李桃 沈玲丹

［摘? 要］ 文章以“兩角差的余弦公式”教學(xué)為例，嘗試從知識(shí)聯(lián)系性及方法統(tǒng)一性出發(fā)，從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的合理性、學(xué)生思維過程的合理性兩個(gè)角度構(gòu)建學(xué)習(xí)過程，以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑.

［關(guān)鍵詞］ 課堂探究；思維發(fā)展；余弦公式

著名的數(shù)學(xué)教育家斯托利亞指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，而不僅是數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果——數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué).”因此，教師應(yīng)注重在理解領(lǐng)會(huì)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上整合教材，遵循知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程及學(xué)生的認(rèn)知水平、思維規(guī)律，設(shè)計(jì)系列教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生參與學(xué)習(xí)過程，習(xí)得知識(shí)的同時(shí)發(fā)展數(shù)學(xué)思維. 基于以上認(rèn)識(shí)，筆者分析人教A版新教材（2019年版）“兩角差的余弦公式”教學(xué)內(nèi)容后進(jìn)行了教學(xué)重構(gòu)和實(shí)踐.

[?]教學(xué)內(nèi)容分析

由于和角、差角、倍角的三角函數(shù)之間存在著緊密的內(nèi)在聯(lián)系，人教A版新教材必修第一冊(cè)（后面簡稱“新教材”）“5.5 三角恒等變換”一節(jié)內(nèi)容的編排順序?yàn)镃→C→S→T→C，S，T［1］. 以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)其他和（差）角公式，以和角公式推導(dǎo)倍角公式，一系列三角恒等變換公式形成了命題系［2］. 另外，兩角和（差）公式是誘導(dǎo)公式的上位知識(shí). 因此，教學(xué)兩角差的余弦公式作為本節(jié)內(nèi)容的起始課，具有承上啟下的重要地位.

新教材為突出編寫的整體立意，力圖體現(xiàn)圓的對(duì)稱性與三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，選擇利用旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性證明兩角差的余弦公式. 這樣證明的好處是不需要利用圖形本身的直觀性質(zhì)，即證明過程不受圖形大小、位置變化的限制. 實(shí)則，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱僅作為閱讀材料，在人教版教材九年級(jí)上冊(cè)的“閱讀與思考”板塊出現(xiàn)過，學(xué)生并沒有積累運(yùn)用該性質(zhì)解決問題的經(jīng)驗(yàn). 顯然，新教材上“連接AP，AP”，以及“把扇形OAP繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)β角”，這兩步操作都不是學(xué)生自主思考容易獲得的. 如此探究公式，不僅不利于學(xué)生理解公式中角的任意性，還扼殺了學(xué)生的自主思維. 教師應(yīng)該從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，讓課堂探究“應(yīng)然而生”.

[?]教學(xué)重構(gòu)

1. 教學(xué)新設(shè)計(jì)

基于知識(shí)的上下位關(guān)系及方法統(tǒng)一性來設(shè)計(jì)本節(jié)課. 誘導(dǎo)公式與兩角和（差）公式是特殊與一般的關(guān)系，學(xué)習(xí)本節(jié)課屬于上位知識(shí)的學(xué)習(xí). 那么，一方面，教師可引導(dǎo)學(xué)生以誘導(dǎo)公式的探究經(jīng)驗(yàn)來探究兩角差的余弦公式. 借助終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)表示三角函數(shù)值，由“數(shù)”到“形”；學(xué)生自主探究圖形變化過程中的不變關(guān)系，將不變關(guān)系代數(shù)化，由“形”到“數(shù)”，得到公式. 進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng). 另一方面，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩角差的余弦公式在探究過程中發(fā)現(xiàn)的不變關(guān)系在誘導(dǎo)公式推導(dǎo)中也成立，進(jìn)一步讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及方法統(tǒng)一性.

2. 教學(xué)過程

（1）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

問題1：已知α為任意角，請(qǐng)化簡以下式子.

①cos（α-π）=__________；

②cos

α-

=__________.

③cos

α-

=__________；

④cos

α-

=___________.

學(xué)生利用誘導(dǎo)公式能夠化簡①②兩個(gè)式子，對(duì)于③④兩個(gè)式子有著多種不確定的猜測(cè). 教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)：①運(yùn)用誘導(dǎo)公式有特殊限制，有必要去探索任意兩角差公式. ②誘導(dǎo)公式是任意兩角差公式的一類特殊情況. 教師再提出本節(jié)課的中心問題：對(duì)于任意角α，β，cos（α-β）與α，β的三角函數(shù)值有什么聯(lián)系？

（2）重溫經(jīng)驗(yàn)，搭建探究支點(diǎn)

問題2：請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，我們是如何推導(dǎo)誘導(dǎo)公式的？

在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生理解：借助單位圓的對(duì)稱性，利用定義推導(dǎo)誘導(dǎo)公式（α-π的三角函數(shù)值），其含有三個(gè)步驟：第一步，作圖，以形助數(shù)，即將任意角α的終邊旋轉(zhuǎn)作出角α-π的終邊，用終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)表示角α，α-π的三角函數(shù)值；第二步，直觀分析圖中與兩角終邊相關(guān)的不變關(guān)系，并用信息技術(shù)手段進(jìn)行驗(yàn)證；第三步，將幾何性質(zhì)代數(shù)化，以數(shù)釋形，即利用點(diǎn)的對(duì)稱性建立等量關(guān)系.

通過重溫誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)步驟，類比得到探索兩角差余弦公式的可能思路.（教師作圖，并將步驟板書，便于學(xué)生進(jìn)行類比學(xué)習(xí)）

（3）任務(wù)驅(qū)動(dòng)，自主探究

任務(wù)1：記單位圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)A（1，0），請(qǐng)同學(xué)們以x軸非負(fù)半軸為始邊任意作角α，β（先考慮兩個(gè)角的終邊不重合的情形，即α≠β+2kπ，k∈Z），記它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為P，P，并作出相對(duì)應(yīng)的角α-β的終邊，記其終邊與單位圓的交點(diǎn)為P.

即使學(xué)生忽視了角β終邊的意義，也能夠正確作出角α-β的終邊. 教師要在此處指出內(nèi)在邏輯：β的終邊相同，卻表示無數(shù)個(gè)角，β=2kπ+β，k∈Z，β∈［0，2π）.由α-β=α-β-2kπ，k∈Z，知角α-β的終邊與角α-β的終邊相同，因此只需要將角α的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角β就可以得到角α-β的終邊.

任務(wù)2：結(jié)合圖2中的3個(gè)角（角α，β，α-β）的始邊、終邊，請(qǐng)同學(xué)們找一找有哪些不變的等量關(guān)系.

生1：根據(jù)剛才的旋轉(zhuǎn)過程，可以知道圓心角∠POP=∠POA.

生2：沿著生1的思路，還可以發(fā)現(xiàn)圓心角∠POP=∠POA.

生3：根據(jù)圓的性質(zhì)，圓心角相等就有對(duì)應(yīng)的弦長相等和弧長相等.

在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)：圓中的等量關(guān)系的核心要素是圓心角相等.

追問1：對(duì)于任意角α，β，以上的等量關(guān)系（等角）是否始終成立？

活動(dòng)1：學(xué)生在各自作圖中進(jìn)行驗(yàn)證.

活動(dòng)2：教師引導(dǎo)學(xué)生去驗(yàn)證當(dāng)β=π時(shí)的特殊情形是否也是成立的.

學(xué)生經(jīng)過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)β=π也是成立的，教師引導(dǎo)學(xué)生理解：由于π終邊的位置特殊，此時(shí)的等角關(guān)系也反映出了對(duì)稱性.誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)正是抓住了一般性中的特殊性來刻畫三角函數(shù)值的聯(lián)系.

活動(dòng)3：教師借助信息技術(shù)驗(yàn)證“改變?chǔ)粒碌慕K邊，等角關(guān)系依然成立”.

追問2：請(qǐng)同學(xué)們思考，如何利用等量關(guān)系建立三角函數(shù)值的聯(lián)系？

生4：將三角函數(shù)值聯(lián)系起來，關(guān)聯(lián)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，我們可以利用弦長相等或弧長相等建立聯(lián)系.

生5：生4說得有道理，但是弧長的計(jì)算還是與圓心角相關(guān)，所以應(yīng)該用弦長相等建立聯(lián)系.

生6：但是弦長不會(huì)求呀.

任務(wù)3：已知弦長的計(jì)算公式，請(qǐng)同學(xué)們將以上分析的兩組弦長的相等關(guān)系代數(shù)化.

學(xué)生展示運(yùn)算的兩種結(jié)果：

生7：根據(jù)PP=PA，由弦長計(jì)算公式整理得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

生8：根據(jù)PP=PA，由弦長計(jì)算公式整理得cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=cosβ.

由教師整理第二個(gè)等式，讓學(xué)生感受不同視角下的不變關(guān)系揭示出的是一致關(guān)系. 令α-β=γ，那么第二個(gè)等式等價(jià)于cos（α-γ）=cosαcosγ+sinαsinγ.

追問3：剛才，我們考慮的是兩個(gè)任意角的終邊不重合的情形，那么當(dāng)兩個(gè)任意角的終邊重合，即α=β+2kπ，k∈Z，請(qǐng)問等式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ依然成立嗎？

學(xué)生利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系式，能夠證明等式依然成立.

（4）公式鞏固

教師采用直觀化策略幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)公式：①強(qiáng)調(diào)α，β的任意性，例如將公式形象地書寫為cos（Δ-□）=cosΔcos□+sinΔsin□（Δ，□表示角的數(shù)或式）. ②對(duì)公式的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行分析.

（5）公式應(yīng)用

題1：利用公式C證明①cos

-α

=sinα；②cos（π-α）=-cosα .

題2：利用公式C求值或化簡①cos15°；②cos72°cos42°+sin72°sin42°；③cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ.

題3：已知sinα=，α∈

，π

，cosβ= -，β是第三象限角，求cos（α-β）的值.

題1直接應(yīng)用公式C，以證明的方式讓學(xué)生進(jìn)一步明晰誘導(dǎo)公式與公式C之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中形成命題系，有助于知識(shí)的貯存和提取. 題2和題3一方面是公式C的簡單應(yīng)用，使學(xué)生掌握公式C的結(jié)構(gòu)形式及功能；另一方面是訓(xùn)練學(xué)生有序的思維習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

（6）歸納小結(jié)

①反芻探究路徑及蘊(yùn)含的思想方法；

②深化對(duì)公式的認(rèn)識(shí).

（7）作業(yè)設(shè)計(jì)

教材課后練習(xí)第1題、第4題、第5題.

[?]教學(xué)思考

1. 整合教材，讓知識(shí)自然生成

教材僅是教學(xué)的資源，教師應(yīng)該立足新課標(biāo)和新課程理念，站在學(xué)科核心素養(yǎng)的角度，合理整合教材，從教學(xué)的實(shí)際出發(fā)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，優(yōu)化知識(shí)的生成過程，凸顯思維活動(dòng)的完整過程，使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的產(chǎn)生過程，由此不斷深化思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2. 問題引領(lǐng)思考，促進(jìn)學(xué)生思維提升

“學(xué)起于思，思源于疑”. 問題是課堂教學(xué)過程的靈魂，問題是數(shù)學(xué)的心臟. 有意義的教學(xué)活動(dòng)是把知識(shí)設(shè)計(jì)成針對(duì)學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)而提出的問題，讓思維從問題開始，思維活動(dòng)又形成新問題，這種遞進(jìn)式的問題能引領(lǐng)學(xué)生思考，讓學(xué)生在解決問題時(shí)領(lǐng)悟知識(shí)、發(fā)展能力、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

總之，教師實(shí)施課堂教學(xué)的精髓在于站在學(xué)生終身發(fā)展的角度去思考如何理解數(shù)學(xué)知識(shí)、理解學(xué)生，如何設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，如何幫助學(xué)生獲得知識(shí)與技能，如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，進(jìn)一步落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)育人價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

［1］? 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心. 普通高中教科書教師教學(xué)用書（數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)）［T］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］? 喻平. 數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2018.