朱明明

[摘? 要] 基于研學(xué)課堂的章節(jié)單元復(fù)習(xí)課通過圍繞挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)主題，系統(tǒng)整合單元知識(shí)內(nèi)容與思想方法，并對(duì)章節(jié)知識(shí)的拓展運(yùn)用引發(fā)學(xué)生深度思考. 關(guān)注學(xué)生在單元復(fù)習(xí)研學(xué)中的“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”能力的培養(yǎng)，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的根本性轉(zhuǎn)變，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 章節(jié)復(fù)習(xí);知識(shí)架構(gòu);深度學(xué)習(xí);研學(xué)課堂

隨著新課標(biāo)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育要求的進(jìn)一步提升，作為知識(shí)系統(tǒng)架構(gòu)和學(xué)生思維能力培養(yǎng)的章節(jié)單元復(fù)習(xí)課教學(xué)越來越受教師的重視. 章節(jié)單元復(fù)習(xí)課不能停留在學(xué)生熟化解題套路、強(qiáng)化解題規(guī)范和技巧的過程，而應(yīng)成為教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，通過系統(tǒng)整合單元知識(shí)內(nèi)容與思想方法，并對(duì)章節(jié)知識(shí)的拓展運(yùn)用引發(fā)學(xué)生深度思考的學(xué)習(xí)過程. 在此過程中，教師應(yīng)更關(guān)注學(xué)生在單元復(fù)習(xí)中的“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”能力的培養(yǎng)，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的根本性轉(zhuǎn)變. 筆者執(zhí)教新蘇教版（2019年）數(shù)學(xué)必修1第四章“指數(shù)與對(duì)數(shù)”單元復(fù)習(xí)課時(shí)采用了整體立意的主題單元教學(xué)思路，以“問題鏈”的方式引導(dǎo)學(xué)生整體把握章節(jié)核心內(nèi)容與思想方法，極大地促進(jìn)了學(xué)生深度學(xué)習(xí).

[?]設(shè)計(jì)思路

編寫“指數(shù)與對(duì)數(shù)”這一章內(nèi)容，教材編者從初中學(xué)過的整數(shù)指數(shù)冪出發(fā)，逐步滲入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式、指數(shù)冪的運(yùn)算、對(duì)數(shù)概念及相關(guān)運(yùn)算，意在讓學(xué)生熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)及其相關(guān)概念與運(yùn)算的基礎(chǔ)上，厘清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 因此，筆者將指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化確立為教學(xué)核心，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)意義的理解，使他們體會(huì)對(duì)數(shù)對(duì)運(yùn)算的簡(jiǎn)化作用;理解指數(shù)與對(duì)數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會(huì)揭示問題的本質(zhì);滲透“整體思想”“化歸與轉(zhuǎn)化思想”. 將本章知識(shí)體系架構(gòu)確立為本節(jié)課的重點(diǎn)，指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化確立為本節(jié)課的難點(diǎn).

[?]教學(xué)過程預(yù)設(shè)

導(dǎo)語(yǔ)：我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過這樣一句話，“讀書的真功夫在于既能把薄的書讀成厚的，又能把厚的書讀成薄的”（投影展示）. 這要求我們既能把主干知識(shí)豐富起來，又能從中抓住核心內(nèi)容.

設(shè)計(jì)意圖：通過華羅庚的名言讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)是一個(gè)“薄—厚—薄”的過程，明確本節(jié)課的主要任務(wù).

1. 聚焦核心

問題1：前面我們已經(jīng)完成了“指數(shù)與對(duì)數(shù)”這一章的學(xué)習(xí). 你認(rèn)為本章的核心內(nèi)容是什么？

設(shè)計(jì)意圖：指出本章的核心內(nèi)容——指對(duì)互化（投影圖1），也就是對(duì)數(shù)定義的本質(zhì). 明確“ab=N”與“l(fā)ogaN=b”本質(zhì)的一致性，為接下來研究確立中心與脈絡(luò).

問題2：在本章的學(xué)習(xí)中，你最大的困惑是什么？

設(shè)計(jì)意圖：大多數(shù)學(xué)生的困惑是學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的意義何在，這個(gè)問題為接下來通過指對(duì)互化實(shí)現(xiàn)運(yùn)算簡(jiǎn)化做鋪墊.

2. 學(xué)以致用

問題3：我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)對(duì)數(shù)？它的價(jià)值何在？

（投影“對(duì)數(shù)可以縮短計(jì)算時(shí)間，在時(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了許多倍. ”——拉普拉斯語(yǔ)）

設(shè)計(jì)意圖：通過拉普拉斯的名言指出對(duì)數(shù)對(duì)運(yùn)算的簡(jiǎn)化作用，讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的必要性;同時(shí)滲透數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，激發(fā)學(xué)生研究的欲望.

下面通過實(shí)例說明對(duì)數(shù)的簡(jiǎn)化作用.

例1 圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080. 下列各數(shù)中與最接近的是（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）（? ）

A. 1033 B. 1053 C. 1073 D. 1093

設(shè)計(jì)意圖：通過具體例子培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，通過“巧取對(duì)數(shù)，妙解指數(shù)”問題讓學(xué)生感受指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化以及對(duì)數(shù)對(duì)運(yùn)算的簡(jiǎn)化作用.

問題4：通過例1，你怎樣理解“對(duì)數(shù)可以縮短計(jì)算時(shí)間”？

設(shè)計(jì)意圖：師生一起總結(jié)例1中通過取對(duì)數(shù)，把除法轉(zhuǎn)化成減法，乘方轉(zhuǎn)化成乘法，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算的“降級(jí)”，從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.

例1主要是通過指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解決的. 接下來，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比回顧對(duì)數(shù)與指數(shù)的相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)（讓學(xué)生寫出相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)并投影展示）.

設(shè)計(jì)意圖：回顧對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的由來，類比對(duì)數(shù)與指數(shù)相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)的外在形式，準(zhǔn)確記憶公式的形式、特征，從轉(zhuǎn)化的角度體會(huì)它們內(nèi)部的聯(lián)系. 從運(yùn)算性質(zhì)的角度體會(huì)對(duì)數(shù)對(duì)運(yùn)算的“降級(jí)”作用.

例2 已知下表中的對(duì)數(shù)值有且只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的對(duì)數(shù)值是（? ）

A. lg3 B. lg6 C. lg8 D. lg9

設(shè)計(jì)意圖：助力學(xué)生掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，提高學(xué)生數(shù)據(jù)分析、邏輯推理的能力.

引導(dǎo)學(xué)生再思考：若a=log23，b=log35，則log3045=______（用a，b表示）.

設(shè)計(jì)意圖：例2是利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解決的，過程中讓學(xué)生再次體會(huì)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)給同底對(duì)數(shù)的運(yùn)算帶來的方便. 變式將條件和結(jié)論改為不同底對(duì)數(shù)，讓學(xué)生體會(huì)換底公式的作用——化異為同.

3. “倒敘”回顧

問題5：我們?cè)俅位氐奖菊碌暮诵摹笇?duì)互化. 由于互化的過程中保證了兩個(gè)式子的一致性，從而各字母的取值范圍不變. 以“b”為例，它的取值范圍為R，請(qǐng)大家回顧，在指數(shù)冪進(jìn)行拓展前，冪指數(shù)的取值范圍是什么？

設(shè)計(jì)意圖：始終緊緊圍繞“指對(duì)互化”這一核心內(nèi)容，采取“倒敘”的形式，讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)通過“回頭看”而產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí).

告知學(xué)生指數(shù)冪的拓展歷程，也為后續(xù)研究函數(shù)奠定基礎(chǔ).

問題6：在冪指數(shù)從整數(shù)集拓展到有理數(shù)集的過程中，加入了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，它是如何定義的？

設(shè)計(jì)意圖：回顧指數(shù)冪的拓展歷程，讓學(xué)生了解指數(shù)冪拓展的必要性.

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪定義的本質(zhì)也就是本章另一個(gè)重要的互化——根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化.

投影：一般地，若xn=a（n>1，n∈N*），則x叫做a的n次方根.

讓學(xué)生思考：（）n=？（a是使有意義的數(shù)）

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，強(qiáng)化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化. 此恒等式在新授課時(shí)歸納得到. 此處在回憶基本知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，從整體代換的角度重新審視根式其中的一個(gè)性質(zhì)——（）n=a，給學(xué)生提供認(rèn)識(shí)該性質(zhì)的另一新視角.

問題7：我們?cè)倩仡櫼呀?jīng)學(xué)習(xí)過的兩個(gè)對(duì)數(shù)恒等式，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)生學(xué)會(huì)類比，滲透整體思想.

在等價(jià)轉(zhuǎn)化ab=N① logaN=b②（a>0，a≠1，N>0，b∈R）中，將N=ab代入②式，得到logaab=b;同理，將b=logaN代入①式，得到alogaN=N. 我們發(fā)現(xiàn)，得到對(duì)數(shù)恒等式的方法與得到根式性質(zhì)的方法如出一轍. 所以，挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，不僅要從結(jié)果上展開研究，更要從方法上展開研究.

設(shè)計(jì)意圖：通過現(xiàn)有的知識(shí)儲(chǔ)備，挖掘研究方法的內(nèi)在聯(lián)系，架構(gòu)知識(shí)體系.

例3 已知2x=3，log=y，求x+2y的值.

思路1（指化對(duì)）：因?yàn)?x=3，所以x=log23，所以x+2y=log23+2log=log23+log=log28=3.

思路2（對(duì)化指）：因?yàn)閘og=y，所以4y=，即22y=，所以2x+2y=2x·22y=3×=8，所以x+2y=log28=3.

設(shè)計(jì)意圖：本題屬于“指對(duì)共存型”問題，可以將條件統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成指數(shù)或者統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成對(duì)數(shù)來解決，考查指對(duì)互化，旨在化解難點(diǎn)，并讓學(xué)生體會(huì)化歸思想和指對(duì)內(nèi)在聯(lián)系的應(yīng)用.

引導(dǎo)學(xué)生探究：已知a>0，b>0，loga=logb=log（a+b），試求的值.

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步強(qiáng)化指對(duì)互化，將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成指數(shù)式，利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解題.

5. 課堂小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成思維導(dǎo)圖.

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力，讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課有整體的認(rèn)識(shí)，思維得到升華.

[?]教學(xué)設(shè)計(jì)反思

作為章節(jié)的單元復(fù)習(xí)課，重在構(gòu)建知識(shí)體系，將新學(xué)知識(shí)納入學(xué)生已有的知識(shí)體系中，同時(shí)在此過程中掌握思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在具體設(shè)計(jì)時(shí)，本節(jié)課以需要化解的難點(diǎn)——指對(duì)互化為主要內(nèi)容載體，以“倒敘”的形式展開復(fù)習(xí). 從學(xué)生的困惑疑點(diǎn)出發(fā)，通過例1讓學(xué)生體會(huì)對(duì)數(shù)對(duì)運(yùn)算的簡(jiǎn)化作用和學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的必要性，滲透數(shù)學(xué)文化，同時(shí)鞏固對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用. 通過例2讓學(xué)生嘗試分析數(shù)據(jù)，通過變式訓(xùn)練（將條件和結(jié)論改為不同底對(duì)數(shù)問題）讓學(xué)生體會(huì)換底公式的作用——化異為同. 然后就是回歸核心點(diǎn)（知識(shí)架構(gòu)），從冪指數(shù)b的范圍開始回顧指數(shù)冪的拓展歷程，了解其拓展的必要性，在冪指數(shù)取值范圍從整數(shù)集向有理數(shù)集拓展的過程中加入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，這樣自然過渡到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化，章節(jié)的知識(shí)體系輪廓也就水到渠成了. 例3及變式訓(xùn)練讓學(xué)生充分體會(huì)“轉(zhuǎn)化與化歸”數(shù)學(xué)思想. 同時(shí)，為充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與度，激發(fā)學(xué)生深度思考，問題設(shè)計(jì)采用的是開放與半開放形式，引導(dǎo)學(xué)生積極探索思考，讓學(xué)生在潛移默化中掌握數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).