劉向權

【摘 要】 ?“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”是直角三角形的重要性質定理.本文通過對初中數學教材現行的十個版本的比較分析，簡要歸納這一定理幾種不同的引入方式，進而嘗試從多視角分析、理解數學教材，以期為廣大教師在教學中準確把握教材編寫思路、恰當處理有效利用教材提供參考.

【關鍵詞】 ?教材編寫;定理引入;多視角;教材理解

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）對第四學段（7～9年級）的課程內容有如下規(guī)定：理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質定理：直角三角形的兩個銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半[1].對于“直角三角形的兩個銳角互余”這一性質定理，在學生理解直角三角形概念的基礎上，結合三角形內角和定理即可順理成章地推導出;而對另一個性質定理——直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，何時引入，如何呈現，新課標并未給出明確建議或說明.今年暑期，在滬科版八年級下冊數學新教材審讀視頻討論會上，有編寫人員提及與此定理的引入方式有關的話題，不禁引起了筆者的深思，進而促使筆者對初中現行十個版本的數學教材進行比較分析.本文通過系統(tǒng)梳理、簡要歸納此定理幾種不同的引入方式，嘗試從思維生長、知識系統(tǒng)和“特殊關聯”三個視角分析、理解數學教材，以求拋磚引玉. ?1 ?定理引入方式梳理呈現

1.1 由“矩形的對角線相等”引入

在初中現行十個版本的數學教材中，以下五個版本均采用了這一引入方式.

1.1.1 滬科版教材八年級下冊第19章第3節(jié)第1小節(jié)“矩形”

在得出“矩形的對角線相等”這一定理后，教材作了如下表述：對于任一個直角三角形 ABC（其中∠ABC=90°），構造一個長為AB和寬為BC的矩形ABCD（如圖1）.設矩形對角線AC和BD相交于點O，則AO=OC=BO=OD= 1 2 AC= 1 2 BD.由此，得到直角三角形的一個性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半[2].

1.1.2 青島版教材八年級下冊第6章第3節(jié)“特殊的平行四邊形”

教材在證得“矩形的對角線相等”后，設計了如下問題串：如圖2，矩形ABCD的兩條對角線交于點O，沿對角線AC將矩形剪開，得到 Rt △ABC.這時，OB是這個直角三角形的一條什么線段？它與斜邊AC之間有怎樣的數量關系？由此你發(fā)現了直角三角形的一個怎樣的性質？能證明你得到的命題是真命題嗎[3]？

教材再將 Rt △ABC按如圖3所示的方式構造成矩形ABCD，證明命題，得到定理.

1.1.3 人教版教材八年級下冊第18章第2節(jié)第1小節(jié)“矩形”

在歸納得到矩形的性質定理（矩形的對角線相等）后，教材呈現了如下“思考”：如圖4，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O.我們觀察 Rt △ABC，在 Rt △ABC中，BO是斜邊AC上的中線，BO與AC有什么關系[4]？

1.1.4 北京版教材八年級下冊第15章第4節(jié)第1小節(jié)“特殊的平行四邊形的性質”

教材在歸納得到“矩形的對角線相等”的基礎上，安排了如下例題：如圖5，在矩形ABCD中，兩條對角線AC，BD相交于點O，AB=OA=4 cm .求BD與AD的長[5] .

待例題求解完畢，教材順勢引導學生作如下“交流”：

1.如圖5，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，那么BO是 Rt △ABC中一條怎樣的特殊線段？它與AC有怎樣的大小關系？為什么有這樣的大小關系？

2.在這里，我們可以從矩形對角線的性質得到關于直角三角形的一個性質，應當怎樣敘述這個性質[5]？

1.1.5 北師大版教材九年級上冊第1章第2節(jié)“矩形的性質與判定”

在推導出“矩形的對角線相等”這個定理后，教材設置了“議一議”：如圖6，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點E，那么BE是 Rt △ABC中一條怎樣的特殊線段？它與AC有什么大小關系？由此你能得到怎樣的結論[6]？

1.2 由直角三角形的其他性質引入

在初中現行十個版本的數學教材中，以下四個版本采取了這一引入方式.

1.2.1 湘教版教材八年級下冊第1章第1節(jié)“直角三角形的性質和判定（Ⅰ）”

教材通過簡要推理得到直角三角形的性質定理（直角三角形的兩個銳角互余）及其逆定理，接著安排了如下“探究”：如圖7，畫一個 Rt △ABC，并作出斜邊AB上的中線CD，比較線段CD與線段AB之間的數量關系，你能得出什么結論[7]？

1.2.2 冀教版教材八年級上冊第17章第2節(jié)“直角三角形”

在歸納得到“直角三角形的兩個銳角互余”這一定理及其逆定理后，教材進一步引導學生“觀察與思考”：在一張半透明的紙上畫出 Rt △ABC，∠C=90°，如圖8（1）;將∠B折疊，使點B與點C重合，折痕為EF，沿BE畫出虛線CE，如圖8（2）;將紙展開，得到圖8（3）.

（1）∠ECF與∠B有怎樣的關系？線段EC與線段EB有怎樣的關系？

（2）由發(fā)現的上述關系以及∠A+∠B=∠ACB，∠ACE+∠ECF=∠ACB，你能判斷∠ACE與∠A的大小關系嗎？線段AE與線段CE呢？從而你發(fā)現了什么結論[8]？

1.2.3 浙教版教材八年級上冊第2章第6節(jié)“直角三角形”

教材在簡要推導出“直角三角形的兩個銳角互余”這一性質后，設置了如下“做一做”：

1.已知直角三角形兩個銳角的度數之比為3 ∶ 2，求這兩個銳角的度數.

2.已知：如圖9，D是 Rt △ABC斜邊AB上的一點，BD=CD.求證：AD=CD.

從本題中，你發(fā)現直角三角形斜邊上的中線有什么性質[9]？

1.2.4 華東師大版教材九年級上冊第24章第2節(jié)“直角三角形的性質”

教材在引導學生回顧之前所學的“直角三角形的兩個銳角互余”和勾股定理的基礎上，為繼續(xù)探索直角三角形的其他性質，進而引導學生作如下“探索”：如圖10，畫 Rt △ABC，并畫出斜邊AB上的中線CD，量一量，看看CD與AB有什么關系[10].

1.3 由“等腰三角形的軸對稱性”引入

在初中現行十個版本的數學教材中，唯有蘇科版教材“獨辟蹊徑”，采取了與其他版本數學教材迥異的引入方式.

（八年級上冊第2章第5節(jié)“等腰三角形的軸對稱性”）在學完等腰三角形的性質和判定后，安排了如下“操作”：

剪一張直角三角形紙片，如圖11（1）.

把紙片按圖11（2）所示的方法折疊，再把紙片展平后按圖11（3）所示的方法折疊，你有什么發(fā)現[11]？

2 ?由定理的不同引入方式多視角理解數學教材

2.1 基于思維生長的視角

思維生長和發(fā)展是一種極其復雜的現象.一般地，具備了一定條件時思維才能得以生長，思維發(fā)展才能得以實現.這里所說的條件，是滿足思維生長、發(fā)展的動力條件[12].從“矩形的對角線相等”引入對“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理的探究，恰恰可以幫助我們從思維生長的視角理解數學教材.那么，引發(fā)和推動學生思維生長、發(fā)展的動力又從何而來呢？

前文所述前五個版本的初中數學教材，雖然都是由“矩形的對角線相等”引入“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理，但引入的基本思路或者說思維生長、發(fā)展的具體方向卻不盡相同.滬科版和青島版教材強調用直角三角形“構造”矩形，而人教版、北京版和北師大版教材則傾向于從“矩形的對角線相等”直接過渡得到“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”.然而，在實際教學中，這兩種處理方式都面臨著如何才能讓學生“想得到”的問題.

對于第一種處理方式（滬科版和青島版教材），筆者認為，可依次提出如下問題來逐步引導、推動學生的思維生長、發(fā)展過程：由本節(jié)課所學的矩形，你最容易聯想到哪一類特殊三角形（直角三角形 ）？現有一個矩形，你如何才能把它分成兩個完全一樣（全等）的直角三角形？反過來，如果給你一個直角三角形，用什么方法才能“構造”出矩形？你是如何想到這樣“構造”的？怎樣證明你所“構造”的四邊形是矩形？觀察、分析由直角三角形“構造”矩形的過程，結合“矩形的對角線相等”這一定理思考：直角三角形斜邊上的中線與斜邊之間存在什么關系？

相比之下，第二種處理方式（人教版、北京版和北師大版教材）顯得較為直接，甚至有些“突?！保?尤其是人教版教材的處理方式簡潔明快，頗有“快刀斬亂麻”之感. 這種相對簡捷的處理方式固然可以讓數學結論“來得更快些”，但教師若不注重對教材的“加工”“改造”，便極易擠壓學生的思維空間.筆者發(fā)現，在學習“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理之前，人教版、北京版和北師大版教材均已學過“勾股定理”，學生利用“面積法”，對用外弦圖（圖12）和圖13證明勾股定理已比較熟悉.鑒于此，教師不妨結合如下問題加以引導，通過搭“腳手架”的方式促進學生的思維生長：由這節(jié)課所學的矩形，你最容易聯想到哪一類特殊的三角形（直角三角形 ）？你還記得與直角三角形的三邊有關的一個重要定理嗎（勾股定理 ）？你能分別用圖12和圖13證明勾股定理嗎？根據從圖12到圖13的“演變”過程，你覺得圖14可以“演變”成一個什么樣的圖形（圖 15）？結合圖14和圖15，你發(fā)現直角三角形斜邊上的中線與斜邊之間有什么關系？

學生通過觀察這四個圖形不難發(fā)現，將圖12沿虛線剪去“一半”便可得到圖13.只要教師引導方法得當，學生便很容易將這一經驗遷移到從圖14到圖15的“演變”中，因為將圖14沿AC剪去“一半”恰好也能得到圖15.這樣的圖形“演變”是多么神奇，多么美妙，又是多么相似！

2.2 基于知識系統(tǒng)的視角

對數學學科而言，尤其“應該從系統(tǒng)的角度學習知識，置知識于系統(tǒng)中，著眼于知識之間的聯系和規(guī)律，從而深入本質”[13].基于這一觀點，教師“在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系”[1].

如前文所述，湘教版、冀教版、浙教版、華東師大版教材對“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理的引入，均以直角三角形的其他性質為起點.若繼續(xù)翻閱這四個版本的教材還會發(fā)現，湘教版教材八年級下冊第1章第1～2節(jié)已涵蓋了直角三角形性質與判定的全部內容，本章第3節(jié)索性將直角三角形全等的判定（HL）也納入了“直角三角形”的知識系統(tǒng)中;冀教版教材則將“直角三角形”和“等腰三角形”一起融入了八年級上冊第17章“特殊三角形”這個更大的知識系統(tǒng)，全章涉及“直角三角形”的部分自然也少不了直角三角形的性質、判定及“HL”定理等內容;浙教版教材仿佛是在織一張更大的“網”，八年級上冊第2章（特殊三角形）以“圖形的軸對稱”為引子，以“特殊三角形”為明線，以“逆命題和逆定理”為暗線，不僅將“等腰三角形的性質與判定”“直角三角形的性質與判定”兩個子系統(tǒng)納入其中，線段垂直平分線性質定理的逆定理、角平分線性質定理的逆定理也被一網打盡;華東師大版教材九年級上冊第24章（解直角三角形）第2節(jié)（直角三角形的性質）在對“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”進行探索前，首先回顧了前面（八年級上冊第13章，第14章）學過的直角三角形的兩個性質，其意圖本已不言自明，而接下來探索證明得到“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個新的性質定理后，教材依次對直角三角形的三個性質編上了序號，這個看似微不足道的細節(jié)處理，無疑更彰顯出教材試圖構建結構化的數學知識體系的深刻用意.

2.3 基于“特殊關聯”的視角

初中數學教材中某些特殊的幾何圖形時常“相伴而生”，彼此能通過相互“演變”而得到，此時，往往可由其中一個幾何圖形的性質或判定推出另一個幾何圖形的性質或判定，我們不妨稱這兩個幾何圖形“特殊關聯”.顯然，直角三角形和等腰三角形就是這樣的“特殊關聯”.前文提及蘇科版教材八年級上冊第2章第5節(jié)利用“等腰三角形的軸對稱性”探索、證明“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，就是一個很好的例證.縱觀初中三年數學教材，還能發(fā)現不少“特殊關聯”的“蛛絲馬跡”.比如，平行四邊形和梯形、矩形和直角梯形、等腰三角形和等腰梯形等.從這個意義出發(fā)，直角三角形和矩形、等腰三角形和菱形、等腰直角三角形和正方形也是“特殊關聯”的.

值得一提的是，基于“特殊關聯”的視角理解數學教材，不僅能為數學結論的探索與證明帶來有益啟示，也可以為數學例、習題的拓展延伸教學，乃至為中考數學命題開辟廣闊思路. ?3 ?結束語

通過以上論述，我們不難發(fā)現，基于思維生長的視角理解數學教材，同一知識系統(tǒng)的課程內容往往會遵循數學知識邏輯、思維生長邏輯和教材編排邏輯分布于不同的章節(jié)之中，隨著學生對數學知識學習、理解的不斷深入，一個個結論才會適時引入并加以呈現.上文所述前五個版本的數學教材均對直角三角形的性質與判定的有關內容作了類似的“分散”處理;多數版本的初中數學教材對一次函數與二次函數、全等三角形和相似三角形等內容的“分散”安排也是基于這樣的考慮.

基于知識系統(tǒng)的視角，尤其關注對結構化的數學知識體系的構建.若由此視角審視、理解數學教材，在探索、證明出“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理后不應就此止步，實際教學中還可繼續(xù)啟發(fā)學生進行如下思考：這個定理的逆命題是什么？此逆命題是真命題嗎？如果是真命題，又該如何證明？這是因為，直角三角形的其他兩個性質定理（直角三角形的兩個銳角互余，勾股定理）以及“在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”這一定理的逆命題都是真命題，所以在得到“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理后，唯有進一步探討其逆命題的真假（即便其逆命題未在數學教材中以定理的形式呈現），才算真正構建了完整意義上的“直角三角形的性質和判定”的知識系統(tǒng)，并實現了該系統(tǒng)的“閉環(huán)”.同時，我們還會欣喜地發(fā)現：隨著學習的深入，以后還可根據圓周角定理的推論（90°的圓周角所對的弦是直徑，半圓或直徑所對的圓周角是直角）對“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理及其逆命題作簡潔而直觀地證明.如此，不僅幫助學生拓寬了命題證明的思路，實現了數學思維的又一次生長，也進一步擴充、完善了“直角三角形”的知識系統(tǒng)，可謂一舉三得.

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