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        形成核心素養(yǎng) 發(fā)展理性思維

        2022-05-30 12:01:38杜苗苗王文陳美芳
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2022年5期
        關(guān)鍵詞:理性思維函數(shù)核心素養(yǎng)

        杜苗苗 王文 陳美芳

        【摘 要】 ?本文對2022年安徽省中考壓軸題進(jìn)行探究,在解決已有問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式拓展,發(fā)掘此問題的數(shù)學(xué)價(jià)值,得到關(guān)于通過函數(shù)教學(xué)幫助學(xué)生形成核心素養(yǎng),發(fā)展理性思維的教學(xué)啟示.

        【關(guān)鍵詞】 ?核心素養(yǎng);理性思維;函數(shù)

        安徽省中考數(shù)學(xué)壓軸題歷年以來都是圖形與幾何領(lǐng)域中關(guān)于三角形的問題,2022年是首次出現(xiàn)以函數(shù)的常規(guī)計(jì)算為載體的壓軸題.本題題目偏長,內(nèi)容豐富,重在考察學(xué)生的抽象能力、推理能力、模型觀念、幾何直觀和運(yùn)算能力.題目看似錯(cuò)綜復(fù)雜,實(shí)際有跡可循,解題的本質(zhì)是通過“函數(shù)”研究變量之間的關(guān)系,體現(xiàn)了對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與理性思維的考察.

        1 ?試題呈現(xiàn)

        例1 ?如圖1,隧道截面由拋物線的一部分 AED和矩形ABCD構(gòu)成,矩形的一邊BC為12米,另一邊AB為2米.以BC所在的直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,規(guī)定一個(gè)單位長度代表1米.E(0,8)是拋物線的頂點(diǎn).(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;(2)在隧道截面內(nèi)(含邊界)修建“ ”型或“ ”型柵欄,如圖2、圖3中粗線段所示,點(diǎn)P 1,P 4在x軸上,MN與矩形P 1P 2P 3P 4的一邊平行且相等.柵欄總長l為圖中粗線段P 1P 2,P 2P 3,P 3P 4,MN長度之和,請解決以下問題:

        (?。┬藿ㄒ粋€(gè)“ ”型柵欄,如圖2,點(diǎn)P 2,P 3在拋物線AED上.設(shè)點(diǎn)P 1的橫坐標(biāo)為m(0

        (ⅱ)現(xiàn)修建一個(gè)總長為18的柵欄,有如圖3所示的“ ”型和“ ”型兩種設(shè)計(jì)方案,請你從中選擇一種,求出該方案下矩形P 1P 2P 3P 4面積的最大值及取最大值時(shí)點(diǎn)P 1的橫坐標(biāo)的取值范圍(P 1在P 4右側(cè)).

        2 ?試題解析

        本題將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,以函數(shù)的常規(guī)計(jì)算為載體,重點(diǎn)考察二次函數(shù)的變量關(guān)系,雖然從題目的表述來看,該題內(nèi)容蕪雜,令很多考生望而生畏,但從圖形來看,該題的圖形清晰明了,將題干信息進(jìn)行很好的提取表達(dá),一定程度上減輕了解題難度,也提示學(xué)生在解決函數(shù)問題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的合理應(yīng)用.可見命題專家的用心良苦.

        2.1 解題思路分析

        問題(1)考察學(xué)生通過分析問題的情景,結(jié)合函數(shù)圖形和點(diǎn)的坐標(biāo)確定二次函數(shù)表達(dá)式的能力,對考生來說是常規(guī)題,難度不大,大部分學(xué)生能夠通過圖形的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)得到答案.

        問題(2)考察了學(xué)生的模型觀念、幾何直觀和運(yùn)算能力.其中,(?。﹩柨疾鞂W(xué)生通過分析,建立l與m兩個(gè)變量之間變化的依賴關(guān)系的能力.因?yàn)辄c(diǎn)P 2,P 3在拋物線AED上,點(diǎn)P 1的橫坐標(biāo)為m,結(jié)合圖形與函數(shù)表達(dá)式可知P 2的坐標(biāo)為(m,- 1 6 m2+8),即得到m表示的各線段長度,與總長l建立等量關(guān)系,得到一個(gè)m與l的二次函數(shù),將其轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式,得到最大值,此時(shí)要注意自變量的取值范圍,則該題得解.

        問題(2)的(ⅱ)問,已知柵欄總長l等于18米為圖中粗線段P 1P 2,P 2P 3,P 3P 4,MN長度之和,矩形P 1P 2P 3P 4的面積為P 1P 2,P 2P 3之積,故可以設(shè)出矩形一邊長度,得到一邊長度與矩形面積的二次函數(shù),進(jìn)而求解.題目要求在兩種方案中任選一種,如果選擇方案一,設(shè) P 1P 2 =x,則 P 2P 3 =18-3x,S= P 1P 2 · P 2P 3 =x(18-3x)=-3x2+18x,求最大值,故化為頂點(diǎn)式S=-3(x-3)2+27,又由題可得當(dāng)x=3時(shí)面積取最大值27,且滿足自變量的取值范圍.此時(shí)矩形的形狀大小已定,再求此時(shí)點(diǎn)P 1的橫坐標(biāo)的取值范圍,結(jié)合圖象,當(dāng)矩形的P 2,P 3點(diǎn)分別落在拋物線上時(shí),P 1的橫坐標(biāo)取得最大值和最小值,P 1的橫坐標(biāo)取值范圍在此區(qū)間內(nèi).此時(shí)P 2,P 3的縱坐標(biāo)確定為3,故可以求出當(dāng)它們分別落在拋物線上時(shí),橫坐標(biāo)分別為± 30 ,當(dāng)P 2落在拋物線上,P 1的橫坐標(biāo)取得最大值 30 ,當(dāng)P 3落在拋物線上時(shí),P 1的橫坐標(biāo)取得最小值,P 1P 4的長度為9,故此時(shí)P 1的橫坐標(biāo)為- 30 +9.所以最大值時(shí)點(diǎn)P 1的橫坐標(biāo)的取值范圍為[- 30 +9, 30 ],本題可解.方案二同理可解.

        2.2 變式拓展

        例2 ?工人已經(jīng)在例1所在的隧道內(nèi)修建了三角形柵欄,如圖4所示線段BE和CE,現(xiàn)仍計(jì)劃修建一個(gè)總長為18的柵欄,仍有如圖4所示的“ ”型和“ ”型兩種設(shè)計(jì)方案,矩形P 1P 2P 3P 4的長寬均為整數(shù),請你從中選擇一種,求出該方案下矩形P 1P 2P 3P 4面積的最大值及取最大值時(shí)點(diǎn)P 1的橫坐標(biāo)的取值范圍(P 1在P 4右側(cè)).

        設(shè)計(jì)意圖 ?本題將一次函數(shù)的知識融入題目,學(xué)生會求其表達(dá)式,并且考察了學(xué)生在求二次函數(shù)最大值時(shí)是否充分考慮自變量的取值范圍,進(jìn)而幫助學(xué)生形成核心素養(yǎng),發(fā)展理性思維.

        解 ?(以方案一為例)

        設(shè) P 2P 3 =x,則 P 1P 2 = 18-x 3 ,S= P 1P 2 · P 2P 3 =x· 18-x 3 =- 1 3 x2+6x,化為頂點(diǎn)式S=- 1 3 (x-9)2+27,當(dāng) P 2P 3 =9, P 1P 2 =3時(shí),由例1可知B(-6,0),C(6,0),E(0,8),故BE,CE所在直線的函數(shù)表達(dá)式分別為y 1= 4 3 x 1+8,y 2=- 4 3 x 2+8.當(dāng)y 1=y 2=3時(shí),x 1=- 15 4 ,x 2= 15 4 ,此時(shí) x 1 + x 2 = 15 2 < P 2P 3 =9,故舍去.由圖象知 BC =12,且需要滿足矩形P 1P 2P 3P 4的長寬均為整數(shù),故當(dāng) P 2P 3 =6, P 1P 2 =4時(shí),y 1=y 2=4,x 1=-3,x 2=3, x 1 + x 2 =6= P 2P 3 滿足條件,此時(shí)S=24.當(dāng) P 2P 3 =3, P 1P 2 =5時(shí),y 1=y 2=5,x 1=- 9 4 ,x 2= 9 4 , x 1 + x 2 = 9 2 > P 2P 3 =3,滿足條件,此時(shí)S=15<24,故舍去.當(dāng) P 2P 3 =12, P 1P 2 =2時(shí), BC =12,此時(shí)點(diǎn)P 4,P 1分別與點(diǎn)B,C重合,不滿足題意,故舍去.綜上所述,方案一下矩形P 1P 2P 3P 4面積的最大值為24,取最大值時(shí)點(diǎn)P 1 的橫坐標(biāo)為3.

        3 ?教學(xué)啟示

        初中學(xué)業(yè)水平考試是國家重要考試之一,中考的試卷分析對改進(jìn)教師教學(xué)和指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)都有著很重要的作用.通過試題可以尋找命題素材的來源,比如本文所展示的2022年安徽中考數(shù)學(xué)壓軸題來源于滬科版九年級數(shù)學(xué)教材第二十一章第四節(jié)二次函數(shù)的應(yīng)用練習(xí)題——關(guān)于二次函數(shù)隧道問題.所以教師在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)該緊扣課本,打好基礎(chǔ),再在此基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展與發(fā)散,不能忽視教材的重要性[1].同樣通過分析試題也能得到一些啟示.

        3.1 教學(xué)過程立足學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展

        例1考察的是二次函數(shù)的知識點(diǎn),也重點(diǎn)考察了學(xué)生的抽象能力、推理能力、模型觀念、幾何直觀和運(yùn)算能力,這些能力是初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在教學(xué)過程中逐步形成和發(fā)展的,其中模型觀念的形成更離不開函數(shù)章節(jié)的教學(xué)過程.2022年最新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出,應(yīng)使學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),形成和發(fā)展面向未來社會和個(gè)人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)[2].因此在教學(xué)過程中不應(yīng)該只關(guān)注學(xué)生對知識的掌握,更應(yīng)該立足于學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.例如在函數(shù)教學(xué)過程中,求函數(shù)表達(dá)式注意鍛煉學(xué)生的運(yùn)算能力,函數(shù)圖象與解析式相結(jié)合注意鍛煉學(xué)生的幾何直觀,將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題注意鍛煉學(xué)生的抽象能力與模型觀念,整個(gè)函數(shù)的解題過程中注意鍛煉學(xué)生的推理能力等.

        3.2 教學(xué)活動(dòng)重視培養(yǎng)學(xué)生理性思維

        數(shù)學(xué)在形成人的理性思維中發(fā)揮著重要的作用,數(shù)學(xué)解題的過程是鍛煉理性思維的過程.當(dāng)例1以較大的篇幅出現(xiàn)在考卷最后一題時(shí),缺少理性思維能力的學(xué)生已經(jīng)產(chǎn)生巨大壓力,感覺這題難度很大,從而失去解題的信心與耐心.具有較強(qiáng)理性思維的學(xué)生可以很快提取題干中的有效信息,并且有理有據(jù)一步一步得到答案.所以說理性思維在學(xué)習(xí)與生活中都很重要,需要教師在教學(xué)過程中潛移默化的培養(yǎng).在教學(xué)過程中,教師除了可以指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理證明題的訓(xùn)練之外,還可以通過改編題目、設(shè)置題組、變式訓(xùn)練、設(shè)置開放型題目等方式,鍛煉學(xué)生的思維能力,要注意打破學(xué)生的慣性思維,鍛煉學(xué)生思維的靈活性和敏捷性.

        4 ?總結(jié)

        綜上所述,安徽省中考數(shù)學(xué)壓軸題改編來源于九年級數(shù)學(xué)教材,解法中滲透了重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和理性思維,啟示教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)該把握好教材,在此基礎(chǔ)上重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和理性思維,使學(xué)生在獲得“四基”,發(fā)展“四能”的基礎(chǔ)上形成正確的情感、態(tài)度、價(jià)值觀.

        參考文獻(xiàn)

        [1] 劉清清.立足課本 滲透素養(yǎng)[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2022(02):46-48.

        [2] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2022.

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