杜苗苗 王文 陳美芳

【摘 要】 ?本文對2022年安徽省中考壓軸題進(jìn)行探究，在解決已有問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式拓展，發(fā)掘此問題的數(shù)學(xué)價值，得到關(guān)于通過函數(shù)教學(xué)幫助學(xué)生形成核心素養(yǎng)，發(fā)展理性思維的教學(xué)啟示.

【關(guān)鍵詞】 ?核心素養(yǎng);理性思維;函數(shù)

安徽省中考數(shù)學(xué)壓軸題歷年以來都是圖形與幾何領(lǐng)域中關(guān)于三角形的問題，2022年是首次出現(xiàn)以函數(shù)的常規(guī)計(jì)算為載體的壓軸題.本題題目偏長，內(nèi)容豐富，重在考察學(xué)生的抽象能力、推理能力、模型觀念、幾何直觀和運(yùn)算能力.題目看似錯綜復(fù)雜，實(shí)際有跡可循，解題的本質(zhì)是通過“函數(shù)”研究變量之間的關(guān)系，體現(xiàn)了對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與理性思維的考察.

1 ?試題呈現(xiàn)

例1 ?如圖1，隧道截面由拋物線的一部分 AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米.以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，規(guī)定一個單位長度代表1米.E（0，8）是拋物線的頂點(diǎn).（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;（2）在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“ ”型或“ ”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點(diǎn)P 1，P 4在x軸上，MN與矩形P 1P 2P 3P 4的一邊平行且相等.柵欄總長l為圖中粗線段P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，MN長度之和，請解決以下問題：

（?。┬藿ㄒ粋€“ ”型柵欄，如圖2，點(diǎn)P 2，P 3在拋物線AED上.設(shè)點(diǎn)P 1的橫坐標(biāo)為m（0

（ⅱ）現(xiàn)修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的“ ”型和“ ”型兩種設(shè)計(jì)方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形P 1P 2P 3P 4面積的最大值及取最大值時點(diǎn)P 1的橫坐標(biāo)的取值范圍（P 1在P 4右側(cè)）.

2 ?試題解析

本題將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，以函數(shù)的常規(guī)計(jì)算為載體，重點(diǎn)考察二次函數(shù)的變量關(guān)系，雖然從題目的表述來看，該題內(nèi)容蕪雜，令很多考生望而生畏，但從圖形來看，該題的圖形清晰明了，將題干信息進(jìn)行很好的提取表達(dá)，一定程度上減輕了解題難度，也提示學(xué)生在解決函數(shù)問題時注意數(shù)形結(jié)合思想的合理應(yīng)用.可見命題專家的用心良苦.

2.1 解題思路分析

問題（1）考察學(xué)生通過分析問題的情景，結(jié)合函數(shù)圖形和點(diǎn)的坐標(biāo)確定二次函數(shù)表達(dá)式的能力，對考生來說是常規(guī)題，難度不大，大部分學(xué)生能夠通過圖形的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)得到答案.

問題（2）考察了學(xué)生的模型觀念、幾何直觀和運(yùn)算能力.其中，（?。﹩柨疾鞂W(xué)生通過分析，建立l與m兩個變量之間變化的依賴關(guān)系的能力.因?yàn)辄c(diǎn)P 2，P 3在拋物線AED上，點(diǎn)P 1的橫坐標(biāo)為m，結(jié)合圖形與函數(shù)表達(dá)式可知P 2的坐標(biāo)為（m，- 1 6 m2+8），即得到m表示的各線段長度，與總長l建立等量關(guān)系，得到一個m與l的二次函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，得到最大值，此時要注意自變量的取值范圍，則該題得解.

問題（2）的（ⅱ）問，已知柵欄總長l等于18米為圖中粗線段P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，MN長度之和，矩形P 1P 2P 3P 4的面積為P 1P 2，P 2P 3之積，故可以設(shè)出矩形一邊長度，得到一邊長度與矩形面積的二次函數(shù)，進(jìn)而求解.題目要求在兩種方案中任選一種，如果選擇方案一，設(shè) P 1P 2 =x，則 P 2P 3 =18-3x，S= P 1P 2 · P 2P 3 =x（18-3x）=-3x2+18x，求最大值，故化為頂點(diǎn)式S=-3（x-3）2+27，又由題可得當(dāng)x=3時面積取最大值27，且滿足自變量的取值范圍.此時矩形的形狀大小已定，再求此時點(diǎn)P 1的橫坐標(biāo)的取值范圍，結(jié)合圖象，當(dāng)矩形的P 2，P 3點(diǎn)分別落在拋物線上時，P 1的橫坐標(biāo)取得最大值和最小值，P 1的橫坐標(biāo)取值范圍在此區(qū)間內(nèi).此時P 2，P 3的縱坐標(biāo)確定為3，故可以求出當(dāng)它們分別落在拋物線上時，橫坐標(biāo)分別為± 30 ，當(dāng)P 2落在拋物線上，P 1的橫坐標(biāo)取得最大值 30 ，當(dāng)P 3落在拋物線上時，P 1的橫坐標(biāo)取得最小值，P 1P 4的長度為9，故此時P 1的橫坐標(biāo)為- 30 +9.所以最大值時點(diǎn)P 1的橫坐標(biāo)的取值范圍為[- 30 +9， 30 ]，本題可解.方案二同理可解.

2.2 變式拓展

例2 ?工人已經(jīng)在例1所在的隧道內(nèi)修建了三角形柵欄，如圖4所示線段BE和CE，現(xiàn)仍計(jì)劃修建一個總長為18的柵欄，仍有如圖4所示的“ ”型和“ ”型兩種設(shè)計(jì)方案，矩形P 1P 2P 3P 4的長寬均為整數(shù)，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形P 1P 2P 3P 4面積的最大值及取最大值時點(diǎn)P 1的橫坐標(biāo)的取值范圍（P 1在P 4右側(cè)）.

設(shè)計(jì)意圖 ?本題將一次函數(shù)的知識融入題目，學(xué)生會求其表達(dá)式，并且考察了學(xué)生在求二次函數(shù)最大值時是否充分考慮自變量的取值范圍，進(jìn)而幫助學(xué)生形成核心素養(yǎng)，發(fā)展理性思維.

解 ?（以方案一為例）

設(shè) P 2P 3 =x，則 P 1P 2 = 18-x 3 ，S= P 1P 2 · P 2P 3 =x· 18-x 3 =- 1 3 x2+6x，化為頂點(diǎn)式S=- 1 3 （x-9）2+27，當(dāng) P 2P 3 =9， P 1P 2 =3時，由例1可知B（-6，0），C（6，0），E（0，8），故BE，CE所在直線的函數(shù)表達(dá)式分別為y 1= 4 3 x 1+8，y 2=- 4 3 x 2+8.當(dāng)y 1=y 2=3時，x 1=- 15 4 ，x 2= 15 4 ，此時 x 1 + x 2 = 15 2 < P 2P 3 =9，故舍去.由圖象知 BC =12，且需要滿足矩形P 1P 2P 3P 4的長寬均為整數(shù)，故當(dāng) P 2P 3 =6， P 1P 2 =4時，y 1=y 2=4，x 1=-3，x 2=3， x 1 + x 2 =6= P 2P 3 滿足條件，此時S=24.當(dāng) P 2P 3 =3， P 1P 2 =5時，y 1=y 2=5，x 1=- 9 4 ，x 2= 9 4 ， x 1 + x 2 = 9 2 > P 2P 3 =3，滿足條件，此時S=15<24，故舍去.當(dāng) P 2P 3 =12， P 1P 2 =2時， BC =12，此時點(diǎn)P 4，P 1分別與點(diǎn)B，C重合，不滿足題意，故舍去.綜上所述，方案一下矩形P 1P 2P 3P 4面積的最大值為24，取最大值時點(diǎn)P 1 的橫坐標(biāo)為3.

3 ?教學(xué)啟示

初中學(xué)業(yè)水平考試是國家重要考試之一，中考的試卷分析對改進(jìn)教師教學(xué)和指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)都有著很重要的作用.通過試題可以尋找命題素材的來源，比如本文所展示的2022年安徽中考數(shù)學(xué)壓軸題來源于滬科版九年級數(shù)學(xué)教材第二十一章第四節(jié)二次函數(shù)的應(yīng)用練習(xí)題——關(guān)于二次函數(shù)隧道問題.所以教師在復(fù)習(xí)時應(yīng)該緊扣課本，打好基礎(chǔ)，再在此基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展與發(fā)散，不能忽視教材的重要性[1].同樣通過分析試題也能得到一些啟示.

3.1 教學(xué)過程立足學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展

例1考察的是二次函數(shù)的知識點(diǎn)，也重點(diǎn)考察了學(xué)生的抽象能力、推理能力、模型觀念、幾何直觀和運(yùn)算能力，這些能力是初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在教學(xué)過程中逐步形成和發(fā)展的，其中模型觀念的形成更離不開函數(shù)章節(jié)的教學(xué)過程.2022年最新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出，應(yīng)使學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，形成和發(fā)展面向未來社會和個人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)[2].因此在教學(xué)過程中不應(yīng)該只關(guān)注學(xué)生對知識的掌握，更應(yīng)該立足于學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.例如在函數(shù)教學(xué)過程中，求函數(shù)表達(dá)式注意鍛煉學(xué)生的運(yùn)算能力，函數(shù)圖象與解析式相結(jié)合注意鍛煉學(xué)生的幾何直觀，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題注意鍛煉學(xué)生的抽象能力與模型觀念，整個函數(shù)的解題過程中注意鍛煉學(xué)生的推理能力等.

3.2 教學(xué)活動重視培養(yǎng)學(xué)生理性思維

數(shù)學(xué)在形成人的理性思維中發(fā)揮著重要的作用，數(shù)學(xué)解題的過程是鍛煉理性思維的過程.當(dāng)例1以較大的篇幅出現(xiàn)在考卷最后一題時，缺少理性思維能力的學(xué)生已經(jīng)產(chǎn)生巨大壓力，感覺這題難度很大，從而失去解題的信心與耐心.具有較強(qiáng)理性思維的學(xué)生可以很快提取題干中的有效信息，并且有理有據(jù)一步一步得到答案.所以說理性思維在學(xué)習(xí)與生活中都很重要，需要教師在教學(xué)過程中潛移默化的培養(yǎng).在教學(xué)過程中，教師除了可以指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理證明題的訓(xùn)練之外，還可以通過改編題目、設(shè)置題組、變式訓(xùn)練、設(shè)置開放型題目等方式，鍛煉學(xué)生的思維能力，要注意打破學(xué)生的慣性思維，鍛煉學(xué)生思維的靈活性和敏捷性.

4 ?總結(jié)

綜上所述，安徽省中考數(shù)學(xué)壓軸題改編來源于九年級數(shù)學(xué)教材，解法中滲透了重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和理性思維，啟示教師在教學(xué)時應(yīng)該把握好教材，在此基礎(chǔ)上重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和理性思維，使學(xué)生在獲得“四基”，發(fā)展“四能”的基礎(chǔ)上形成正確的情感、態(tài)度、價值觀.

參考文獻(xiàn)

[1] 劉清清.立足課本 滲透素養(yǎng)[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2022（02）：46-48.

[2] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.