摘要：文章主要從把字母看作變量或把代數(shù)式看作函數(shù)、利用函數(shù)的性質(zhì)、根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)比較大小

和數(shù)形結(jié)合四個(gè)方面介紹了函數(shù)思想在比較大小問(wèn)題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合；同構(gòu)

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）28-0036-04

收稿日期：2022-07-05

作者簡(jiǎn)介：李文東（1981-），男，湖北省咸寧人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

函數(shù)思想是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決.利用函數(shù)思想解題指的是一種意識(shí)，一種解題時(shí)的思維習(xí)慣，具體說(shuō)就是用變量和函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)思考問(wèn)題.對(duì)于比較大小問(wèn)題，我們利用函數(shù)思想去思考，往往可以起到簡(jiǎn)化的作用.

1 把字母看作變量或把代數(shù)式看作函數(shù)

例1（糖水不等式）設(shè)a>b>0，m>0，證明：b+ma+m>ba.

證明設(shè)f（x）=b+xa+xx>0，則

f（x）=b-a+a+xa+x=1+b-aa+x.

由于a>b>0，故b-a<0.

因此函數(shù)f（x）在0，+上單調(diào)遞增.

故f（x）>f（0）.

即b+ma+m>ba.

例2設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c 滿足a>b>1，c>1，則下列不等式不成立的是（）.

A. ba

B. 1a

C. 1c

D. 1ab

解析令f（x）=a+bxb+axx>1，則

f（x）=a-b2a+bab+axb+ax=ba+a2-b2ab+ax.

由a>b>1知，函數(shù)f（x）在1，+上單調(diào)遞減.

故ba

即a+bcb+ac∈ba，1.

可見(jiàn)選項(xiàng)A，B正確，選項(xiàng)C，D的右邊正確，對(duì)于C選項(xiàng)左邊1c1顯然成立，對(duì)于D選項(xiàng)左邊，若不等式成立，則應(yīng)有1ab≤baa≤bba≤b3，可見(jiàn)其不一定成立.

本題答案為D.

點(diǎn)評(píng)例1雖然用不等式的性質(zhì)也很容易證明，但是利用函數(shù)的思想求解則是從另外一個(gè)角度看問(wèn)題，這在例2中其優(yōu)點(diǎn)就很明顯，例2若是用不等式的知識(shí)求解就比較困難.

2 利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小

例3設(shè)a，b，c>0，且a2+b2=c2，n∈N*，且n≥3，試判斷an+bn與cn的大小.

解析由a2+b2=c2，得ac2+bc2=1.

從而0

令f（n）=acn+bcn，顯然f（n）單調(diào)遞減.

從而f（n）

即an+bn

3 根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)比較大小

例4（多選題） 若a>b>0，則下列不等式中一定成立的有 （）.

A. a1+a>b1+bB.a-b>1b-1a

C.a+1b>b+1aD. aeb

解析設(shè)f（x）=x1+x=1-11+x，可見(jiàn)f（x）在0，+上單調(diào)遞增.

故f（a）>f（b）.

即a1+a>b1+b，可見(jiàn)A正確;

a-b>1b-1aa+1a>b+1b，令f（x）=x+1x ，由于f（x）在0，1上單調(diào)遞減，在1，+上單調(diào)遞增，可見(jiàn)B不一定正確；

a+1b>b+1aa-1a>b-1b，令f（x）=x-1x ，由于f（x）在0，+上單調(diào)遞增，可見(jiàn)C一定正確；

bea>aebeaa>ebb，令f（x）=exx，則f ′（x）=exx-1x2>0，解得x>1，則f（x）在0，1上單調(diào)遞減，在1，+上單調(diào)遞增，可見(jiàn)D不一定正確.

本題答案為AC.

點(diǎn)評(píng)本題構(gòu)造函數(shù)的方法稱(chēng)為同構(gòu)法，同構(gòu)法是目前高考比較熱門(mén)的比較大小的方法.數(shù)學(xué)中的同構(gòu)式是指除了變量不同，而結(jié)構(gòu)相同的兩個(gè)表達(dá)式.許多比較大小的問(wèn)題，通過(guò)等價(jià)變形，可以轉(zhuǎn)化為同構(gòu)式，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

例5（多選題）下列不等關(guān)系正確的有（）.

A.3e13

C.eln8<252D.elnπ>π

分析觀察四個(gè)選項(xiàng)：3e13213>132；eln8<252eln222<42ln2222πl(wèi)nππ>1elnππ>lnee.

解析設(shè)f（x）=lnxx，則f ′（x）=1-lnxx2，則

f（x）在0，e上單調(diào)遞增，在e，+上單調(diào)遞減.

故f（3）>f（e）.

即ln33>lnee.

即ln33>lnee=1e.

得3e

由f（π）>f（e），即lnππ>lnee.

即lnππ>lnee=1e.

得elnπ>π，故D正確；

由f（2）=f（4）

即13ln2<2ln13.

得213<13，故B錯(cuò)誤；

由f（22）

即eln22<22.

得eln8<42，故C正確.

故本題答案為ACD.

例6（2021年全國(guó)乙卷理科數(shù)學(xué)第12題）設(shè)a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04-1，則（）.

A.c

C.a

解析令x=0.01，則x∈（0，1）.

a=2ln（1+x），b=ln（1+2x），c=1+4x-1，

令b-c=ln（1+2x）-1+4x+1=f（x），

則f ′（x）=21+2x-421+4x

=2（1+4x-2x-1）（1+2x）1+4x

=21+4x-1+4x+4x2（1+2x）1+4x

<0.

故f（x）在0，1上單調(diào)遞減.

于是f（x）

令a-c=2ln（1+x）-1+4x+1=g（x），

則g′（x）=21+x-421+4x

=2（1+4x-x-1）（1+x）1+4x

=21+4x-1+2x+x2（1+x）1+4x

>2（1+4x-1+3x）（1+x）1+4x

>0.

故g（x）在0，1上單調(diào)遞增.

于是g（x）>g（0）=0.即a>c.

綜上，b

點(diǎn)評(píng)本題中a，b，c非常接近，又涉及到對(duì)數(shù)和根式的運(yùn)算，直接很難比較，三個(gè)數(shù)中的1.01，1.02，1.04非常接近，因此引入x=0.01構(gòu)造函數(shù)來(lái)比較大小，比較巧妙！

4 數(shù)形結(jié)合

例7（多選題）已知a>b>0，下列選項(xiàng)中正確的為（）.

A.若a-b=1，則a-b<1

B.若a2-b2=1，則a-b<1

C.若2a-2b=1，則a-b<1

D.若log2a-log2b=1，則a-b<1

解法1（特值法）取a=4，b=1可知A錯(cuò)誤；取a=4，b=2可知D錯(cuò)誤，故本題選BC.

解法2對(duì)于A選項(xiàng)，由a-b=1可知a>1.所以a-b=a+ba-b=a+b>1，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，由a2-b2=1可知a>1，故a-b=a2-b2a+b=1a+b<1，故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，由2a-2b=12a-b=1+2-b<2，得a-b<1，故C正確；

或設(shè)2a=x，2b=y，則

a=log2x，b=log2y，且x-y=1，

故a-b=log2x-log2y=log2xy=log2y+1y<1.

對(duì)于D選項(xiàng)，由log2a-log2b=1可知a=2b，故a-b=b不一定小于1，故D錯(cuò)誤；故本題選BC.

解法3令f（x）=x，則f（a）-f（b）=1，注意到f（1）-f（0）=1，而f ′（x）=12x，f ″（x）=-14x3<0，可見(jiàn)f（x）的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，故a-b>1；

令f（x）=x2，則f（a）-f（b）=1，注意到f（1）-f（0）=1，而f ′（x）=2x，f ″（x）=2>0，可見(jiàn)f（x）的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，故a-b<1；

令f（x）=2x，則f（a）-f（b）=1，注意到f（1）-f（0）=1，而f ′（x）=2xln2，f ″（x）=2xln22>0，可見(jiàn)f（x）的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，故a-b<1；

令f（x）=log2x，則f（a）-f（b）=1，注意到f（2）-f（1）=1，而f ′（x）=1xln2，f ″（x）=-1x2ln2<0，可見(jiàn)f（x）的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，故當(dāng)a>2時(shí)必有a-b>1.

解法4將四個(gè)選項(xiàng)的a看作自變量x，b看作因變量y，其函數(shù)關(guān)系記為y=f（x），在同一坐標(biāo)系作出函數(shù)y=f（x）和直線y=x-1的圖象，比如A選項(xiàng)：由a-b=1，得b=a-12.則f（x）=x-12.ABCD選項(xiàng)的圖象分別如圖1-4.

由圖象易知本題選BC.

點(diǎn)評(píng)本題四種解法，解法1僅僅是作為選擇題的解題策略，其對(duì)于BC的正確性并沒(méi)有真正證明；解法2的解法極大地依賴(lài)代數(shù)變形，不同的選項(xiàng)其變形方式不一樣；解法3和解法4則是從函數(shù)這個(gè)統(tǒng)一的角度去思考問(wèn)題，解法3借助函數(shù)增長(zhǎng)速度（二階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)），解法4從數(shù)形結(jié)合的角度思考.

例8已知實(shí)數(shù)a，b滿足關(guān)系式a2=b2-b+1，則下列結(jié)論正確的是（）.

A.若a<1，b<12，則a>b

B. 若a<1，b<12，則a

C.若a>1，b>12，則a>b

D. 若a>1，b>12，則a

解析由a2=b2-b+1，得a234-b-12234=1.

其表示中心在點(diǎn)0，12，實(shí)軸長(zhǎng)為3的等軸雙曲線，如圖5可知，當(dāng)a>1，b>12時(shí)，雙曲線位于第一象限的圖象在直線y=x的上方，即a

點(diǎn)評(píng)本題實(shí)數(shù)a，b滿足關(guān)系式a2=b2-b+1雖然不是函數(shù)關(guān)系式，但是借助函數(shù)的思想（變化的觀點(diǎn)）利用數(shù)形結(jié)合就很容易得到答案D，若是用不等式的知識(shí)則很難得出正確的答案.

參考文獻(xiàn)：

［1］閆偉. 例說(shuō)指數(shù)與對(duì)數(shù)比較大小問(wèn)題的求解策略[J].高中數(shù)理化，2020（Z2）：30-32.