A（-2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）都在該拋物線上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是

（? ?）。

A.y1C.y3

教師：同學(xué)們，你還能通過這道題得到什么重要的發(fā)現(xiàn)嗎？如這些點(diǎn)離對(duì)稱軸的距離等。

【學(xué)生反思總結(jié)方法】開口向上的拋物線上的點(diǎn)，離對(duì)稱軸越近，點(diǎn)的高度越低，即縱坐標(biāo)越小，這體現(xiàn)了二次函數(shù)的對(duì)稱性。

【設(shè)計(jì)說明】例3是一道含參數(shù)的二次函數(shù)題，難度適中。設(shè)計(jì)目的是引導(dǎo)學(xué)生反思體會(huì)，只要能夠畫出拋物線的大致圖象，那么問題就會(huì)迎刃而解。另外，還可以讓學(xué)生了解到二次函數(shù)上的點(diǎn)與頂點(diǎn)和對(duì)稱軸的位置特點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，發(fā)現(xiàn)開口向上的拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越近，點(diǎn)的高度越低，縱坐標(biāo)越小。這為學(xué)生解決真題1提供了方法，讓學(xué)生通過反思，總結(jié)出二次函數(shù)直觀想象的方法，并在解題過程中應(yīng)用，獲得成就感。

學(xué)生運(yùn)用自己總結(jié)的方法進(jìn)行自主分析：

①觀察條件發(fā)現(xiàn)A、C的縱坐標(biāo)相同，可得對(duì)稱軸為x=;②畫出坐標(biāo)A（m，n）、C（3-m，n）的大概位置;③大概畫出二次函數(shù)的圖象，如圖2;④標(biāo)出點(diǎn)B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）的位置;⑤觀察點(diǎn)的位置即可得出結(jié)論。

可以發(fā)現(xiàn)，由于離對(duì)稱軸x=最近，因此點(diǎn)D最低。而0離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)，因此點(diǎn)B最高。不難發(fā)現(xiàn)，這題的解題思路和之前總結(jié)的結(jié)論相同。因此，同一個(gè)方法可以運(yùn)用到不同的題目中，通過反思真正掌握這個(gè)方法，就可達(dá)到舉一反三的效果。

2.2? 引入幾何圖形中的特殊模型

幾何直觀是直觀想象素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，而幾何圖形中的特殊模型是幾何直觀的一個(gè)非常重要的部分，它可以讓學(xué)生在復(fù)雜的圖形結(jié)構(gòu)中迅速地發(fā)現(xiàn)自己熟悉的特殊模型，找到解決幾何問題的思維方向或者得到更多的已知條件，進(jìn)而提高解決幾何問題的能力。引導(dǎo)學(xué)生通過幾何直觀抽取圖形中的特殊模型，并反思總結(jié)其特征，學(xué)生的幾何直觀能力才能有所提高。

真題2：（2018年福建中考）如圖3，D是ΔABC外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，且B，D位于AC的兩側(cè)，DE⊥AB，垂足為E，DE的延長(zhǎng)線交此圓于點(diǎn)F。BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點(diǎn)H，DC，F(xiàn)B的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，且PC=PB。

（1）求證：BG∥CD;

（2）設(shè)ΔABC外接圓的圓心為O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小。

此題是2018年福建省中考的壓軸題，由于圖形結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，大部分學(xué)生都不會(huì)做。但通過引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀，抽取圖形中的特殊模型，反思總結(jié)，學(xué)生也可以舉一反三。教學(xué)設(shè)計(jì)如下。

例5：（圓中垂直弦模型——“弧”）如圖4，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)P。求證：。

教師：圓中的特殊性質(zhì)指的是哪些方面？

學(xué)生：弧，弦，圓心角，圓周角。

教師：那我們首先研究弧的特點(diǎn)。兩條弦可以把圓周分成幾段??？

學(xué)生：4段。

教師：這4段弧有什么特點(diǎn)，會(huì)相等嗎？

學(xué)生：應(yīng)該不會(huì)。

教師：可以從特殊情況入手，如過圓心的直徑等。

學(xué)生：兩段對(duì)弧加起來相等。

教師：若對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)P。怎么求證呢？

思路分析：如圖5，過O作直徑CE，連接AE，DE，容易證明AE平行BD，因?yàn)槠叫芯€間所夾的弧相等，所以;又因?yàn)闉榘雸A，所以為半圓，所以。

【學(xué)生反思總結(jié)模型】垂直弦所夾的兩段弧和是半圓。解題策略為連直徑、得直角、構(gòu)平行、轉(zhuǎn)化弧。

【設(shè)計(jì)說明】將幾何壓軸題中的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)單獨(dú)呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和總結(jié)這個(gè)幾何結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含的性質(zhì)，再讓學(xué)生進(jìn)行證明，并在探索的過程中感受如何在復(fù)雜圖形中發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)特殊的幾何結(jié)構(gòu)模型，總結(jié)解題的策略和步驟，以后再遇到這個(gè)模型時(shí)就可以迅速識(shí)別。

例6：如圖6，已知A，B，C，D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)。若AC⊥BD，垂足為E，AB=2，DC=4，求⊙O的半徑。

思路分析：如圖7，過O作直徑DF，連接CF、BF，容易證明AC平行BF，因?yàn)槠叫芯€間所夾的弧相等，所以，即AB=FC。在RtΔDFC中，DF2=DC2+FC2=42+22=20，所以DF=2。所以⊙O的半徑是。

【設(shè)計(jì)說明】設(shè)計(jì)本題的目的是讓學(xué)生在比較陌生但又不是太復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)垂直弦模型，并學(xué)會(huì)如何應(yīng)用。其實(shí)這道題的實(shí)際步驟和垂直弦的步驟基本一樣，讓學(xué)生體會(huì)整理幾何模型的重要性，提升學(xué)生的幾何直觀能力。

例7：（圓中垂直弦模型——“弦”）如圖8，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)P，求證：AB2+CD2=4r2或AP2+BP2+CP2+DP2=4r2。

教師：垂直弦所分的弧有特殊性質(zhì)，那么所形成的弦有特殊性質(zhì)嗎？

學(xué)生：可能也有。

教師：那和圓中的什么量有關(guān)呢？

學(xué)生：半徑。

教師：可以從特殊情況入手，如過圓心的兩條直徑等。

學(xué)生：與4倍的半徑平方有關(guān)。

教師：很好！其實(shí)解決這道題的策略依然是連直徑、得直角、構(gòu)平行、轉(zhuǎn)化弧，運(yùn)用勾股定理可得結(jié)論。

【學(xué)生反思總結(jié)模型】垂直弦所分的四條線段與半徑有關(guān)，即AP2+BP2+CP2+DP2=4r2或AB2+CD2=4r2。

以上從“弧”與“弦”的角度，引導(dǎo)學(xué)生整理圓中的垂直弦模型，學(xué)生從中掌握了很多潛在的有價(jià)值的信息，再來解答真題2就比較容易了。

3? ?教學(xué)反思

本文從培養(yǎng)函數(shù)直觀想象能力、引入幾何圖形的特殊模型兩個(gè)角度分析了如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)，進(jìn)而提升學(xué)生的直觀想象能力。

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過程進(jìn)行反思，是提高學(xué)生解題元認(rèn)知水平的需要，是加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解的有效途徑[2]。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，熟練掌握基本技能需要經(jīng)過三個(gè)階段，分別是認(rèn)知階段、聯(lián)系階段、自動(dòng)化階段。如何讓學(xué)生的解題技能達(dá)到自動(dòng)化階段呢？反思性學(xué)習(xí)是必由之路。同時(shí)，直觀想象能力可以讓學(xué)生透過問題的表面迅速找到思考的方向。學(xué)生通過反思性學(xué)習(xí)抽取模型和方法，提升直觀想象素養(yǎng)，同時(shí)又利用直觀想象素養(yǎng)發(fā)現(xiàn)、總結(jié)更多模型和方法，長(zhǎng)此以往，學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力才能得以提升，數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能得以發(fā)展。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2014.

【作者簡(jiǎn)介】

楊振興（1985～），男，漢族，福建泉州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師。研究方向：數(shù)學(xué)教育。

*基金項(xiàng)目：本文系廈門市直屬中小學(xué)2019年度課題“基于核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)策略研究”（課題編號(hào)：zsx2019003）階段性研究成果。