朱祖煌

[摘 ?要] 為了提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)多讓學(xué)生經(jīng)歷一些過程，鼓勵學(xué)生去嘗試、去探究、去領(lǐng)悟，進(jìn)而通過分析、比較、概況等實(shí)踐活動得到正確的知識思想方法. 為了讓學(xué)生更好地去經(jīng)歷過程，教師應(yīng)適時適當(dāng)?shù)爻尸F(xiàn)一些數(shù)學(xué)家、教師或?qū)W生的思維過程，進(jìn)而有效地發(fā)展學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 學(xué)習(xí)能力;思維過程;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在唯分論的影響下，為了追求高分，部分教師會習(xí)慣性地將數(shù)學(xué)知識和解題方法通過“灌輸”的方式傳授給學(xué)生. 在教師的“灌輸”下，學(xué)生通過模仿確實(shí)可以解決大多數(shù)問題，學(xué)生的成績在“題海”模式下也會有所提高，然學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、自主探究、自主解決能力并不會得到實(shí)質(zhì)性提升. 教師要意識到，若想讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造，只有所學(xué)的東西是自己發(fā)現(xiàn)的或者自己創(chuàng)造的，才能形成更加深刻的印象，在解決實(shí)際問題時也才會得心應(yīng)手. 因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)多展示一些思維過程，讓學(xué)生在親身經(jīng)歷中有所感悟，有所收獲，那么教學(xué)中該如何展示思維過程呢？如何才能讓學(xué)生在教學(xué)中獲得有效的學(xué)習(xí)方法，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？筆者認(rèn)為，教學(xué)中教師可以通過展示數(shù)學(xué)家、教師或?qū)W生的思維過程來幫助學(xué)生習(xí)得方法，訓(xùn)練能力，進(jìn)而讓學(xué)生的思維能力和學(xué)習(xí)能力在“過程”中開花結(jié)果.

[?]展示數(shù)學(xué)家的思維過程，體驗(yàn)知識生成過程

眾所周知，人們對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識大多源于生活實(shí)踐，人們先是根據(jù)直觀感受獲得數(shù)學(xué)感知，再根據(jù)生活實(shí)踐不斷總結(jié)、歸納，從而提煉出數(shù)學(xué)命題，然后通過邏輯分析、邏輯推理加以證明，最終形成概念、公式、定理等. 其實(shí)數(shù)學(xué)知識的形成過程是豐富多彩的，然由于教材篇幅等因素影響，在教材中并未得到完整的體現(xiàn)，如果教學(xué)中還對這些知識的形成過程視而不見，只是按照教材的順序給出概念、公式、定理及其證明后就去應(yīng)用，這樣的學(xué)習(xí)只是簡單的“搬運(yùn)”，學(xué)生學(xué)到的只是一些抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論，無法體會知識的探索和發(fā)現(xiàn)，也無法理解數(shù)學(xué)家探索未知世界的思維，更無法領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識的真正價值，學(xué)生只會將數(shù)學(xué)視為一門必修課，高考必考科目，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是機(jī)械的、盲目的，不利于學(xué)生創(chuàng)新能力的提升. 因此，教學(xué)中教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生實(shí)際學(xué)情和認(rèn)知規(guī)律，適時適當(dāng)?shù)貏?chuàng)設(shè)一些問題情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一定的探究，讓學(xué)生可以順著數(shù)學(xué)家的思維去思考問題，領(lǐng)悟探索數(shù)學(xué)知識的思維方法，讓學(xué)生不僅能掌握結(jié)論，還能懂得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)創(chuàng)造的真正意義，以此通過“過程”培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

案例1 認(rèn)識“分類計(jì)算與分步計(jì)算”.

師：看看以下兩個問題，你會解嗎？（教師用PPT展示題目）

問題1：現(xiàn)有一個三層書架，第一層（最上面一層）放有6本不同的數(shù)學(xué)書，第二層放有5本不同的語文書，第三層放有3本不同的英語書. 從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

問題2：現(xiàn)有一個三層書架，第一層（最上面一層）放有6本不同的數(shù)學(xué)書，第二層放有5本不同的語文書，第三層放有3本不同的英語書. 如果三種書各取1本，有多少種不同的取法？

兩個問題并不難，在教師的帶領(lǐng)下順利地解決了問題，問題解決后教師又引導(dǎo)學(xué)生列舉一些與之類似的例子，待學(xué)生對問題有了更深層的理解后，教師又提出了新的問題：歸納一下，解決問題1和問題2的方式有哪些異同？

生1：我認(rèn)為相同的是都是取書問題，不同的是取書的數(shù)量不同. （生1的答案給出后，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為生1是答非所問）

生2：問題1只要在三類書中任取1本就可以，而問題2是在每類書中各取1本.

生3：正如生2所說，其實(shí)在問題1中，只要在三類書中任取1本，這個事件就結(jié)束了;而問題2必須是每類書都要取到1本. 解決問題1只要一步就可以完成，而解決問題2需要三步才能完成，每步都缺一不可.

生4：問題1是分類問題，問題2是分步問題.

……

師：同學(xué)們都說得非常好，現(xiàn)在我們從計(jì)算方法上思考一下，你是如何計(jì)算的？

生4：問題1是相加的，而問題2是相乘的.

師：在“相加”和“相乘”中你有何體會？

生5：如果所要解決的問題是分類進(jìn)行的，只要將每一類的方法種數(shù)相加即可;如果是分步解決的，需要將每一步的方法種數(shù)相乘.

師：通過對以上問題的討論容易發(fā)現(xiàn)，其實(shí)完成一件事有兩種方式，一種是分類，另一種是分步，這就是我們今天要重點(diǎn)學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

教學(xué)中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下通過合作交流發(fā)現(xiàn)了問題的核心，同時又用自己的語言總結(jié)歸納出了基本的解決方法，此時教師再給出兩個計(jì)數(shù)原理就變得順理成章了.

教學(xué)反思：從教學(xué)過程可以看出，教師采用的是先探究再引入的方式，即先讓學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)去體會兩種方式的不同，接下來通過問題引導(dǎo)和合作交流逐漸指向問題本質(zhì)，學(xué)生會經(jīng)歷分析、比較、概況等思維過程，在某種意義上來講，其與數(shù)學(xué)家的思維過程是一致的，只有讓學(xué)生去經(jīng)歷、去體驗(yàn)才能有效幫助學(xué)生深刻理解概念，形成正確的思維方法，激發(fā)學(xué)生無限的創(chuàng)造力.

[?]展示教師的思維過程，樹立正確的學(xué)習(xí)觀

教師作為課堂的引領(lǐng)者，其在課堂教學(xué)中的作用是不言而喻的. 在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生常常會模仿教師的思維去思考和解決問題，以此來豐富解題經(jīng)驗(yàn)、解題方法，逐漸形成自己的思維方式. 因此，教師的思維過程在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維中發(fā)揮著舉足輕重的作用，這就要求教師善于在教學(xué)中合理地展示自己的思維過程. 在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)中，不少教師意識到了過程性教學(xué)的重要性，不過教學(xué)中教師所展示的大多數(shù)是數(shù)學(xué)家的思維，是“成功”的思維. 其實(shí)，在教學(xué)過程中教師可以多展示一些自己的思維過程，多展示一些自己“失敗”的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生知道教師在解題時也會遇到困惑、挫折、失敗，這樣可以拉近師生的距離;同時要展示失敗后又是如何擺脫困境的，以此鼓勵學(xué)生敢于面對挫折，引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的學(xué)習(xí)觀，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力和解題能力，培養(yǎng)學(xué)生健康的心理.

案例2 已知數(shù)列是等差數(shù)列，且b=1，b+b+…+b=145.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè){a}的通項(xiàng)a=log

1+

①（其中a>0，且a≠1），記S是數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和，試比較S與logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.

對于問題（1），學(xué)生容易得到b=3n-2②.

對于問題（2），參考答案給的是“數(shù)學(xué)歸納法”的相關(guān)知識進(jìn)行證明的，但是教師發(fā)現(xiàn)了其他解題方案，于是呈現(xiàn)出了自己的解題過程：

由①②，得a=log

1+

=log

1+

③，設(shè)a′=log

1+

④，a″=log

1+

⑤，且{a′}與{a″}的前n項(xiàng)和分別為S′與S″.

當(dāng)a>1時，有a>a′>a″，于是S>S′>S″，知3S>S+S′+S″=（a+a′+a″）=

log+log+log

=log=log

···…·

=log（3n+1）=logabn+1，于是得S>logabn+1.

當(dāng)0

求解問題（2）時，教師也是做了不同的嘗試，經(jīng)歷了許多試探才得到了這個簡潔的方法，如果教學(xué)中教師不展示自己的思維過程，而以標(biāo)準(zhǔn)答案的方式直接將解題方法灌輸給學(xué)生，即使學(xué)生在教師的講解下可以理解解題過程，但對為什么這樣解題會感覺迷茫，很難促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，也很難轉(zhuǎn)化為學(xué)生個體的解題能力. 其實(shí)，對于③式的得出學(xué)生都能夠理解，但為什么得出③式后要設(shè)④式和⑤式呢？這步是整個解題過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，只有學(xué)生弄清楚了為什么要這樣假設(shè)，才能真正理解這一解法，因此教學(xué)中教師對于這一關(guān)鍵點(diǎn)的合理處理自然成了本題教學(xué)的重點(diǎn). 為了讓學(xué)生能夠理解，并在日后解題中會構(gòu)造，教師需要將自己深度思考的過程順應(yīng)學(xué)生的心理變化，轉(zhuǎn)化為學(xué)生明白的一個自然生成的過程. 如果在教學(xué)中教師只是將固定的模型強(qiáng)加給學(xué)生，必然會造成學(xué)生“只知其然而不知所以然”的局面. 雖然對于一些重要的模型教師會重點(diǎn)強(qiáng)化，然機(jī)械強(qiáng)化容易造成思維定式，解題時會出現(xiàn)生搬硬套的現(xiàn)象，這有悖于教學(xué)目標(biāo)，不適合學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展.

對于以上問題，在解題的關(guān)鍵點(diǎn)處，教師進(jìn)行了恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).

師：由于b=3n-2，因此要比較S與logabn+1的大小，也就是比較log

1+

⑦與logabn+1⑧的大小. 然⑦式與⑧式不同，一個是多項(xiàng)的和，另一個只有一個項(xiàng)，因此若要比大小，則必須進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 如果可以把⑦式進(jìn)行變換，使之轉(zhuǎn)化為⑧式的形式，問題是不是就可以解決了呢？思考一下，⑦式應(yīng)該如何變換呢？（學(xué)生沉思）

生6：⑦式中的底數(shù)a是不確定的，因此變換時需要進(jìn)行分類討論，應(yīng)該分為兩類，a>1或01，⑦式為增函數(shù)，接下來對⑦式進(jìn)行縮放，不過后面我也不清楚如何求解，只是一個初步的想法.

師：說得很好，雖然還沒有得到最終的答案，不過能夠聯(lián)想到“縮放”也是給了我們新的啟發(fā)，大家順著生6的思路探究一下，看看應(yīng)該如何進(jìn)行“縮放”呢.

生7：我嘗試把log

1+

進(jìn)行縮小，然演算了很多遍也不能把⑦式合理地轉(zhuǎn)化為⑧式.

師：其實(shí)很多學(xué)生與生7的思路是相同的，那么既然直接把其縮小不能實(shí)現(xiàn)，是否可以把log

1+

進(jìn)行拆分呢？（在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生又開始了新一輪的嘗試，最終在不懈的努力下成功地解決了問題）

這樣在教師一步步的引導(dǎo)下，學(xué)生經(jīng)過不斷嘗試，將左邊的多項(xiàng)的乘積成功地轉(zhuǎn)化為了一項(xiàng)，而這一項(xiàng)恰好就是b，這樣就將條件和結(jié)論進(jìn)行了有效串聯(lián)，受此啟發(fā)自然就有了設(shè)④式和⑤式的步驟，找到了解題的關(guān)鍵點(diǎn)，問題就迎刃而解了.

教學(xué)反思：在教學(xué)中，堅(jiān)持“以生為主”并不意味著讓學(xué)生自己去創(chuàng)造解題方法，要知道高中的課堂時間是寶貴的，如果都讓學(xué)生自己去創(chuàng)造解題方法勢必會浪費(fèi)很多的時間，而且限于學(xué)生的認(rèn)知水平和思維能力，讓學(xué)生獨(dú)立完成問題的解決也是不現(xiàn)實(shí)的，因此教學(xué)中教師必須發(fā)揮好引導(dǎo)的作用，要把自己的創(chuàng)造性思維過程通過一個自然的方式展示給學(xué)生，啟發(fā)學(xué)生一步步思考，從而讓學(xué)生獲得自己的解題方法. 當(dāng)然，教學(xué)中教師不能直接將方法灌輸給學(xué)生，必須找到一個合理的支撐點(diǎn)，讓學(xué)生在“跳一跳”中獲得解題信心，掌握解題方法.

[?]展示學(xué)生的思維過程，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長

課堂是師生互動交流的舞臺，在教學(xué)過程中，教師要多與學(xué)生進(jìn)行平等的對話和交流，要多了解學(xué)生的思維過程，這樣才能及時捕捉學(xué)生的閃光點(diǎn)和錯誤處，從而通過有效的交流和補(bǔ)充引導(dǎo)學(xué)生形成完善的認(rèn)知，因此教師既要做一個優(yōu)秀的講授者，也要成為一名合格的傾聽者，在教學(xué)中鼓勵學(xué)生去交流、去合作、去溝通，從而通過互動實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢互補(bǔ)，促進(jìn)共同進(jìn)步.

案例3 復(fù)習(xí)“函數(shù)的定義域和值域”.

問題：函數(shù)y=的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

教師先讓學(xué)生獨(dú)立解決問題，接下來讓學(xué)生板演解題過程.

生8：因?yàn)楹瘮?shù)y=的定義域?yàn)镽，即不等式mx2-6mx+m+8≥0恒成立，得m[（x-3）2-8]≥-8恒成立，則0≤m≤1.

師：你們的答案與生8相同嗎？（學(xué)生紛紛點(diǎn)頭）

師：看來大家對答案都沒有異議，不過生8的解題過程你們看懂了嗎？你們又是如何求解的呢？（接下來教師又請其他學(xué)生進(jìn)行板演）

生9：原函數(shù)的定義域?yàn)镽，即不等式mx2-6mx+m+8≥0恒成立，構(gòu)造函數(shù)y′=mx2-6mx+m+8，并使y′≥0.

（1）當(dāng)m=0時，y′≥0顯然成立;

（2）當(dāng)m<0時，y′≥0不成立;

（3）當(dāng)m>0時，若Δ=36m2-4（m+8）≤0，則y′≥0恒成立，所以0

綜上可得，0≤m≤1.

師：很好，生9進(jìn)行了完整正確的解答，這個是我們常用的解法，那么生8的解法是否正確呢？讓我們一探究竟.

教學(xué)反思：從最終結(jié)果來看，生8的答案也是對的，然其解題過程是難以被理解的，答案的得出是不是偶然呢？在解題過程中，教師對生8的解法并沒有過多評價，而是先展示了常規(guī)的解法，從而通過對比引發(fā)學(xué)生深度思考. 經(jīng)過深度探究可以發(fā)現(xiàn)，生8得到答案的過程就是將m[（x-3）2-8]≥-8的兩邊同時除以（x-3）2-8，其本質(zhì)也是構(gòu)造函數(shù)，只不過生9構(gòu)造的是y′=mx2-6mx+m+8，而生8構(gòu)造的是y″=，雖然一個是動態(tài)函數(shù)，一個是定函數(shù)，但是其思想方法是一致的. 另外，生8的解答過程存在著嚴(yán)重的“跳步”現(xiàn)象，應(yīng)引導(dǎo)生8完善解題過程、規(guī)范解題過程. 在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生其實(shí)有很多“突發(fā)奇想”，而當(dāng)教師面對學(xué)生的這些“突發(fā)奇想”時，不要急于肯定或否定，而是給學(xué)生一個平等交流和討論的平臺，讓學(xué)生去討論和驗(yàn)證，以此提高學(xué)生探究的積極性，豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，相信教師在此過程中也定能有所收獲，有所成長.

總之，教學(xué)中教師要盡量避免直接傳授，要多給學(xué)生一些思維發(fā)展的空間，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升.