劉玉華 呂延芳 薛兵

[摘要] 在課堂教學中設(shè)計具有不完備、不確定特征的開放性問題有助于提升學生的數(shù)學思維品質(zhì)。以高三一輪復習課中的開放性問題教學為例，設(shè)計問題時要注意精心選擇，問題開放需有序、有度，教師評題要有高度;在課堂教學中讓學生編題，讓問題開放，讓教學更有趣、有效，有品、有味，讓學生更有思、有為，讓課堂有變、有新。

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學;一輪復習;開放性問題

提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許僅僅是一個數(shù)學上或?qū)嶒炆系募寄芏?，而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看待舊的問題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標志著科學的真正進步。由此，明確數(shù)學課程目標：“提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）?！盵1]

在課堂教學中，老師出題學生做題，好像是教學的常態(tài)。學生習慣于刷題，但很少考慮題目是怎樣來的，題目為什么這樣做。為了培養(yǎng)學生的“四能”，筆者在課堂教學中探索讓學生編題、讓問題開放，這對于培養(yǎng)學生的問題意識起到了較好的作用。下面筆者就以在課堂教學中如何通過設(shè)計開放性問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，呈現(xiàn)策略思考。

一、學生編題讓教學更有趣、有效

一提到數(shù)學題，老師出題學生做題，老師講得天花亂墜，學生聽得昏昏欲睡，這種現(xiàn)象屢見不鮮。如何讓數(shù)學課堂煥發(fā)活力，真正激發(fā)火熱的思考，讓學生編題就是有效手段之一。

在高三一輪復習課“導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性”中，最初的教學設(shè)計是設(shè)置一道題目：（2020年全國卷Ⅰ理，21）已知函數(shù)f（x）=ex+x2-x，討論f（x）的單調(diào)性。

經(jīng)過數(shù)學組的反復研討，教師們一致認為，若只是讓學生單純做這道題，學生不知道背后的來龍去脈，就會印象不深，也喪失了認識高考題來源的機會。高考中導數(shù)題目中的函數(shù)均源自基本初等函數(shù)，為了讓學生深入認識到這一點，學會提出問題，把題目修改如下：

[例題1]將下列基本初等函數(shù)通過適當?shù)倪\算得到新的函數(shù)，再研究其單調(diào)性。

（1）y=x;（2）y=x2;（3）y=ex;（4）y=lnx;

（5）y=sinx

學生積極踴躍地編出來更多的題目。例如：

（1）f（x）=ex+sinx（x>0）

（2）f（x）=ex-x-2（2020年全國Ⅰ卷文，20）

（3）f（x）=ex+x2-x（2020年全國卷Ⅰ理，21）

（4）f（x）=lnx-x（2016年全國Ⅲ卷文，21）

（5）f（x）=lnx+x2+c

（6）

（7）

（8）

（9）（2018年全國Ⅰ卷理，21）

……

讓學生自己編題，學生必須自己去想從哪個角度編題，平時做過的題目有哪些類型，高考題是以怎樣的形式出現(xiàn)的，如何編出有新意的題目，進而激活深度思維。所以，讓學生編題是教學的有效途徑之一，它對培養(yǎng)學生的問題意識，進而學會學習頗有效用。

二、教師評題讓教學更有品、有味

學生編題有時是盲目無序的，很多情況下并不知道自己為什么這樣編題，只是跟著感覺走，目的性不強。所以，編完題后如何處理這些題目，這就要看教師的主導作用如何發(fā)揮了。如果教師只是簡單地就題論題，那會在很大程度上失去學生編題的意義。教師應(yīng)該在學生思考的基礎(chǔ)上順勢而為、點撥升華，讓學生的思維上升到一個新的高度。

仍然以上面“導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性”一課為例，學生編出了30多道題目，教師引導學生，判斷函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵是判斷其導函數(shù)符號的正負。根據(jù)判斷其導函數(shù)符號正負的方法，把這些題目分為以下三種類型。

類型一：導函數(shù)的正負可直接觀察確定

（1）f（x）=ex+sinx（x>0），

f '（x）=ex+cosx>0（x>0）

（2）f（x）=lnx+x2+c（x>0），

類型二：導函數(shù)f '（x）的符號可由基本初等函數(shù)單調(diào)性確定

（3）f（x）=ex-x-2（2020年全國Ⅰ卷文，20），

f '（x）=ex-1，容易看出：當x>0時，f '（x）>0;當x<0時，f '（x）<0。

（4）f（x）=lnx-x（2016年全國Ⅲ卷文，21），

，容易看出：當x>1時，f '（x）>

0;當0

（5）f（x）=ex+x2-x（2020年全國卷Ⅰ理，21），

f '（x）=ex+2x-1，可根據(jù)基本初等函數(shù)單調(diào)性觀察得出，也可以二次求導確定。

設(shè)g（x）=f '（x）=ex+2x-1，則g'（x）=ex+2>0，所以f '（x）=ex+2x-1在R上是增函數(shù)。又因為f '（0）=0，所以得：當x>0時，f '（x）>0;當x<0時，f '（x）<0。

通過以上分類梳理，讓學生得出判斷導函數(shù)符號正負的基本思路：

通過對學生所編題目的歸類梳理，教師啟發(fā)引導、分析點評，引領(lǐng)學生深度思考，在紛繁蕪雜的題目中追根溯源，總結(jié)出判斷導函數(shù)符號正負的基本步驟，滲透了程序化的思想，發(fā)展了學生的邏輯推理素養(yǎng)，讓教學變得更有品、有味。

三、問題開放讓學生更有思、有為

開啟學生的創(chuàng)造潛能，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，是當前數(shù)學教學改革的主旋律。開放性問題對學生具有挑戰(zhàn)性，能有效激發(fā)學生的好奇心和求知欲。因此，依據(jù)教學內(nèi)容恰當?shù)卦O(shè)計開放性問題是體現(xiàn)學科寬度，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的重要途徑[2]。在高三一輪復習課“數(shù)列的概念”中，我們設(shè)計了這樣一道題目，有效激發(fā)了學生深度思考，建構(gòu)了求數(shù)列通項公式的知識網(wǎng)絡(luò)。

[例題2]設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1=an+ 。請補充完整條件，并求數(shù)列{an}的通項公式。

學生編出了許多題目，主要有以下幾種：

（1）a1=1，且an+1=an+1

（2）a1=1，且an+1=an+n

（3）a1=1，且an+1=an+2n

（4）a1=1，且

（5）a1=1，且

（6）a1=1，且an+1=2an

（7）a1=1，且an+1=2an+1

（8）a1=1，且an+1=2an+2n

學生在分析（1）（2）（3）（4）（5）題的過程中，會發(fā)現(xiàn)假如遞推公式an+1=an+ f（n），只要f（n）能求和，數(shù)列{an}的通項公式便可求。對于（6）（7）（8）題，an+1=an+an+ f（n），在（6）題中，f（n）=0，就是特殊的等比數(shù)列;（7）（8）題顯然用構(gòu)造法，通過變形構(gòu)造出特殊的等差、等比數(shù)列，進一步求通項公式，能夠認識到轉(zhuǎn)化與化歸思想的重要性。

還有的學生在以上題目的基礎(chǔ)上進一步思考，認為數(shù)列是對各項之間的關(guān)系進行研究，除了能對各項進行加減運算，還可以對各項進行乘除運算，又得到以下題目：

（9）（c為常數(shù)，且c≠0）

（10）an+1an=an+1-an

（11）an+1+an=c（c為常數(shù)）

（12）

（13）

……

在這個環(huán)節(jié)中學生持續(xù)地思考，不斷地嘗試，積極地探索，發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，得出新的結(jié)論，充分享受到了成功的喜悅，感覺到自己有思、有為。

四、問題開放讓課堂有變、有新

問題是探究之本、思維之源。高三一輪復習課不是新授課的簡單重復，不能一味追求高難度，基礎(chǔ)知識是數(shù)學解題的基石，同樣也是高考命題的依據(jù)。因此，從基礎(chǔ)知識入手，把封閉的問題變開放，為學生的思維生長搭建腳手架，會讓課堂發(fā)生意想不到的變化，讓創(chuàng)新思維在課堂中生根發(fā)芽。

如教學“數(shù)列的概念”一課，通過上面題2這樣一個看似簡單的題目，學生多角度思考，總結(jié)出求數(shù)列通項公式的常用方法：觀察法、公式法、累加法、累乘法、迭代法、構(gòu)造法等。學生通過不斷探索求數(shù)列通項公式的規(guī)律和方法，領(lǐng)悟求通項公式的本質(zhì)就是轉(zhuǎn)化與化歸，進一步體會數(shù)學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性，達到“做一題，通一類，會一片”的學習效果，有效地提高了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

數(shù)學教學需要不斷變化和創(chuàng)新，教師要善于采擷學生思維的創(chuàng)意，能夠站在思維的高度幫助學生解決數(shù)學問題，讓學生通過數(shù)學學習提高理解知識的思維能力和研究知識解決問題的能力。我們要明確，思維能力的培養(yǎng)才是提高數(shù)學成績的關(guān)鍵，教數(shù)學就是啟迪學生的思維。

五、問題開放需有序、有度

誠然，問題開放、學生編題能夠激發(fā)學生的學習興趣，強化對知識的鞏固和靈活運用，但問題開放并不是每一個問題都可以開放，而應(yīng)該是精心選擇問題。例如，上面題2就是抓住“研究數(shù)列是通過數(shù)學運算揭示規(guī)律”這一本質(zhì)特征進行設(shè)計。學生編題也不是胡編亂造，而是讓學生能從一個簡單的問題（最好選自教材原題）出發(fā)。例如上面題1，對基本初等函數(shù)進行不斷運算，得出新的函數(shù)，深入探究問題的本質(zhì)。一般情況下，一輪復習要從教材上的定義、定理等基本知識出發(fā)設(shè)置開放性問題，培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性、創(chuàng)新性和深刻性，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)。

開放需有序。在問題開放、學生編題的初期，教師要從基礎(chǔ)題目出發(fā)，對學生如何編題、從哪些角度編題進行適當?shù)闹笇?。隨著學生編題能力的不斷增強，視野逐漸擴大，所編的問題就會多姿多彩，編寫的題目會具有靈活性、探究性、創(chuàng)新性等特性，學生也會對題目進行重新審視和反思，真正有效地體現(xiàn)學生編寫習題的價值[3]。

編題需有度。編題的過程是把解題引向深入的研究過程，是探究創(chuàng)新的過程。讓學生自主編題能促使學生把與問題相關(guān)的知識點、知識結(jié)構(gòu)理解并掌握得更準、更全、更深、更透，從而達到融會貫通的境界[4]。并且，學生編題要注意根據(jù)學情控制難度和深度，適可而止，否則會事倍功半。

開放性的學生自主編題活動是一個循序漸進的過程，它的形式多種多樣，旨在實現(xiàn)學生興趣的提高、解題能力的提升、創(chuàng)新思維的發(fā)展。編題栽活知識樹，開放育好數(shù)學林，讓我們在這條道路上繼續(xù)努力探索。

[本文系山東省教育科學“十四五”規(guī)劃課題“高中數(shù)學‘一題一課’教學模式的實踐研究”（項目編號：2021zc285）和濱州市“學科育人工程”研究專項課題“如何實現(xiàn)高中數(shù)學育人價值的研究”（項目編號：BZXKYR-216）階段性研究成果]

[參考文獻]

[1]劉忠新.“開放性”問題的多角度設(shè)計[J].中學數(shù)學教學參考，2017（17）：57-60.

[2][3]陶然.學生編題 有效創(chuàng)新[J].上海中學數(shù)學，2014（11）：36-37.

[4]俞昕.例談學生自主編題探究活動[J].數(shù)學通報，2016，55（01）：31-33，37.

劉玉華? ?山東省濱州實驗中學，正高級教師。山東省特級教師，齊魯名師，山東省創(chuàng)新班主任，齊魯名師領(lǐng)航工作室主持人，山東省特級教師工作坊主持人。

呂延芳? ? 山東省濱州實驗中學。

薛 兵? ? 臨沂大學數(shù)學與統(tǒng)計學院。