孟春云

[摘? 要] 數(shù)學(xué)思想在解題教學(xué)中有著重要的應(yīng)用價值，文章以“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用為例，借助轉(zhuǎn)化思想將問題向直觀化、簡單化、共性化、一般化轉(zhuǎn)變，使解題思路更加清晰明了，數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用更加融會貫通，收獲事半功倍的效果.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)思想;轉(zhuǎn)化;融會貫通

高考數(shù)學(xué)題目靈活多變，盲目地通過“刷題”進行強化訓(xùn)練不僅會消耗寶貴的時間，而且收獲甚微，因此使很多學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)喪失了信心. 可見，“題海戰(zhàn)術(shù)”并不是真正提升解題能力的方法. 那么，如何提高學(xué)生的解題能力呢？筆者認(rèn)為，要提高學(xué)生的解題能力除了掌握“雙基”外，還要重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下解題往往可以達(dá)到事半功倍的效果. 筆者借助轉(zhuǎn)化思想淺談數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用價值，以期引起共鳴，進而重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透.

[?]數(shù)形轉(zhuǎn)化

高中數(shù)學(xué)很多題目是較為抽象和復(fù)雜的，單純地利用公式和定理求解有時可能難以找到解決問題的突破口，然借助圖形可以將問題向直觀化和簡單化轉(zhuǎn)化，從而合理地找到解決問題的切入點，順利求解.

例1 已知關(guān)于x的方程=x+m有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍.

分析：本題乍看上去較簡單，大多數(shù)學(xué)生第一反應(yīng)就是將m寫成關(guān)于x的方程，即m=-x，轉(zhuǎn)化后學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能應(yīng)用已知條件“有兩個不同實數(shù)根”直接求解. 第一個思路行不通，學(xué)生又想將方程=x+m的左右兩邊同時平方去除左邊的根號，然轉(zhuǎn)化后右邊出現(xiàn)了一個一次項2mx和一個二次項m2，這樣求解也不是很輕松. 在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生嘗試?yán)脠D像法，即數(shù)形結(jié)合法進行求解. 將方程的左右兩邊看成兩個函數(shù)，即左邊為y=，右邊為y=x+m，這樣函數(shù)y=與函數(shù)y=x+m的圖像的交點的橫坐標(biāo)就是方程的實數(shù)根. 直線y=x+m的圖像會隨著m的變化而變化，隨著m的增大，其與曲線y=從“有1個交點”到“有2個交點”，隨后又由“2個交點”到“1個交點”再到“沒有交點”，這樣只要找到m的兩個臨界值，問題就迎刃而解了.

評注：雖然解決同一個問題會有多種方法，然從直觀性來看，數(shù)形轉(zhuǎn)化的優(yōu)勢更加明顯. 顯然，本題經(jīng)過數(shù)形轉(zhuǎn)化后，通過觀察圖像順利地找到了解題的切入點，解題思路更加清晰了，解題效率也就大大提升了.

[?]正反轉(zhuǎn)化

眾所周知，凡事一般都會有正反兩面性，數(shù)學(xué)題目有時亦是如此，若從正面直接求解可能需要經(jīng)歷復(fù)雜的運算，也可能需要復(fù)雜的分類，這樣會給正確求解帶來一定的風(fēng)險. 因此，當(dāng)直接從問題正面出發(fā)難以求解時不妨換個角度，即從反面出發(fā)，這樣往往會收到意外的效果.

例2 已知在[-1，1]范圍內(nèi)，至少存在一點a，可以使函數(shù)f（x）=6x2-3（m-2）x-2m2-m+1的f（a）為正，求m的取值范圍.

分析：本題若直接利用已知條件求解很容易聯(lián)想到數(shù)形結(jié)合，然數(shù)形轉(zhuǎn)化后尋找f（a）>0時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)需要對m進行分類討論，由于函數(shù)復(fù)雜，很多學(xué)生越分越亂，出現(xiàn)了很多錯解. 既然從正面出發(fā)求解困難，不妨換個思路：尋找在[-1，1]范圍內(nèi)沒有滿足f（a）>0的一點a，也就是說在區(qū)間[-1，1]內(nèi)，f（a）≤0恒成立. 由已知，二次函數(shù)y=f（x）的開口向上，在區(qū)間[-1，1]內(nèi)，函數(shù)圖像可能會出現(xiàn)三種情況：①先減后增;②單調(diào)遞增;③單調(diào)遞減. 因此，只要保證兩個邊界f（-1）和f（1）都不大于零，那么在區(qū)間[-1，1]內(nèi)函數(shù)值一定都不大于零. 這樣通過反向思考就可以順利求出m的取值范圍了.

評注：數(shù)學(xué)解題方法是靈活多變的，在解題時不要拘泥于一種，當(dāng)思維受阻時不妨換個角度，“反其道而行之”有時會收到意外的效果.

在日常教學(xué)實踐中可以看出，學(xué)生的正反轉(zhuǎn)化意識淡薄，大多數(shù)學(xué)生解題時都是從正面直接求解，這從側(cè)面反映出學(xué)生的思維缺乏一定的靈活性. 因此，在日常教學(xué)中教師要善于引導(dǎo)，通過正反對比讓學(xué)生感悟正反轉(zhuǎn)化在解題中的應(yīng)用價值以促進思維全面發(fā)展.

[?]特殊向一般轉(zhuǎn)化

高中數(shù)學(xué)題目雖然千變?nèi)f化，但是其中往往蘊含著一般規(guī)律，只有找到這一般規(guī)律，才能抓住問題的本質(zhì)，進而使解題方法可以融會貫通. 因此，教學(xué)中可以通過對特殊問題進行擴展使其轉(zhuǎn)化為一般問題，這樣可以快速形成解題思路，有利于解題效率提升. 當(dāng)然，有時解決一般問題也可以通過添加一些條件，如特殊值、特殊點、特殊圖形等，將一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題. 該方法在選擇題、填空題中較為常用，借助“特殊”提高解題速度. 顯然，“特殊”與“一般”之間存在著“共性”，解題時從“共性”出發(fā)更容易找到解題的突破口，進而提高解題效率.

例3 已知函數(shù)f（x）=，那么f（-2017）+f（-2016）+…+f（0）+…+f（2017）+f（2018）=________.

分析：顯然本題不可能通過代入求值的方法求解，因此求解時必須找到求值規(guī)律，問題才能獲解. 本題求解的方向主要就是分析結(jié)論，首先從f（-2017）到f（2018）可以發(fā)現(xiàn)求和項共有4036項，正好是偶數(shù)項，由此容易聯(lián)想到通過兩兩相加尋找解題的突破口，于是可以從中間兩項進行分析：f（0）+f（1）=+=. 接下來繼續(xù)驗證f（-1）+f（2），其結(jié)果也是. 于是可以大膽推斷對應(yīng)項兩兩相加的結(jié)果都是，這樣一共有2018項，于是本題的答案為1009. 當(dāng)然，因為本題是填空題，所以可以直接通過特殊值進行求解;若本題為一道分析題，則需要進行一般性的驗證，即驗證f（x）+f（1-x）=. 這樣就是從特殊到一般的聯(lián)想，通過聯(lián)想尋找共性，解決問題自然就水到渠成了.

評注：從本題的題設(shè)條件可以看出內(nèi)容較復(fù)雜，因此求解時需要進行轉(zhuǎn)化，借助已有經(jīng)驗容易聯(lián)想到通過兩兩相加進行求解，這樣先通過特殊值進行合情驗證，待找到規(guī)律后利用“共性”將其轉(zhuǎn)化為一般問題，通過特殊與一般的轉(zhuǎn)化，使復(fù)雜問題變得簡潔清晰，問題就迎刃而解了.

解題時不要盲目地追求解題技巧，解題技巧在解決一些特殊問題時確實能有一定應(yīng)用價值，但要知道，高考數(shù)學(xué)考查的是“雙基”及通性通法的應(yīng)用，考查的是學(xué)生的邏輯分析能力，因此解題時不要好高騖遠(yuǎn)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷假設(shè)、聯(lián)想、推理、驗證等過程，促進學(xué)生提升分析能力.

[?]主次元轉(zhuǎn)化

多元問題是歷屆學(xué)生公認(rèn)的難題，因為字母多又相互影響，學(xué)生求解時常感覺無從下手. 在面對多元問題時不要急于求解，應(yīng)多觀察，當(dāng)從主元入手求解較復(fù)雜時，可以嘗試變更主元，轉(zhuǎn)化思路，有時會收獲意外的驚喜.

例4 若不等式ax2-2x+1-a<0對滿足-2≤a≤2的所有實數(shù)a均成立，求x的取值范圍.

分析：本題求x的取值范圍其實質(zhì)就是解關(guān)于x的不等式，然該不等式中還有參數(shù)a，因此求解時需要對參數(shù)a進行分類討論，過程復(fù)雜. 對不等式ax2-2x+1-a<0進行分析，容易發(fā)現(xiàn)參數(shù)a的次數(shù)是1，因此不妨變更主元，將“主元為x、參數(shù)為a的不等式”轉(zhuǎn)化為“主元為a、參數(shù)為x的不等式”. 變更主元后，原不等式轉(zhuǎn)化為（x2-1）a+1-2x<0. 令f（a）=（x2-1）a+1-2x，原問題轉(zhuǎn)化為“f（a）<0對a∈[-2，2]恒成立”，再結(jié)合一次函數(shù)的圖像，問題便迎刃而解了.

評注：本題求解時通過變更主元有效地規(guī)避了復(fù)雜的分類討論，雖然分類討論可以實現(xiàn)化繁為簡，然其求解過程一般都較為復(fù)雜，同時分類不當(dāng)或煩瑣計算都會為解題帶來更多的不確定因素. 因此，解決此類問題時常借助主次元轉(zhuǎn)化來規(guī)避風(fēng)險. 顯然，本題通過主次元轉(zhuǎn)化獲得了意想不到的結(jié)果.

[?]建模轉(zhuǎn)化

所謂數(shù)學(xué)建?？珊唵蔚乩斫鉃閷嶋H問題抽象為數(shù)學(xué)問題，進而可以應(yīng)用數(shù)學(xué)知識來解決現(xiàn)實問題，彰顯數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值. 在高考數(shù)學(xué)中也常出現(xiàn)一些實際問題，解決此類問題時需要學(xué)生進行信息的抽象和提取，將問題轉(zhuǎn)化為常見的數(shù)學(xué)模型，運用模型思路求解. 當(dāng)然，若有些問題過于抽象，也可以聯(lián)系生活實際，借助實際問題與數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)化，完成抽象與具體的轉(zhuǎn)化.

例5 （1）現(xiàn)將6人排成一排，要求小明和小剛不能挨著，你有多少種排法？

（2）若排好的隊伍中新增3人，又有多少種排法呢？

分析：本題顯然就是排列中的“相離問題”，解決此類問題一般常用“插空法”. 對于問題（1），先不考慮小明和小剛，另外4人共有A種排法，這樣4人首尾和中間共有5個空位，將小明和小剛插進空位共有A種排法，所以共有A·A=480種排法. 對于問題（2），當(dāng)新增第1人時，有7個空位，有A種排法;當(dāng)新增第2人時，有8個空位，有A種排法;同理，當(dāng)新增第3人時，有A種排法. 因此，共有AAA=504種排法.

評注：排列組合問題與生活的聯(lián)系最為密切，解決此類問題時往往需要借助數(shù)學(xué)模型來求解. 仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，很多題目雖然看起來不相同，然解題思路卻完全相同. 因此，只有準(zhǔn)確、熟練地掌握好各個數(shù)學(xué)模型，在應(yīng)用時才會顯得毫不費力，進而達(dá)到融會貫通的目的.

總之，轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中有著重要的應(yīng)用價值，日常教學(xué)中應(yīng)重視引導(dǎo)和強化，進而通過轉(zhuǎn)化提升解題能力.